第一章3线性变换及其标准型0

第一章控制系统的状态空间表达式1.4线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型系统动态方程建立的过程，无论是从实际物理系统出发，从系统结构图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因此会得出不同的系统动态方程。2/6/202311.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式

实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；

系统结构图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；

从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。同一系统选取不同的状态变量便有不同形式的动态方程。2/6/202321.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式1）系统状态空间表达式的非唯一性为什么要进行线性变换？①说明状态变量不同，但实际可以通过线性变换互相转换；选择不同的状态变量，会得到不同的状态空间表达式。实质上不同的状态变量可以通过非奇异交换实现。

②交换成标准形式可使后面的研究简化。2/6/202331.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式我们总可以找到任意一个非奇异矩阵，将原状态矢量作线性变换，得到另一状态矢量，设给定系统为:

设变换关系为:即代入上式，得到新的状态空间表达式：

2/6/202341.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式由于为任意非奇异矩阵，故状态空间表达式为非唯一的。通常称为变换矩阵。对系统进行线性变换的目的在于使阵规范化，以便于揭示系统特性及分析计算。其理论依据是非奇异变换不会改变系统原有的性质。

对于上式，系统特征值为的根，经过线性变换后为，则特征值为，而

2/6/202351.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式故有等价变换之称。待获得所需结果以后，再引入反变换关系，换算回到原来的状态空间中去，得出最终结果。2/6/202361.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式例:

若系统状态空间表达式为:

即解：若取变换矩阵则变换后的状态矢量将为即亦即新的状态变量是原始状态变量的线性组合。2/6/202371.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式从而得交换后的状态空间表达式为2/6/202381.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式书本例2）、3）举了其他交换矩阵下（我们也可举出任意的非奇异矩阵），可以得到不同的状态空间表达式。2/6/202391.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式2/6/2023101.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式2/6/2023111.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式2/6/2023121.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式原状态空间表达式---------对角线型2/6/2023131.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式2）系统特征值和特征向量（预备知识）n×n维系统矩阵A的特征值是下列特征方程的根：这些特征值也为称特征根。例如，考虑下列矩阵A：特征方程为：这里A的特征值就是特征方程的根，即-1、-2和-3。2/6/2023141.4状态空间表达式的线性系统及标准型的对应于特征值一非零向量，使

定义：设第一章控制系统的状态空间表达式2）系统特征值和特征向量（预备知识）是一个的矩阵，若在向量空间中存在,则称为的特征值，任何满足的非零向量称为的特征向量。（1）特征值的计算【例】求下列矩阵的特征值。2/6/2023151.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式解：

解出特征值，，2/6/2023161.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式（2）特征向量的计算【例】求下列矩阵的特征向量。

解：（1）的特征值在上例中已求出，，2/6/2023171.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式（2）计算对应于特征值的特征向量，有。

设，即有:计算整理后有：

2/6/2023181.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式令：，则解出：（3）同理可算出的特征向量：的特征向量:2/6/2023191.4状态空间表达式的线性系统及标准型线性定常系统经非奇异变换后，特征多项式不变特征方程不变传递函数不变

第一章控制系统的状态空间表达式2/6/2023201.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式

动态方程的可逆线性变换其中P是n×n矩阵2/6/2023211.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式

特征多项式特征多项式没有改变。2/6/2023221.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式

传递函数阵传递函数阵没有改变2/6/2023231.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式

【例】设系统的状态方程为试求系统的特征方程和特征值。2/6/2023241.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式

解：系统的特征方程为特征方程的根为-1、-2和-3。矩阵A的特征值也为-1、-2和-3。两者是一样的。2/6/2023251.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式

【例】对前面例子之系统进行坐标变换，其变换关系为

试求变换后系统的特征方程和特征值。2/6/2023261.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式

解：

根据题意求变换矩阵代入2/6/2023271.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式

特征方程为特征值为-1，-2，-3，与上例结果相同。可得2/6/2023281.4状态空间表达式的线性系统及标准型即则必存在非奇异矩阵T，经过变换，状态方程化为对角线标准型。第一章控制系统的状态空间表达式3）状态空间表达式变换为对角线标准型定理：对于线性定常系统，如果其特征值是两两相异的，a)系数矩阵A具有任意形式2/6/2023291.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式其中如果特征值包含有q个重根时，则将状态方程化为约旦标准型2/6/2023301.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式证明：①先证特征值无重根设λ是A的n个互异特征根，是A对应于这些特征值的特征矢量。由于特征值互异，故特征矢量线性无关。它们构成的矩阵必为非奇异，即存在。由特征矢量的意义：2/6/2023311.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式两端左乘从而，证得经非奇异矩阵T变换后，系统矩阵为对角矩阵2/6/2023321.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式解：A的特征值互异，则变换矩阵[例]试将下列方程变换为对角线标准型2/6/2023331.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式则经变换后各有关矩阵分别为2/6/2023341.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式变换后的状态空间表达式为2/6/2023351.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式（b）A为阵为标准型，即为友矩阵2/6/2023361.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式⑴A的特征值无重根时，其变换矩阵是一个范德蒙德（Vandermonde）矩阵，如下所示：2/6/2023371.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式⑵A的特征值有重根时，以有的三重根为例：2/6/2023381.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式得2/6/2023391.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式【例】试将下列动态方程变换为对角标准型。

2/6/2023401.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式2/6/2023411.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式4）状态空间表达式变换为约旦标准型（1）约当块和约当阵约当块：、的矩阵，形如2/6/2023421.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式由若干个约当块组成的准对角线矩阵称为约当矩阵：

2/6/2023431.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式如果A阵具有重实特征根，又可分为两种情况：①A阵虽有重特征值，但矩阵A仍然有n个独立的特征向量。这种情况同特征值互异时一样，仍可以把A化为对角标准型。②另一种情况是矩阵A不但具有重特征值，而且其独立特征向量的个数也低于n。对于这种情况，A阵虽不能变换为对角标准型，但可以变换为约当标准型。2/6/2023441.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式

2/6/2023451.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式②当A的特征值包含m个重根时2/6/2023461.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式②当A的特征值包含m

个重根时---A为一般形式不加证明地给出变换矩阵T：其中，是对应于(n-m)个单根的特征矢量，求法同前，对应于m个重根的各向量的求得，应根据下式计算显然，仍为对应的特征矢量，其余则称之为广义特征矢量。2/6/2023471.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式【例】试将下列动态方程变换为约当标准型。

2/6/2023481.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式2/6/2023491.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式2/6/2023501.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式2/6/2023511.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式2/6/2023521.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式2/6/2023531.4状态空间表达式的线性系统及标准型第一章控制系统的状态空间表达式2/6/2023541.4状态空间表达式的线性系统及标准型③设A为友矩阵，具有m重实特征值，第一章控制系统的状态空间表达式且只有一个独立实特征向量与之对应，则使A化为约当阵J的变换阵P为：