第三章矩阵代数

MATLAB数学实验第三章

矩阵代数

2/6/20231第三章矩阵代数第三章

矩阵代数3.1预备知识：线性代数3.2矩阵代数的MATLAB指令3.3计算实验：线性方程组的通解3.4建模实验：投入产出分析和基因遗传2/6/20232第三章矩阵代数3.1预备知识：线性代数线性方程组记为Ax=b2/6/20233第三章矩阵代数3.1预备知识：线性代数线性方程组若秩(A)

秩(A,b)，则无解；若秩(A)=秩(A,b)=n,存在唯一解；若秩(A)=秩(A,b)<n,存在无穷多解；通解是齐次线性方程组Ax=0的基础解系与Ax=b的一个特解之和。2/6/20234第三章矩阵代数3.1预备知识：线性代数逆矩阵方阵A称为可逆的，如果存在方阵B，使AB=BA=E，记B=A-1方阵A可逆的充分必要条件:A0A-1=A*/|A|这里A*为A的伴随矩阵（AE）行变换（EA-1）2/6/20235第三章矩阵代数3.1预备知识：线性代数特征值与特征向量对于方阵A，若存在数和非零向量x使Ax=x，则称为A的一个特征值，x为A的一个对应于特征值的特征向量。特征值计算归结为特征多项式的求根。特征向量计算：齐次线性方程组 (A-E)x=0的所有一组线性无关解。2/6/20236第三章矩阵代数3.2矩阵代数的MATLAB指令运算符A’(共轭)转置,A.’转置A+B与A-B加与减k+A与k-A数与矩阵加减k*A或A*k数乘矩阵 A*B矩阵乘法A^k矩阵乘方左除A\B为AX=B的解右除B/A为XA=B的解 与数组运算不同与数组运算相同2/6/20237第三章矩阵代数3.2矩阵代数的MATLAB指令矩阵运算与数组运算的区别数组运算按元素定义，矩阵运算按线性代数定义矩阵的加、减、数乘等运算与数组运算是一致的

注意：矩阵的乘法、乘方、除法与数组乘法、乘方、除法不同！数与矩阵加减、矩阵除法在数学上是没有意义的。但在MATLAB中有定义。

例子P51-522/6/20238第三章矩阵代数3.2矩阵代数的MATLAB指令特殊矩阵生成zeros(m,n)m行n列的零矩阵;ones(m,n)m行n列的元素全为1的阵;eye(n)n阶单位矩阵;rand(m,n)m行n列[0,1]上均匀分布随机数矩阵举例说明2/6/20239第三章矩阵代数3.2矩阵代数的MATLAB指令矩阵处理

trace(A)迹(对角线元素的和)diag(A)

A对角线元素构成的向量;diag(x)向量x的元素构成的对角矩阵.tril(A)A的下三角部分triu(A)A的上三角部分flipud(A)矩阵上下翻转fliplr(A)矩阵左右翻转reshape(A,m,n)矩阵A的元素重排成m行n列矩阵

2/6/202310第三章矩阵代数3.2矩阵代数的MATLAB指令矩阵分析

rank(A)秩det(A)行列式;inv(A)逆矩阵;null(A)

Ax=0的基础解系；null(A,’r’)基础解系的有理(整数或分数)形式orth(A)

A列向量正交规范化norm(x)向量x的范数（长度，模）norm(A)矩阵A的范数2/6/202311第三章矩阵代数3.2矩阵代数的MATLAB指令特征值与标准形p=poly(A)返回方阵A的特征多项式eig(A)

方阵A的特征值[V,D]=eig(A)返回方阵A的特征值和特征向量。其中D为的特征值构成的对角阵，每个特征值对应的V的列为属于该特征值的一个特征向量。[V,J]=jordan(A)返回A的相似变换矩阵和约当标准形(A的相似对角化)例子P56-572/6/202312第三章矩阵代数3.3计算实验：线性方程组求解

矩阵除法

(1)当A为方阵，A\B结果与inv(A)*B一致；(2)当A不是方阵,AX=B存在唯一解,A\B将给出这个解；(3)当A不是方阵,AX=B为不定方程组(即无穷多解)，A\B将给出一个具有最多零元素的特解；(4)当A不是方阵,AX=B若为超定方程组（即无解）,A\B给出最小二乘意义上的近似解，即使得向量AX－B的范数达到最小。

2/6/202313第三章矩阵代数3.3计算实验：线性方程组求解例3.1解方程组

2/6/202314第三章矩阵代数3.3计算实验：线性方程组求解例3.2线性方程组通解用rref化为行最简形以后求解用除法求出一个特解，再用null求得一个齐次组的基础解系用符号数学工具箱中的solve求解(第七章)

2/6/202315第三章矩阵代数3.3计算实验：线性方程组求解相似对角化及应用

如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则必存在正交矩阵P,使得P-1AP=,其中是A的特征值构成的对角矩阵，P的列向量是对应的n个正交特征向量。使用MATLAB函数eig求得的每个特征向量都是单位向量(即模等于1)，并且属于同一特征值的线性无关特征向量已正交化，所以由此容易进行相似对角化。

2/6/202316第三章矩阵代数3.3计算实验：线性方程组求解例3.3

用相似变换矩阵P将A相似对角化，并求>>A=[11/40;01/20;01/41];[P,T]=eig(A)AP=PTP-1AP=TA=PTP-1An=PTP-1PTP-1……PTP-1=PTnP-12/6/202317第三章矩阵代数3.4建模实验设有n个经济部门，xi为部门i的总产出，cij为部门j单位产品对部门i产品的消耗，di为外部对部门i的需求，fj为部门j新创造的价值。分配平衡方程组(部门i产品=内部需求+外部需求)消耗平衡方程组(部门j产值=生产消耗+新创造价值)

2/6/202318第三章矩阵代数列昂杰夫Leontief,Nobel经济学奖

1973年W.W.LeontiefwasaRussian-Americaneconomistnotableforhisresearchonhowchangesinoneeconomicsectormayhaveaneffectonothersectors.LeontiefwontheNobelMemorialPrizeinEconomicSciencesin1973,andthreeofhisdoctoralstudentshavealsobeenawardedtheprize(PaulSamuelson1970,RobertSolow1987,VernonSmith2002).2/6/202319第三章矩阵代数投入产出分析令C=（cij），X=(x1,…,xn)’,D=(d1,…,dn)’，F=(f1,…,fn)’,则分配平衡方程组X=CX+D令A=E－C，E为单位矩阵，则

AX=DC称为直接消耗矩阵A称为列昂杰夫矩阵。2/6/202320第三章矩阵代数Y=[1,1,…,1]B（B各列的和）Y表示各部门的总投入(消耗)。新创造价值F=X–Y'B=CB表示各部门间的投入产出关系，称为投入产出矩阵。注：bij=cijxj2/6/202321第三章矩阵代数投入产出关系表(行：分配平衡，列：消耗平衡)

消耗部门外界需求总产出123生产部门1b11b12b13d1x12b21b22b23d2x23b31b32b33d3x3新创造价值f1f2f3

总产出x1x2x3注：bij=cijxj2/6/202322第三章矩阵代数投入产出平衡行：分配平衡X=B各行之和+外界需求列：消耗平衡X=B各列之和+新创造价值2/6/202323第三章矩阵代数投入产出分析例3.4某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费;

生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费;

创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费和0.10元的电费，在某一周内煤矿接到外地金额50000元定货，发电厂接到外地金额25000元定货，外界对地方铁路没有需求。2/6/202324第三章矩阵代数解：这是一个投入产出分析问题。设x1为本周内煤矿总产值，x2为电厂总产值,x3为铁路总产值,则问三个企业间一周内总产值多少才能满足自身及外界需求？三个企业间相互支付多少金额？三个企业各创造多少新价值?2/6/202325第三章矩阵代数直接消耗矩阵C=外界需求向量D=产出向量X=则原方程为(E-C)X=D投入产出矩阵为

B=C*diag(X)总投入向量

Y=ones(1,3)*B新创造价值向量

F=X-Y’2/6/202326第三章矩阵代数表3.3投入产出分析表(单位：元)

消耗部门外界需求总产出煤矿电厂铁路生产部门煤矿0365061558250000102088电厂25522280828332500056163铁路2552228080028330新创造价值51044140419915

总产出10208856163283302/6/202327第三章矩阵代数例5设金鱼某种遗传病染色体的正常基因为A，异常基因为a,那么AA，Aa，aa分别表示正常金鱼，隐性患者，显性患者。设初始分布为90%正常金鱼，10%的隐性患者，无显性患者。考虑下列两种配种方案对后代该遗传病基因型分布的影响方案一：同类基因结合，均可繁殖；方案二：显性患者不允许繁殖，隐性患者必须与正常金鱼结合繁殖2/6/202328第三章矩阵代数后代是从父母体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因型。后代基因型的概率2/6/202329第三章矩阵代数同类基因结合，均可繁殖；第一种方案2/6/202330第三章矩阵代数显性患者不允许繁殖，隐性患者必须与正常金鱼结合繁殖第二种方案2/6/202331第三章矩阵代数基因遗传矩阵表示2/6/202332第三章矩阵代数解设初始分布X(1)=(0.90.10)’,第n代分布为X(n)=方案一：X(n)=Mn-1X(1)方案二：X(n)=Nn-1X(1)2/6/202333第三章矩阵代数结论计算方法：取n足够大，如n=20方案一：Mn-1X(1)

[0.95,0,0.05]’存在5%的显性患者方案二：Nn-1X(1)

[1,0,0]’显性患者和隐性患者都消失本例说明了杂交的优势另一计算方法：用矩阵相似对角化2/6/202334第三章矩阵代