whx周期序列离散傅里叶级数及傅里叶变换

第六讲2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换2.4离散时间信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系学习目标了解傅里叶变换的几种形式了解时域与频域信号特性的对偶关系了解周期序列的傅里叶级数及傅里叶变换之间的关系了解离散时间信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系补充内容:Fourier变换的几种可能形式

时间函数频率函数连续非周期非周期连续—傅里叶变换（FT）周期连续离散非周期—傅里叶级数（FS）离散非周期周期连续—序列的傅里叶变换周期离散离散周期—离散傅里叶变换连续时间、连续频率—傅里叶变换(FT)时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。连续时间、离散频率—傅里叶级数(FS)时域连续函数造成频域是非周期的谱，时域周期函数造成频域的离散。离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换

时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续离散时间、离散频率—离散傅里叶变换

一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散周期序列的傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续(FT)连续和周期(T0)非周期和离散(Ω0=2π/T0)(FS)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续(DFS)离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)(DFT)§2.3.1周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入对上式进行抽样，得：导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的傅氏级数开始的：因是离散的，所以应是周期的。，代入而且，其周期为，因此应是N点的周期序列。又由于所以求和可以在一个周期内进行，即

即，当在k=0,1,...,N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。二、周期序列的DFS及其性质周期为N的正弦序列其基频成分为：

K次谐波序列为：

但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续傅氏级数的不同之处，即

因此注意与连续周期序列傅氏级数的区别周期序列的特点周期序列不能进行傅里叶变换，因为其在n=-到+都周而复始永不衰减，不满足绝对可和条件。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取k=0到(N-1)这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数J加权的复指序列的线性组合。二.的k次谐波系数的求法

1.预备知识注意：其他r时分子总是为零的表达式将式的两端乘

，然后从n=0到N-1求和，则：3.离散傅氏级数的习惯表示法

通常用符号 代入，则：正变换：反变换：周期序列的DFS正变换和反变换：其中：

1)周期序列可展开为N次谐波的线性组合2）谐波系数也是一个由N个独立谐波分量组成的傅立叶级数3）为周期序列，周期为N。周期序列的DFS小结周期序列的DFS小结DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。2.3.2周期序列的傅里叶变换表示式在模拟系统中，的傅里叶变换是在Ω=Ωo处的单位冲激函数，强度是2π，即

对于时域离散系统中

，暂时假定其FT的形式与上式一样，也是在ω=ω0处的单位冲激函数，强度为2π，即X(ejω)是在ω=ω0+2πr(r取整数)处强度为2π的单位冲激函数，这是因为

的周期性引起的。的频谱如图2-3所示。图2-3的傅里叶变换逆变换计算如下

这是因为积分区间(-π，π)只包括一个单位冲激函数。以上利用冲激函数表示序列的傅里叶变换，对于一般的周期序列，可以用DFS表示为N次谐波叠加的形式，那么利用傅里叶变换可以将按各次谐波表示如下式中k=0，1，2，…，N-1，若让k在±∞之间变化，上式可简化为其中上式就是利用冲激函数，以及周期序列的离散傅里叶级数表示周期序列的傅里叶变换的表达式。例2.3.1设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓得到的序列(如图2-4(a)所示)，求序列的DFS与FT。解：(1)求DFS其幅度特性如图2-4(b)所示。(2)求FT图2-4序列x(n)的幅频特性

序列x(n)的幅频特性如图2-4(c)所示。注意序列x(n)幅度特性和幅频特性||的相似性，它们都可以表示周期序列的频谱分布，但周期序列的||使用冲激函数表示的。2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟

信号傅里叶变换之间的关系

我们知道模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述

这里t与Ω的域均在±∞之间。从模拟信号幅度取值考虑，在第一章中遇到两种信号，即连续信号和采样信号，它们之间的关系如下：

X(ejω)与Xa(jΩ)之间有什么关系，数字频率ω与模拟频率Ω(f)之间有什么关系，这在模拟信号数字处理中，是很重要的问题。为分析上面提出的问题，观察令，代入上式后，再将Ω′用Ω代替图模拟频率与数字频率之间的定标关系

例2.4.1设xa(t)=cos(2πf0t)，f0=50Hz以采样频率fs=200Hz对xa(t)进行采样得到采样信号和时域离散信号x(n)，求xa(t)和的傅里叶变换以及x(n)的FT。解：

Xa(jΩ)是Ω=±2πf0处的单位冲激函数，强度为π，如图2.4.2(a)所示。以fs=200Hz对xa(t)进行采样得到采样信号，其与xa(t)的关系式为将采样信号转换成序列x(n)，用下式表示：