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曲线拟合的最小二乘法最小二乘法最小二乘解的求法加权最小二乘法主要内容问题的提出第一部分引言一、问题的提法怎样从给定的一组数据出发，在某个函数类中寻找一个“最好”的函数来拟合这组数据。二、目的在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数据出发，寻找函数y=f(x)的一个近似公式（称为经验公式）。已有的多项式插值法解决这类问题有明显的缺陷：实验数据有误差；实验数据量大等。三、方法曲线拟合方法.第二部分最小二乘法一、基本概念：残差二、残差的选取方法（原则）1、选取，使偏差绝对值之和最小，即拟合的目的：使得残差最小，其中为所要找的函数。3、选取，使偏差平方之和最小，即2、选取，使偏差最大绝对值最小，即三、最小二乘原则（方法）1、定义：使“偏差平方和最小”的原则称为最小二乘原则。2、定义：按照最小二乘原则选取拟合曲线的方法，称为最小二乘法。3、线性最小二乘问题的提法对给定数据表要求在某个函数类中寻求一个函数（线性构成）使满足条件式中，是函数类中任一函数。满足上述关系式的函数，称为上述最小二乘问题的最小二乘解。如何求解最小二乘问题？1、确定函数类原则：根据实际问题与所给数据点的变化规律；有两个基本环节2、求解如下方程：第三部分最小二乘解的求法一、求解的基本原理：极小值原理点是多元函数的极小值点，从而有满足方程组二、正则（法）方程组如果定义:对任意函数和，引入记号三、定理（最小二乘解的存在唯一性定理）对于给定的一组实验数据(互异，）,在函数类（且线性无关）中，存在唯一的函数使得关系式（*）成立，并且其系数可以通过解法方程组（**）得到。作为一种应用，拟合曲线假设为代数曲线，即取:则有：四、应用分析于是正则（法）方程组为：五、应用举例说明最小二乘法解决实际问题的具体步骤和某些技巧。例1(补充)某种铝合金的含铝量为x(％),其熔解温度为y（0C），由实验测得x与y的数据如下表左边的三列。试用最小二乘法建立x与y的经验公式。解：1、将数据进行描图观察；2、确定拟合曲线的形式。这里根据所描图形分析，拟合曲线接近于一直线，故可用线性函数进行拟合这组数据；3、建立法方程组；4、解法方程组；5、检验拟合值与实测值之间的偏差（均方误差和最大误差）：法方程组对应的代数方程组：1、实际问题的解决中测得的数据并不都是等精度、等地位的。显然，对于精度高、地位重的数据应该以足够的重视，在计算时，给以足够的、更大的权重，在这种情况下，求给定的数据的拟合曲线，就要用加权最小二乘法。2、利用最小二乘法原则上解决了最小二乘法意义下的曲线拟合问题，但在实际问题的解决时，n往往很大，法方程组往往是病态的，因而给求解带来了一定的困难，为了解决这一问题，近年来，产生了一些新方法来克服这一困难，利用正交函数（正交多项式）作多项式的拟合。小结

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