高中数学人教B版第三章基本初等函数 高质作品 第33课时

第33课时幂函数课时目标1.通过实例，了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝x的图象，了解它们的变化情况及简单性质．3．会用幂函数的图象和性质解决一些简单问题．识记强化1．一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．(4)如果幂函数的图象过第三象限，则一定过点(－1，－1)．课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．在函数①y＝eq\f(1,x)，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是幂函数的是()A．①②④⑤B．③④⑥C．①②⑥D．①②④⑤⑥答案：C解析：幂函数是形如y＝xα(α∈R，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－eq\f(1,2)的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．2．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则实数a的值为()A．－1或2B．－2或1C．－1D．1答案：C解析：因为f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.3．幂函数f(x)＝x的大致图象为()答案：B解析：由于f(0)＝0，所以排除C，D选项，而f(－x)＝(－x)＝eq\r(3,－x2)＝eq\r(3,x2)＝x＝f(x)，且f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．故选B.4．设a＝(eq\f(2,3))，b＝(eq\f(2,3))，c＝(eq\f(2,5))，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞b＞a答案：B解析：∵f(x)＝(eq\f(2,3))x在R上为减函数，∴(eq\f(2,3))＜(eq\f(2,3))，即a＜b；∵f(x)＝x在(0，＋∞)上为增函数，∴(eq\f(2,3))＞(eq\f(2,5))，即a＞c.∴b＞a＞c.5．函数f(x)＝x＋eq\f(1,lgx)的定义域为()A．(1，＋∞)B．(0,1)C．(0，＋∞)D．(0,1)∪(1，＋∞)答案：D解析：由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0,lgx≠0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0,x≠1))⇒0＜x＜1或x＞1，所以f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．6．当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xa的图象恒在直线y＝x的下方，则a的取值范围是()A．0＜a＜1B．a＜0C．a＜1，且a≠0D．a＞1答案：C解析：如图(1)所示，当0＜a＜1时，对于x∈(1，＋∞)，y＝xa的图象恒在直线y＝x的下方；如图(2)所示，当a＜0时，对于x∈(1，＋∞)，y＝xa的图象也符合条件．二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．若α∈R，函数f(x)＝(x－1)α＋3的图象恒过定点P，则点P的坐标为________．答案：(2,4)解析：令x－1＝1，得x＝2，∴f(2)＝1α＋3＝4，所以f(x)＝(x－1)α＋3的图象恒过定点(2,4)，即点P的坐标为(2,4)．8．已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的解析式为________．答案：f(x)＝x4解析：因为幂函数f(x)＝x(m∈Z)为偶函数，所以－m2＋2m＋3为偶数．又f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，所以－m2＋2m＋3＞0，所以－1＜m＜3.又m∈Z，－m2＋2m＋3为偶数，所以m＝1，故所求解析式为f(x)＝x9．函数y＝(mx2＋4x＋2)＋(x2－mx＋1)的定义域是全体实数，则m的取值范围是________．答案：m＞2解析：要使y＝(mx2＋4x＋2)＋(x2－mx＋1)的定义域是全体实数，则需mx2＋4x＋2＞0对一切实数都成立，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,Δ＜0.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,42－4m×2＜0.))解得m＞2.故m的取值范围是m＞2.三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)将下列各组数从小到大排列起来．(1)，(－，(－eq\f(1,3))；(2)，，(－；(3)，，.解：(1)∵(－＝＞0，(－eq\f(1,3))＜0，又y＝xeq\f(2,3)在(0，＋∞)上单调递增．∴(－eq\f(1,3))＜(－＜.(2)∵＞1,0＜＜1，(－＜0，∴(－＜＜.(3)＝，＝＝(eq\r)，又∵y＝x在(0，＋∞)上单调递减，且eq\r＞＞，∴＜＜.11．(13分)已知幂函数f(x)的图象过点P(8，eq\f(1,2))．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的值域；(3)判断函数f(x)的奇偶性．解：(1)设f(x)＝xα.∵f(x)的图象过点P(8，eq\f(1,2))，∴8α＝eq\f(1,2)，即23α＝2－1，∴3α＝－1，即a＝－eq\f(1,3)，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x(x≠0)．(2)∵f(x)＝x＝eq\f(1,\r(3,x))，x≠0，∴y≠0，∴f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(3)∵f(－x)＝(－x)＝eq\f(1,\r(3,－x))＝－eq\f(1,\r(3,x))＝－f(x)，又f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∴f(x)是奇函数．能力提升12．(5分)已知幂函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x在第一象限内的图象分别是图中的C1、C2、C3、C4，则n1、n2、n3、n4的大小关系是()A．n1＞n2＞1，n3＜n4＜0B．n1＞n2＞1，n4＜n3＜0C．n1＞1＞n2＞0＞n4＞n3D．n1＞1＞n2＞0＞n3＞n4答案：D解析：直接根据幂函数的单调性得到结果，也可过(1,1)点作垂直于x轴的直线，在该直线的右侧，自上而下幂函数的指数依次减小．13．(15分)已知幂函数f(x)＝(m－1)2x在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.(1)求m的值；(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．解：(1)依题意，得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减