河海大学,材料力学,课件,第4章,平面弯曲,力学课件

第四章平面弯曲§4-1概述一、平面弯曲的概念上述直梁的每一个横截面，都有一个对称轴，所有截面的对称轴组成一个平面。以弯曲为主要变形的杆——梁。若外力或外力偶作用在纵向对称面内，杆的轴线在此平面内弯成一平面曲线——平面弯曲（对称弯曲）。纵向对称面轴线↑↑外力:外力或外力偶作用在包含轴线的平面内。变形:轴线弯成曲线。横截面绕垂直于轴线的轴转动。二、弯曲杆件内力回顾弯曲杆件截面上的内力——剪力和弯矩弯曲杆件内力的计算方法——截面法弯矩的符号规定——使梁的下缘受拉为正，反之为负剪力的符号规定——剪力绕截面顺时针转为正，反之为负符号规定：M：MM∑MM弯矩与外力矩作用，凸向下（下面受拉）的弯矩为正,反之为负。绕截面顺时针方向转动的剪力为正，反之为负。FS∑FFS∑FFS：剪力图和弯矩图：

以平行于梁轴线的坐标为横坐标，其上各点表示截面的位置，以剪力或弯矩为纵坐标，画出剪力或弯矩随截面位置不同而变化的图线即为剪力图或弯矩图。正的剪力画在横坐标的上方，正的弯矩画在横坐标的下方（弯矩图画在梁的受拉一侧）作剪力、弯矩图的方法剪力：某一截面的剪力在数值上等于截面一侧（左或右）梁段上所有外力的代数和。弯矩：某一截面的弯矩在数值上等于截面一侧（左或右）梁段上所有外力对该截面形心的力矩的代数和。1、根据内力方程作剪力、弯矩图作剪力、弯矩图的方法2、根据分布荷载集度与剪彩力、弯矩的关系作剪力、弯矩图

dFs(x)/dx=q(x)

………………..（1）dM(x)/dx=Fs(x)

……………（2）d2M(x)/dx2=q(x)

…………….（3）3、叠加法作剪力、弯矩图三、纯弯曲和横力弯曲ABCDF

PaaFFSFFMFa纯弯曲：如图CD段。剪切(横力）弯曲：如图AC段和BD段。§4－2梁横截面上的正应力1﹒几何方面yzMM——中性层；（2）横线：变形后仍为直线，但转过一角度，并与纵线仍正交。（1）纵线：弯成弧线，上部缩短，下部伸长,中间有一层纵线既不伸长，也不缩短——中性轴。中性层与横截面的交线一、纯弯曲梁的正应力公式§4－2梁横截面上的正应力1﹒几何方面MM——中性层；（2）横线：变形后仍为直线，但转过一角度，并与纵线仍正交。（1）纵线：弯成弧线，上部缩短，下部伸长,中间有一层纵线既不伸长，也不缩短——中性轴。中性层与横截面的交线一、纯弯曲梁的正应力公式中性层中性轴1.平面假设：横截面变形后仍为平面，与弯曲后的纵线正交；基本假设

1122MM2.单向受力假设：各纵向线（纤维）之间无挤压。（对称轴）z(中性轴）yyρ——变形后中性层的曲率半径。y——任一纤维到中性层的距离。dθ——m-m和n-n截面的相对转角。ba1212o1o2y中性层1122ρdθa'b'o'1o'2任一条纤维的线应变为：y中性层1122ρdθa'b'o'1o'22.物理方面:yzEIz弯曲刚度3.静力学方面:1=MEIzρzMyIσ=Sz=0——中性轴z通过横截面的形心。Iyz=0——梁发生平面弯曲的条件。zydAyz说明：(2)符号：①由M与y的符号确定σ的符号；②由弯曲变形确定。⑴线弹性。弯曲截面系数WZ=ymaxIzmaxmaxMyMIzWzσ==(3)

==①z轴为对称时：②

z轴为非对称时:二、纯弯曲理论的推广例1：一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面,试求三种截面的最大拉应力。设矩形截面高为140mm,宽为100mm,面积为14000mm2。

F＝20kNACB3ｍ3ｍ解：该梁C截面的弯矩最大，

Mmax=10×3=30kNm⑴矩形截面:F＝20kNACB3ｍ3ｍ⑵圆形截面⑶工字形截面。选用50C号工字钢,其截面面积为13900mm2。

在承受相同荷载和截面面积相同时，工字梁所产生的最大拉应力最小。反过来说，如果使三种截面所产生的最大拉应力相同时，工字梁所承受的荷载最大。因此，工字形截面最为合理，矩形截面次之，圆形截面最差。结论如下：§4-3弯曲切应力1、两点假设:

（1）切应力与横截面的侧边平行（2）切应力沿截面宽度均匀分布一、矩形截面梁bhF2F1q(x)zyτhbFsτyτx=0τz=0bhFsFsmnnmMM+dMdxF2F1q(x)mndxdxmnyzab2、弯曲切应力公式y——所求点距中性轴的距离。abFsFsmnnmMM+dMdxyFN1FN2dFy’mnσ’σ’’σdxmnyzabFN1FN2dFy`Fs——横截面上剪力。Iz——整个横截面对中性轴z轴的惯性矩。b——横截面宽度。Sz*

——横截面上距中性轴y处横线一侧截面对中性轴的面积矩。3、切应力沿截面高度的分布ττmaxhzby＋－二、工字形截面梁腹板上的切应力：Fs——横截面上剪力。Iz——整个工字形截面对中性轴z的惯性矩。d——腹板宽度。Sz*

——距z轴y处横线一侧阴影部分截面对z的面积矩。τmaxy

zbhdδh1y翼缘腹板翼缘上既有竖直方向切应力，又有水平方向的切应力，它们都很小，很多情况下都可以不予考虑。切应力公式的统一形式：三、圆形截面梁zτmaxydA四、薄壁圆环截面梁dR0δD例2：一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。试求最大拉应力及最大压应力，并求出最大剪力截面复板上的切应力分布图。q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180解:⑴确定截面形心位置.(2)计算横截面的惯性矩Iz

.Iz=186.6×106mm4(3)画剪力图和弯矩图.q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180FS(kN)3050401.5m22.5M(kNm)1.5m40(4)计算最大拉、压应力.q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=18022.5M(kNm)1.5m40B截面：σtmax=21.4MPa,σcmax=38.6MPaD截面：σtmax=21.7MPa,σcmax=12.1MPa∴σtmax=21.7MPa，

发生在D截面的下边缘各点处。σcmax=38.6Mpa，

发生在B截面的下边缘各点处。（5）求出剪力最大截面腹板上的切应力分布。Fsmax=50kN，B截面左侧280zy60220c60yc=180280zy60220c60yc=1804.34MPa4.13MPa例3：一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1.2.3.4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并写出应力的表达式。qABl123l/4h/4l/44zbh解：(1)求支座反力:qABl123l/4h/4l/44(2)画FS图和M图FSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32