第三章测试信号3

3.3-五离散傅立叶变换DFT上式反应了采样信号与原信号的关系，如何根据采样的离散数据来计算信号的频谱？为了用计算机对信号进行分析，要求信号在时域和频域都是离散的和有限长度的。时域：采样转换成离散的；实际中只能对信号采样有限长的数据进行分析，称为离散时间序列，它是有限长的。频域：对进行周期延拓，使之在时域上成为周期信号，周期信号的频谱是离散的；对以上信号采样前进行滤波，保证带宽有限（频域有限长度）；在时域上对N点的采样信号进行周期延拓，就成为离散的周期信号，在频域其频谱也成为离散的周期频谱。（时域离散<->频域周期，时域周期<->频域离散）频域上的离散化实际上就是将频域上的横轴进行了离散化，，T为时域采集周期。DFT：X(k)具有周期性：在一个周期内求其逆变换多对信号进行周期延拓时，相当于对频谱进行采样，使频谱变成原来的1/T，故应乘以T倍。离散傅立叶变换的特性：★离散性：在时域具有重复周期，故频谱是离散的。★谐波性：谐波频率是基波频率的整数倍★周期性：采样导致其周期性，共有N条谱线有效，前N/2条是主分量，后N/2条是高频分量。

DFT的计算次数与FFT4个采样值根据DFT变换可知，计算一条谱线需进行N次复数乘法和（N-1）次复数加法，N条谱线需进行N2次复数乘法和N(N-1)次复数加法，当N=4，总计需28次运算。当N=1024时，需进行2096068次运算。早期不太可能在实际工程中应用。FFT：将长序列的离散傅立叶变换逐次分解成长度较短的序列来计算傅立叶变换，然后按一定的规律组合起来，得到原来序列的傅立叶变换。★简化了计算，计算量大大减少，减小了计算机字长对乘积结果舍入误差，使得计算精度提高了。4DFT的相关问题（1）DFT的频率分辨率（2）栅栏效应与补零的问题（3）频谱泄露与周期信号的整周期截短的问题1、DFT的频率分辨率用DFT对采样信号进行分析时，相邻谱线之间的间距为越小，则分析出来的频谱与原来模拟信号的频谱越接近，反应出对原来信号的分辨率越好。f1=2Hz、f2=2.02Hz、f3=2.07Hz三个频率，fs=10HzΔf1=0.0390625Hz,Δf2=0.009765Hz；f1-f2=-0.02,f1-f3=-0.07,f2-f3=-0.052、栅栏效应与补零计算机采样根据采样频率fs和采样点数N对原信号进行了截短，信号长度为tp=fs*N，并以此长度转化成周期信号。相应的原来的连续频谱变成离散频谱，在离散频谱之间的频率分量就被挡住了而无法得到，这种现象称为栅栏效应。如：信号长度为tp=0.5s，可以获得频谱频率为0Hz，2Hz，4Hz，6Hz，8Hz，10Hz…等。如果原来信号中有一个7Hz的频率分量，就无法检出。此时就需增加信号的长度到1s的整数倍或补零。对采样数据补零可以改善栅栏效应，补零起到对没补零的DFT结果做插值的作用，可以使谱线的外观得到平滑，改善栅栏效应。但是补零并没改善频率分辨率，并没有增加数据的有效长度，分辨率是根据采样信号的实际长度来决定的，与DFT计算的点数无关。补零后的长度是DFT的长度，增加了频域谱线的点数，但谱线之间还是同样存在一定的重叠。补零还经常用于把采样点数凑成2的整数次幂，以便于用FFT算法。谱线外观平滑，克服栅栏效应。由于截短造成频谱泄露，频谱中出现一些难以确认的谱峰，补零可以消除这种现象。细化FFTZOOM-FFT3、频谱泄露与周期信号的整周期截短问题

由于窗函数对原信号的截短，导致截短后的信号频谱中包含了窗函数旁瓣的频谱，这就是频谱的泄露。谱间干扰因截短而使在主谱线两边形成许多旁瓣，引起不同分量之间的干扰，称为谱间干扰。这不仅影响谱分辨率，严重时强信号谱的旁瓣可能淹没弱信号的主谱线，或者把强信号的旁瓣误认为另外的一个信号的谱线，形成假信号。矩形窗谱线过零点：谱线过零点搬移之后谱线过零点为当某一频率分量的输出谱线中除主分量外其他输出谱线均为0，则在与其他频率分量输出谱线叠加时不会引起其失真。即过零点谱线的频率等于输出谱线的频率。即为了防止产生泄漏，应使窗的宽度为信号周期T的整数倍。

★如果对信号分析中选择的采样频率和截取的信号长度不合适，就会导致分析结果不是实际的频谱，而是泄露的频谱。频谱的泄漏主要是矩形窗边界的突变特性造成的，这种突变在频域就会产生高频成分。如果用其它类型的边缘较平缓的窗函数（如海宁窗、海明窗、三角窗等）来代替矩形窗，可以使高频分量减弱，从而减少由于泄漏产生的误差。(矩形窗主瓣与第一旁瓣的幅度比为100:25，海宁窗为100:2.5,但是海宁窗的主瓣宽度是矩形窗的两倍)但在N一定时，旁瓣越小的窗主瓣越宽，频谱变得“模糊”，这就使减小谱间干扰与提高谱分辨率矛盾，只能折衷。例：设余弦信号的频率为f0＝100Hz，以下采用不同的采样频率fs（或采样周期Ts）和截取不同的信号长度T（或采样点数N）对其进行分析。⑴设Ts＝78.125μs,N=256，则：窗的宽度＝NTs＝20ms；谱线间距；谱线的过零点为：0、50、150、200…（Hz）；输出的谱线：0、50、100、150、200，…（Hz）共计256条；

100Hz余弦信号的谱线在输出谱线之列，故2次谐波的输出即是所分析的信号的频谱，其余输出谱线均为0，此时频谱的泄漏得以消除。3.4滤波器定义：滤波器是指允许某一特定频带内的有用的信号通过而滤除无用信号的系统。更广意义上的滤波器是指把某种信号处理成另外一种信号的系统，因此任何一个系统都可以看成一个滤波器，它按照所要求的功能对输入的信号进行转换和处理。分类：所处理的数据类型将滤波器分为模拟滤波器和数字滤波器，数字滤波器是指其输入输出均是离散时间信号的滤波器按照滤波器的幅频特性可将滤波器分为四种，即低通滤波器（LPF）、高通（HPF）、带通（BPF）和带阻（BEF）滤波器通带：能通过的信号频率范围阻带：受阻或衰减的频率范围截止频率：通带和阻带之间的界限频率。过渡带：对于理想的滤波器在通带内具有零衰减的幅频响应，而在阻带内具有无限大的衰减，这种突变的衰减在物理上是不可实现的，实际的滤波器通常在通带和阻带之间有一过渡，而且在通带内无法实现没有衰减，在阻带内无法实现无限大衰减，通常有一个容限。滤波器的衰减定义为：滤波器的传递函数与线性时不变系统类似，可表示为：根据滤波器系统的阶数可以把滤波器分为一阶、二阶等滤波器。根据设计时实际滤波器逼近理想滤波器的方法又可分为巴特沃思（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Cheyshev）滤波器以及椭圆滤波器等不同的设计方法，线形