第2章平面问题的基本理论0917

弹性力学罗建辉第二章平面问题的基本理论2-1平面应力问题和平面应变问题

一、弹性力学空间问题的简化(在特定的条件下)空间问题平面问题

二、弹性力学平面问题1、平面应力问题

(1)几何特征：等厚度的薄板，厚度<<长、宽；

(2)受力特征：∥xy面，沿板厚不变；

体力fx、fy作用于体内；

面力fx、fy作用于板边；

约束u、v作用于板边。

(3)化简：两板面上无面力和约束作用，故

由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无

z

向外力，可认为：

平面应力状态：

例如：深梁问题例1（习题2-3）试分析不受面力的空间体表面薄层中的应力状态。

选择坐标系如图。因该表面无任何面力，fx、fy、fz

=0,故表面上(σz

,τzx

,τzy)=0在近表面很薄一层(σz

,τzx

,τzy)→0∴接近平面应力问题。2、平面应变问题

(1)几何特征：常截面的柱体，长度>>截面的长、宽；

(2)受力特征：∥xy面，沿厚度不变；

体力fx、fy作用于体内；

面力fx、fy作用于柱面；

约束u、v作用于柱面。

(3)化简：任何横截面均为对称面。∴w=0,

只有u,v,(平面位移问题)

由于截面形状、体力、面力及约束沿z向均不变，故应力、应变、位移均为f(x,y)。平面应变状态：

例如：挡土墙，隧道隧道挡土墙3、平面问题总结：

例2（习题2-4）

按平面应变问题特征来分析，本题中

只有

思考题设有厚度很大(即z向很长)的基础梁放置在地基上,如果想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?

2-2平面问题的平衡微分方程

一、单元体的受力图

t=1

平面应力：z方向应力为零。

平面应变：z方向应力自成平衡。应用的基本假定：连续性假定─应力用连续函数来表示。小变形假定─用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。

二、平衡微分方程(平面任意力系)合力=应力×面积，体力×体积；以正向物理量来表示。平面问题中可列出三个平衡条件:

ΣFy=0，同理可得：ΣMC=0,得剪应力互等定理

三、总结：平衡微分方程

四、讨论：1、超静定问题。2、任意点平衡保证整体平衡。3、平面问题都适用。

思考题

1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来检验方程的正确性）。2.将条件ΣMc=0,改为对某一角点的ΣM=0，将得出什么结果？3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结果？2-3平面问题中一点的应力状态

一、斜截面上的应力取出一个三角形微分体（包含x面、y面，n面）已知坐标面上应力σx

,σy

,τxy

求斜面上的应力。斜面应力表示：p＝(px,py),p=(σn

,τn)2-3平面问题中一点的应力状态

一、斜截面上的应力求解：边长

AB=ds,

PB=lds,

PA=mds.

l=cos(n,x),

m=sin(n,y)

(1)求（px,py）2-3平面问题中一点的应力状态

一、斜截面上的应力

l=cos(n,x),

m=sin(n,y)

(2)求（σn

,τn

）将（px,py）向法向、切向投影，得2-3平面问题中一点的应力状态

一、斜截面上的应力2-3平面问题中一点的应力状态

一、斜截面上的应力2-4几何方程刚体位移

一、几何方程:表示应变与位移之间的关系

二、几何方程的导出：应变分量用位移表示

PA

线应变

二、几何方程的导出：

PA

线应变

PA

转角

PB

线应变

PB

转角

三、几何方程的总结：

⑴适用于区域内任何点；

⑵应用小变形假定，略去了高阶小量→线性的几何方程；

⑶适用条件：a.连续性；b.小变形。

⑷几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果。

四、刚体位移1、基本概念位移确定→形变完全确定：

从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定。

从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定。形变确定，位移不完全确定：

从物理概念看，ε、γ确定，物体还可作刚体位移。

从数学推导看，ε、γ确定，求位移是积分运算，出现待定函数。2、刚体位移2、刚体位移物理意义：

─表示x，y向的刚体平移，

─表示物体绕原点的刚体转动。结论：

形变确定，位移不完全确定：

从物理概念看，ε、γ确定，物体还可作刚体位移。

思考题

1.试证明微分体绕z轴的平均转动分量是

2.当应变为常量时，εx=a,εy=b,γxy=c，试求出对应的位移分量。选择习题2—7、2—19。2-5物理方程

一、物理方程:表示应变与应力之间的关系

二、广义胡克定律物理方程的说明：(1)理想线性弹性体；(2)本构关系：总结实验规律得出的；(3)各项同性；

三、平面问题的物理方程1、平面应力问题的物理方程：2、平面应变问题的物理方程

变换关系：

平面应力物理方程→平面应变物理方程：

平面应变物理方程→平面应力物理方程：1、平面应力问题的物理方程：2、平面应变问题的物理方程

思考题

1.试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。2.试证：三个主应力均为压应力，有时可以产生拉裂现象。试根据空间问题的物理方程进行解释。3.试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题）比圆筒（平面应变问题）的变形大。试根据它们的物理方程来解释这种现象。2-6边界条件一、边界条件─表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系。

二、3类边界条件

1、位移边界条件

─在Su部分边界上给定位移分量u(s)和v(s

)

（在Su上)。

位移边界条件的说明：

(1)

它是函数方程，要求在

上每一点，位移与对应的约束位移相等。

(2)

若为简单的固定边u=v=0，则有

(3)

它是在边界上物体保持连续性的条件，或位移保持连续性的条件。

（在Su上)。2、应力边界条件──在Sσ上给定了面力分量fx(s)，(s)

。

坐标面应力与斜面应力的关系式：

将斜面与边界面重合，则得应力边界条件

应力边界条件的说明：

(1)

它是边界上微分体的静力平衡条件；

(2)

它是函数方程，要求在边界上每一点s上均满足，这是精确的条件；(3)特例：自由边界-----面力为零。当边界面为坐标面时，若x=a为正x面，l=1,m=0,

则成为

若x=-b为负x面，l=-1,m=0,

则成为

例1

列出边界条件：

例2

列出边界条件：

3、混合边界条件：

(1)部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；

(2)同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。例3

列出x=a的边界条件

思考题

1、若在斜边界面上，受有常量的法向分布压力q作用，试列出应力边界条件，(图(a))。2、证明在无面力作用的0A边上，σy不等于零（图(b)）。3、证明在凸角A点附近，当无面力作用时，其应力为零（图(c)）。4、试导出在无面力作用时，AB边界上的σx,σy

,τxy

之间的关系。(图(d))。5、试比较平面应力问题和平面应变问题的基本方程和边界条件的异同，并进一步说明它们的解答的异同。选择习题2—132-7圣维南原理及其应用一、概述

弹力问题是微分方程的边值问题。应力、位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。1、主要的困难在于难以满足边界条件。2、圣维南原理可用于简化小边界上的边界条件。二、圣维南原理：

如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。

二、圣维南原理：

如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。

圣维南原理的说明：

1、圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次要边界或局部边界）；

2、静力等效─指两者主矢量相同，对同一点主矩也相同；

3、近处─指面力变换范围的一、二倍的局部区域；

4、远处─指“近处”之外。

圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。

例1

比较下列问题的应力解答

三、圣维南原理的第二叙述：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。例2

比较下列问题的应力解答。

四、圣维南原理的应用：简化小边界上的边界条件。例1如图，写出x=l小边界的应力边界条件。

(1)

精确的应力边界条件

在边界x=l上，(2)圣维南原理意义下的应力边界条件(合力边界条件)。在小边界x=l上，讨论：1.如果只给出面力的主矢量、主矩如图，则直接代入面力的主矢量、主矩；2.合力边界条件是近似的，但只影响于小边界局部。合力边界条件对应于几种精确应力边界条件？比较：

精确的应力边界条件(无限)和积分的应力边界条件(有限)方程个数23方程性质函数方程（难满足）代数方程（易满足）精确性精确近似适用边界大、小边界小边界

思考题

为什么在大边界（主要边界）上，不能应用圣维南原理？选择习题2—8、2—9。例1

试列出图中的边界条件。解：(a)在主要边界y=±h/2应精确满足下列边