第2章系统的数学模型

第2章系统的数学模型2.1

由原理图画功能方框图2.2

系统数学模型的建立2.3系统的传递函数(系统函数)2.4系统数学模型的试验测定2.5系统的模拟2.1

由系统原理图画功能图为了建立系统的数学模型，往往需要由系统的原理图画出系统的功能方框图。控制系统数学模型的建立，可以按照图2.1-1的基本步骤进行。例2.1-1试由图2.1-2所示水位控制系统原理图画出其功能方框图，并确定其控制方式。解：由图2.1-2可知水箱为被控对象；水位实际高度Hy为被控量；用水Q2、进水压力、环境温度等为扰动量；浮子为测量装置；电位计为比较计算装置；电动机、变速齿轮、控制阀为执行装置；由于电位计与电路底板的接点位置与水位的期望高度H

f

相对应，故为被控量。此系统的功能图如图2.1-3所示。由图2.1-3可知，此系统属于“按偏差调节”的闭环负反馈控制系统。实际控制过程如下：当用水Q2使水箱的实际水位高度Hy与期望水位高度H

f出现偏差（由电位计与电路底板的接点位置设定），被浮子测量后，通过杠杆带动比较电位计的滑动触点，直接改变电动机电枢电压的极性和大小，经过变速齿轮改变进水控制阀的开启或关闭程度，调节进水量Q1的大小，使水箱的实际水位高度H

y

与期望水位高度H

f的偏差减小直至消除，Hy

=H

f时，使电位计的滑动触点与电路底板的零电位相等，电动机因电枢电压为0而停转，系统处于一种新的平衡状态。由系统原理图画功能方框图的步骤根据例2.1-1的求解过程，可归纳“

由系统原理图画功能方框图”的步骤如下：1）由系统原理图确定被控对象，这是由系统原理图画功能方框图的主要矛盾，是关键；2）由被控对象找到被控量、扰动量、控制装置与给定量；3）对照三种基本控制方式的功能方框图模式，即可完成系统功能方框图的绘制。2.2系统数学模型的建立由系统的功能方框图及各功能方框的输入输出动态关系，可以从入到出建立系统的微分方程组，消去中间变量后，就可得到系统的微分方程。这是一个最基本的方法，也是最笨的方法。对于线性系统，还可以利用Laplase变换，把系统的功能方框图变为动态结构图，通过等效化简，消去中间变量，直接求取系统的传递函数（系统函数）；或者把系统的功能方框图变为信号流图，通过Mason公式直接求取系统的传递函数（系统函数）。此外，还可用试验测定的方法建立系统的数学模型。2.2.1基本方法1.一般非线性数学模型的线性化一般而言，实际控制系统的元件都含有不同程度的非线性特性，如果采用非线性微分方程描述系统，就会导致求解过程的许多困难。因此，只要不是典型的非线性问题，只要分析方法不使系统产生太大的误差，则允许在一定条件下将一般非线形模型近似为线性模型。小偏差法（小增量法）是常用的近似方法。小偏差法的前提条件是：系统仅在平衡工作点附近的小范围工作；小偏差法的实质是在平衡工作点附近足够小的范围内，用平衡点的切线来取代原来连续变化函数的非线性特性。小偏差法的示意图如图2.2-1所示。1）单变量非线性函数的线性化：若对连续的非线性函数y

=

f（x），在工作点A（x0,y0）附近展成Talor级数（2.2-1）考虑y0

=

f（x0），有（2.2-2）令，当增量很小时，可以忽略的高次幂项，有如下近似（2.2-3）2）双变量非线性函数的线性化：若是有两个或两个以上变量的非线性系统，可以采用与上述单变量线性化基本相同的方法。设非线性函数y=f（x1，x2），同样可在某工作点（x10，x20），用Talor级数展开，以同样的方法可求得Δy≈k1Δx1+k2Δx2（2.2-4）3）注意事项：在上述小偏差线性化过程中，要注意以下几点①线性化参数ki的计算只适于小偏差情况；②入、出变量与系统的实际变化不能太大；③非线性特性必须连续可微；④典型非线性化问题需用第7章专门方法。4）应用举例：例2.2-1设三相桥式可控晶闸管整流电路的输入为触发延迟角，输出为整流电压Ud

，二者的非线性关系为，式中U2为交流电源的相电压有效值，U0为＝０时的整流电压。试对此表达式，在参考工作点（α0，Ud0）附近，进行局部线性化处理。解：由单变量非线性函数的线性化方法有ΔUd

=Ud-Ud0≈ksΔ=ks(-0)式中有ΔUd

≈Δ

=ksΔ若按约定省略增量符号Δ，可得Ud

=

ks

，即：线性化处理后，Ud将随控制角

的ks倍线性变化。

2.Laplace变换与传递函数（系统函数）

1）Laplace变换（详细介绍见第5章）：①定义：对于一个t

≥

0时有定义的连续时间函数f(t)，若积分在复变量s的某区域内收敛，则f(t)的单边拉氏正变换为（2.2-5）其中f(t)为原函数，F(s)为象函数，复变量。f(t)的单边拉氏正变换记为，而f(t)的拉氏逆变换则为，记为

f(t)的单边拉氏正变换与逆变换构成一组变换对，可以简记为。一般，进行拉氏正变换时需：将自变量t→s，将自变量的函数

f

(小写)→F

(

大写)。⑵常用性质如下：①线性性质：若f(t)=af1(t)+bf2(t)，则F(s)=aF1(s)+bF2(s)（2.2-6）②微分性质：若，则

（2.2-7）常用的一阶微分性质为

（2.2-8）

③终值定理：若

，且存在，则有

（2.2-9）⑶常用的单边拉氏变换对如下：①，即；②，即；③，即；④，即。2)用拉氏变换求解线性微分方程用拉氏变换求解线性微分方程，可将系统的微、积分(高等)运算简化为代数(初等)运算，为工程计算和分析提供很大的方便①用拉氏变换求解微分方程的步骤·先将系统的微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的代数方程，计算中的初始值应取系统在t=0-时的对应值；·再求解代数方程，得到系统输出量的象函数表达式；·最后将输出量的象函数表达式展成部分分式，用部分分式法求拉氏反变换（见第5章），即得系统微分方程的时域解。②应用举例例2.2-3

RC网络如图2.2-3所示，若开关闭合前，电容的初始电压为UC(0-)，开关s在0时刻瞬间闭合后，试求电容C两端的电压uC(t)

。解：开关S在0时刻闭合瞬间，网络微分方程为（2.2-10）对式（2.2-10）两边取拉氏变换，得（2.2-11）整理（2.2-11）式，可得输出量的象函数表达式（4.2-12）对（2.2-12）式两边求拉氏反变换，得（2.2-13）

（3）传递函数（系统函数）一定条件下，拉氏变换可以把系统微分方程变为复变量s的代数方程，使计算与分析过程简化，并把系统的时域数学模型变为系统的复频域数学模型——传递函数(

系统函数

)——

经典控制理论中十分重要的常用数学模型。①传递函数（系统函数）的定义所谓传递函数，即线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。传递函数也可定义为：线性定常系统在零初始条件下，系统单位冲激（脉冲）响应的拉氏变换。若一般线性定常系统的微分方程表达式为：

（2.2-14）

式中：y(t)为系统的输出量，f(t)为系统的输入量。在初始状态为零时，对（4.2-14）式两边求拉氏变换得：（2.2-15）即（2.2-16）式（2.2-16）中，Y(s)表示输出量的拉氏变换，F(s)表示输入量的拉氏变换，G(s)表示环节或系统的传递系数（系统函数）；多数情况下，取a

0=1。②关于传递函数的几点说明·由于拉氏变换是一种线性积分运算，而传递函数又是从拉氏变换得来的，因此传递函数的概念只能用于线性定常系统；·传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入信号以及初始状态无关，但是，改变输入、输出信号的作用点，将会使同一系统得到不同分子的传递函数（分母不变）；·由于传递函数是在零初始条件下定义的，因此传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律，不能直接求系统的零输入响应，但是可以通过拉氏反变换由传递函数得到系统微分方程，再对系统微分方程求非零初始条件下的拉氏变换，得到零输入响应与零状态响应之和的拉氏变换，最后经拉氏反变换即可得到零输入响应、零状态响应与完全响应；由于系统的惯性及能源的限制，使传递函数分子多项式的阶次m小于或等于分母多项式的阶次n，即

n

≥

m

；·多输入多输出系统多变量之间的关系不可能只用一个传递函数来表征，必须用传递函数矩阵来表示（详见第8章）③传递函数的几种表达形式·真有理分式表达式——式（2.2-16）在ai

、b

j

均为实数，且n＞

m

时，即为传递函数的真有理分式表达式，其中

n为系统的阶次，分母为系统的特征多项式，若n=

m则需用多项式除法把式（2.2-16）（假分式）化为真有理分式与商之和的形式，一般由多项式除法得到的商都与δ(t)信号有关；··零、极点表达式——把式（2.2-16）的分子、分母多项式都分解为单因子因式的乘积，即得到传递函数的零、极点表达式（2.2-17）其中Kg=b0/a0

（a0=1）为系统的传递系数或根增益，

zj为系统的零点，p

i为系统的极点；

·典型环节表达式——式（2.2-16）的分子、分母多项式都可化为典型环节的形式，从而得到典型环节表达式（2.2-18）式（2.2-18）的分子中：K为放大环节，为一阶微分环节（可能有几个），而二阶微分环节则为

（也可能有几个）；式（2.2-18）的分母中：为积分环节（v为整数，表示积分环节的个数，v<0时表示有纯微分环节），为惯性环节（可能有几个），为二阶振荡环节（也可能有几个）；令、，式（2.2-18）可变成式（2.2-17），有

④常见元部件的传递函数

比例（放大）环节——结构图如图2.2-4所示，微分方程为（t≥0）式中：K为比例系数或增益，是一个常数。传递函数为(2.2-19)

惯性环节——结构图如图2.2-5所示，微分方程为（t≥0）式中T为时间常数。传递函数为(2.2-20)

积分环节——结构图如图2.2-6所示，微分方程为（t≥0）传递函数为(2.2-21)例2.2-5

试求图2.2-7中，通过减速器与输出轴相连的伺服电动机的输出轴转角φy与电动机电枢电压Uf之间的传递函数。解：忽略电磁惯性和机械惯性的影响，设初始状态为零，由图2.2-7有电动机转速,减速器输出转速可得（2.2-22）式（2.2-22）中：K1、K2为比例常数，又，代入式（2.2-22)可得：，初始状态为零时，对此式两边求拉氏变换得式中：K=K1·K2，为比例常数。所以系统的传递函数为（2.2-23）

微分环节——微分环节有理想微分、一阶微分与二阶微分三种。理想（纯）微分环节的结构图如图2.2-8所示，微分方程为（t≥0）传递函数为（2.2-24）例2.2-6若测速发电机的输出电压为u(t),转轴的转角为θ(t)，则测速发电机的微分方程为u(t)=Ktω(t)，其中ω(t)=

为所测转轴的角速度，试求其传递函数。解：在零初始状态下对已知测速发电机的微分方程两边求拉氏变换，可得U(s)=KtΩ(s)=KtsΘ(s)（2.2-25）有两种传递函数为（2.2-26）与（2.2-27）测速发电机两种传递函数的结构图如图2.2-9a.和b.所示。

一阶微分环节的结构图如图2.2-10所示。微分方程为（2.2-28）式中t≥0，τ为时间常数。传递函数为（2.2-29）

二阶微分环节的结构图如图2.2-11所示，微分方程为（2.2-30）传递函数为（2.2-31）

振荡环节——结构图如图2.2-12所示，微分方程为（2.2-32）式中：t≥0，T为时间常数，为阻尼比。传递函数为（2.2-33）或为（2.2-34）式中：

为振荡环节的固有振荡角频率。振荡环节的两个极点为，当时，单位阶跃响应为（t≥0）

延迟环节——结构图如图2.2-13所示，微分方程形为传递函数为

（2.2-35）3.建立系统微分方程的基本方法1）由微分方程组建立系统微分方程一般线性系统微分方程的建立，大致分为以下三步：①确定输入、输出与中间变量：根据实际工作情况，确定元件的输入量（给定量和扰动量）、输出量（被控量，也称为系统响应）与中间变量（输入、输出变量以外的变量）；②由系统各部分的动态关系建立微分方程组；③消除中间变量，得到系统的微分方程。例2.2-7试对图2.2-14所示R、L、C串联电路，写出输入、输出电压之间的微分方程。解：首先确定系统输入量为输入电压ui

(t)，输出量为输出电压uo

(t)，中间变量为电流i(t)。再由KVL及VAR，从入到出列写电路的微分方程组。最后消去中间变量i(t)，即得到系统的微分方程。代式(2)、(3)入式(1)有,由式(4)有

图2.2-14R、L、C串联电路可得

（2.2-36）令T1=

L

/

R，T2=R.C，则式（2.2-36）可写成系统微分方程的一般形式如下

（2.2-37）例2.2-8图2.2-15为某个弹簧、质量和阻尼器组成的机械位移系统，试写出外力F

与质量m

的位移

x之间的微分方程。解：首先确定输入量为外力F，输出量为位移x

，中间变量为加速度a

；再根据牛顿定律列写微分方程组，有机械位移系统

其中F

k和Ff分别为弹簧和粘性阻尼器的反作用力，a为加速度，k为弹簧的弹性系数，f为粘性阻尼器的阻尼系数。最后消去中间变量a

，可得到系统的微分方程。具体过程如下：代式(2)、(3)入式(1)，有,考虑a=

有，即

例2.2-9试求出图2.2-16所示的他励直流电动机电枢电压与电机转速之间的微分方程。解：图2.2-16中R

a为电枢电阻；La为电枢电感；Mm为电动机电磁转矩；ML为电动机转轴上的负载转矩；Mo

为扰动输入的负载转矩；f1为电动机转轴上的粘性摩擦系数；f2为电动机负载转轴上的粘性摩擦系数；J1为电动机转子的转动惯量；J2为负载转轴上的转动惯量；1/i=Z1/Z2为变速比。首先确定给定输入为电枢电压ua、扰动输入为负载转矩Mo

，输出量为电动机转速ωm

；再按电路和牛顿定律列写微分方程组：有电枢回路电压平衡方程组为

式中，ia为电枢电流；ea为电动机的反电动势；Ce为反电动势系数。转轴转矩平衡方程组为

式中，J为折合到电动机转轴上总的转动惯量，J=J1+J2/i

2；f为折合到电动机转轴上总的粘性摩擦系数，f

=

f1

+

f2/i

2；Cm为电动机的电磁转矩系数。最后消去中间变量ea、ia、Mm(t)、ML(t)，可得到系统的微分方程：（2.2-38）在实际工程中,我国交流电源的频率仅为50Hz，使得电动机的电枢电感La很小，一般可以忽略与La有关的项，这时式（2.2-38）可简化为（2.2-39）式（2.2-39）中，为电动机的时间系数，与为电动机的传递系数；若再忽略与R

a有关的项

，则可简化为（2.2-40）2）由功能方框图建立系统微分方程由功能方框图建立控制系统的微分方程，一般可分为以下三步：·首先由系统原理图画出系统的功能方框图，明确输入、输出变量与中间变量；·再分别列写系统各功能方框的微分方程；·最后消去中间变量，得到总输出量与输入量之间的系统微分方程。在列写系统各功能方框的微分方程时，要注意信号传送的单向性——前一个方框的输出是后一个方框的输入；要按信号传送顺序从左到右列写，且左出=右入、“上式出”为“下式入”。例2.2-10图2.2-17为闭环直流调速控制系统原理图，试写出该控制系统的微分方程。解：首先由原理图画系统功能图如图2.2-18所示（未考虑负载扰动），并确定输入为给定电压Ug、输出为电动机转速n，中间变量为Uf、Ud

与Uk

。再由图2.2-18分别列写系统各功能方框的微分方程如下①比较放大：由I1+I2-I3=0有当

R01=R02时，得（2.2-41）式中K1=R12/R01为放大器的反馈放大系数；

图2.2-18闭环直流调速控制系统的功能图

②可控整流放大：Ud=KsUk

（2.2-42）其中Ks为可控整流放大的电压放大系数。③直流电动机：在不计电枢电阻、电感与负载扰动时，根据例2.2-9求出的直流电动机微分方程式（2.2-39）可得：（2.2-43）④反馈环节（测速发电机）：由测速发电机输出电压Uf与转速n成正比(见例2.2-6)，有（Ks

f为比例系数）（2.2-44）最后消去中间变量Uf、Ud与Uk，可得到系统的微分方程：（2.2-46）当系统稳定时，闭环系统的静态方程式为

（2.2-47）2.2.2

动态结构图的等效变换1.控制系统的结构图表示1）组成结构图的基本单元一般的，控制系统的方框图由信号线、比较点（综合点）、引出点（测量点）、方框（环节）四种基本单元组成，如图2.2-19所示。·信号线：带箭头的直线，线旁标记为传递的信号，箭头为传递方向，如图2.2-19a.所示；·比较点（综合点、和点）：对两个以上信号进行加减运算，“+”号表示相加，“-”号表示相减，如图2.2-19b.所示；·引出点（测量点、分点）：表示信号引出或测量的位置，从同一个引出点引出的信号完全相同，如图2.2-19c.所示；·方框（环节、子系统）：方框表示信号的入、出动态关系（元部件、子系统或系统的传递函数），方框的输出信号为输入信号与传递函数的乘积，如图2.2-19d.所示。2）控制系统结构图的绘制在建立控制系统的功能图的基础上，对每个功能的入、出动态关系式明确后，即可通过拉氏变换得到每个功能方框的传递函数，用每个功能方框的传递函数取代原功能方框，功能图就变成了控制系统的动态结构图。例2.2-11试由图2.2-17闭环直流调速控制系统的原理图，画出系统的动态结构图，并求出闭环系统的传递函数。解：·首先由原理图画系统功能图如图2.2-18，利用例2.2-10的有关结果，即比较放大：；可控整流放大：Ud/

Uk=Ks；直流电动机：；反馈环节（测速发电机）：；再分别求拉氏变换（零初始条件下），得到每个功能方框的传递函数比较放大：；可控整流放大：；直流电动机：；

反馈环节（测速发电机）：。最后用每个方框的传递函数取代原功能方框，即得系统动态结构图如图2.2-20所示。由系统动态结构图，易得闭环直流调速控制系统的传递函数为

Ф(s)=令Kg

=KsK1、Kk

=KsfKsK1

/Ce得Ф(s)=，其中。等效变换应遵循的原则是：变换前后信号传递的数学关系不能改变。3）结构图等效变换的三条基本法则①串联相乘：图2.2-21表示由n个子系统串联组成的复合系统。

（2.2-48）②并联相加：图2.2-22表示由n个子系统并联组成的复合系统。复合系统的输入即各子系统的输入，而复合系统的输出则为各子系统输出的代数和，即(2.2-49)

③回路吸收：反馈回路一般如图2.2-23a.所示。图2.2-22n个子系统并联由图2.2-23a.有对以上(1)、(2)、(3)式消去中间变量E

(s)、B

(s)可得闭环传递函数为(2.2-50)即：反馈回路的方框图可吸收为图2.2-23b.的形式（负号对应正反馈，正号对应负反馈）。一般，G

(s)为前向通道传递函数，H

(s)为反馈通道传递函数，G

(s)H

(s)为开环传递函数，Ф(s)为闭环传递函数。

4）分、和点的等效移动①和点的前移：和点从某个方框的输出端移到输入端即和点的前移，如图2.2-24所示。②和点的后移：和点的后移与前移是可逆的，类似从图2.2-24b.变换成图2.2-24

a.，此处不再重复。③和点之间的移动：图2.2-25给出了两个相邻和点相互交换移动的等效变换。

④分点的前移：分点从某个方框的输出端移到输入端即分点的前移，如图2.2-26所示。⑤分点的后移：分点的后移与分点的前移是可逆的，即由图2.2-26b.变换成

a.，此处不再重复。

⑥分、和点的易位：由于分、和点易位会增加系统的分、和点数目，使问题更加复杂，除非必需，一般不采用这种变换。图2.2-27给出了分、和点易位的等效变换，以备必需。5）应用举例例2.2-12应用结构图等效变换方法求取图2.2-28的系统传递函数。解：由题，按照先串、并，后吸收，依次由内向外的变换过程如图2.2-29所示

2.2.3

信号流图与Mason公式1.

信号流图1）信号流图的表示与传输规则：

系统的信号流图由节点和有向线段组成，是系统结构图的一种简化表示形式，具有与结构图相同的等效化简法则。在信号流图中，用节点来表示信号（通常用小圆圈表示），用有向线段来表示信号的传输方向和传输关系。由于节点变量的设置是任意的，因此一个系统的信号流图并不是唯一的，可以有多种画法。信号流图的表示与传输规则如图2.2-32所示。（2）信号流图的常用术语·源节点（源点）：只有输出支路的输入节点，表示整个系统的输入变量（图2.2-33的x1）。·汇节点（汇点）：只有输入支路的输出节点，表示整个系统的输出变量（图2.2-33的x6）。混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点，表示系统内部的中间变量。图2.2-33中的x2、x3、x4、x

5都是混合节点，混合节点具有“先入后出”或“先和后分”的特点。·前向通道（前向通路）：信号从输入节点到输出节点的所有传递通路，每个节点在一条通道中最多只能被通过一次。在图4.2-33中，从源点x1到汇点x

2共有两条前向通道，分别为x

1→x

2→x

3

→x

4

→x

5

→x

6和x

1→x

2→x

5

→x

6。·环路（回路）：如果通道的起点和终点为同一个点，并且与途经的其余节点只相遇一次，则称该通路为环路或回路。互不接触环路：无公共节点或支路的环路。前向通道增益（通道增益）：前向通道途经各支路传输增益(含符号)的乘积，常用p

k

表示。环路增益：环路途经各支路传输增益（含符号）的乘积，通常用Li

表示。2.由结构图→信号流图1）信号流图与结构图的对应关系信号流图与结构图的对应关系如图2.2-34所示。2）由结构图→信号流图利用信号流图与结构图的对应关系，可直接由系统的结构图画出系统的信号流图。例2.2-14将图2.2-35a所示的结构图画为信号流图。解：利用图2.2-34中信号流图与结构图的对应关系，可直接画出信号流图如图2.2-35b.所示。a.原结构图b.对应的信号流图图2.2-35由结构图→信号流图3.Mason公式及其应用利用Mason公式，可由信号流图求出系统的传输函数Ф(s)。1）Mason公式：

(2.2-52)式中，(2.2-53)为系统信号流图的特征式；表示信号流图中所有回路的传输函数之和；表示信号流图中所有两个互不接触回路的回路传输函数的乘积之和；表示所有三个互不接触回路的回路传输函数的乘积之和；p

k

表示第k条前向通道的传输函数，共m条（m≥1）；是中除去所有与第k条前向通道相接触的回路所在的项以后的余式。2）Mason公式的应用例2.2-16试求出图2.2-36所示系统的传递函数(混合节点为“先和后分”)。解：由图可知，此系统信号流图共有两条前向通道，即

p1=abcde,p2=kde；共有6个回路，回路增益分别为L1=-af、L

2=-bg、

L

3=-ch、L

4=-di、L

5=-ej、L

6=-khgf；共有7对两不接触回路，即L1

L3、L1

L4、L1

L5、L2

L4、L2

L5、L3

L5、L5

L6；只有一组三不接触回路，即L1

L3

L5；且所有回路均前向通道p1有接触，使Δ1=1；但回路L2与前向通道p

2没有接触，使Δ2=1-L2=1+bg；得

Δ=1-L1-L2-L3-L4-L5-L6+L1

L3+L1

L4+L1

L5+L2

L4+

+L2

L5+L3

L5+L5

L6-L1

L3

L5即Δ=1+af+bg+ch+ch+ej+khgf

+

afch+afdi+afej+

+bgdi+bgej+chej

+ejkhgf+afchej由Mason公式有Ф(s)=由此例可知，Mason公式在遇到系统有多条前向通道，有多个回路，而且回路与回路之间、回路与通道之间存在互不接触情况时，必须仔细确定pk、k和。，

2.3系统的传递函数（系统函数）2.3.1系统的开环传递函数在图2.3-1中，如果断开H(s)输出端与和点的连接，则称前向通路与反馈通路的传递函数的乘积G1(s)G2(s)H(s)为系统的开环传递函数，即：开环传递函数=B(s)/E(s)。由图2.3-1及回路吸收法则可知：当干扰N(s)不作用时，

Ф(s)=其中Ф(s)的分母为：（2.3-1）式（2.3-1）称为系统的闭环特征式。

2.3.2系统的闭环传递函数1.输入信号作用下系统的闭环传递函数在图2.3-1中，当干扰N(s)不作用时，图2.3-1可化为图2.3-2a。由图2.3-2a.可得：（4.3-2）

为输入信号作用下系统输出对输入的闭环传递函数。2.干扰信号作用下系统的闭环传递函数在图2.3-1中，当输入F(s)不作用时，图2.3-1可化为图2.3-2b。由图2.3-2b.可得:（2.3-3）为干扰信号作用下系统输出对干扰的闭环传递函数。３）系统的总输出利用线性系统的叠加原理，由式（2.3-2）和式（2.3-3）可得到系统总输出为各外作用下输出的总和，即

（2.3-4）2.3.3系统的误差传递函数

在对系统进行分析时，不仅要研究输入和干扰信号对输出信号的影响，还要研究控制过程中输入和干扰信号对误差的影响，研究误差信号的变化规律。稳态误差的大小直接反映了系统的控制精度。在图2.3-1中，误差函数

E(s)=R(s)-B(s)（2.3-5）1.输入信号作用下系统的误差传递函数在图2.3-1中，当干扰N(s)不作用时，图2.3-1可化为图2.3-3a。由图2.3-2a可得：（2.3-6）

为输入信号作用下系统误差对输入的传递函数。2.干扰信号作用下系统的误差传递函数在图2.3-1中，当输入

F(s)不作用时，图2.3-1可化为图2.3-3b(由于图2.3-1中的负反馈符号不宜越过和点，故保留在H(s)方框内)。由图2.3-3b可得ФEN(s)（2.3-7）ФEN(s)

为干扰信号作用下系统误差对干扰的传递函数。3.系统的总误差利用线性系统的叠加原理有系统的总误差E(s)=ФEF(s)F(s)+ФEN(s)N(s)