2022-2023学年广东华南师大附中中学高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东华南师大附中中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．过点和点的直线在轴上的截距为（

）A．3 B．1 C． D．【答案】C【分析】由直线的两点式方程可写出直线的方程，令其中，即可求得答案.【详解】由题意可得过点和点的直线方程为，即，令，则，即过点和点的直线在轴上的截距为，故选：C.2．设数列的前项和，则的值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】利用求解即可.【详解】，，故.故选：D3．已知平面外的直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（

）A． B． C．与相交但不垂直 D．或【答案】B【分析】由确定正确答案.【详解】由于，即，由于，所以.故选：B4．若直线为圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选：C5．在前项和为的等比数列中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等比数列通项公式化简已知等式可求得，结合等比数列求和公式可得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，，解得：，.故选：B.6．已知正项等差数列的前项和为，若，则的值为（

）A．3 B．14 C．28 D．42【答案】D【分析】根据等差数列的性质得，则可由已知等式求的值，从而利用求和公式和等差数列性质求得值.【详解】解：正项等差数列，则若，则，解得或（舍）则.故选：D.7．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由题知点A为的中点，结合已知得，过点B作，由抛物线的定义即可求解.【详解】设l与x轴的交点为H，由O为中点，知点A为的中点，因为，所以．过点B作，垂足为Q，则由抛物线的定义可知，所以，则，所以．故选：C8．已知O为坐标原点，P是椭圆E：上位于x轴上方的点，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点，，，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由椭圆的对称性，及，得四边形为矩形，设，利用椭圆的定义，及条件所给出的长度关系，可表示出，，，利用勾股定理，求出m，推断出点P的位置，求出离心率.【详解】如图，设左焦点为，连接，，，由题，，关于原点对称，所以四边形为平行四边形，又因为，所以四边形为矩形.设，则，又因为，则，，，在中，，即，解得或（舍去），故点P为椭圆的上顶点.由，所以，即，所以离心率.故选：B.【点睛】解题时注意数形结合，抓住椭圆的对称性，将图形关系用含a，b，c的代数式表示出来，即可求解离心率.二、多选题9．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（

）A．是等差数列 B．C． D．有最大值【答案】AB【分析】由与的关系求出数列的通项，从而可判断AB，根据数列性质可判断C，根据前项和的函数性质可判断D.【详解】当时，，当时，，符合，故，所以，，所以数列是等差数列，首项为，公差，A正确；，B正确；因为公差，所以数列是递减数列，所以，C错误；，易知当或时，有最大值，D错误.故选：AB10．已知曲线，则（

）A．若，则曲线C是圆，其半径为2B．若，则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上C．若线C过点，则C是双曲线D．若，则曲线C不表示任何图形【答案】BC【分析】对于A，曲线可化为，表示圆，可求半径，判断A;对于B，时，曲线可化为，可判断表示椭圆，判断B;对于C，将点，，代入曲线：，求得曲线方程，判断C;对于D，可举特例进行说明，判断D.【详解】对于A，时，曲线可化为，其半径为，故A错误；对于B，时，曲线可化为表示的是椭圆，而，所以其焦点在轴上，故B正确；对于C，将点，，代入曲线：，有，，所以曲线是双曲线，故C正确；对于D，若，，满足条件，此时曲线：，表示两条直线，故D错误，故选：.11．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列说法正确的是（

）A． B．是偶数C． D．【答案】ABD【分析】选项ACD通过递推关系分析即可．选项B通过奇数偶数特性分析可得出是奇数偶数是周期出现的．【详解】由已知，数列满足递推关系．选项：；故正确；选项：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，，恰好能被3整除，且为偶数，所以也为偶数，故正确；选项：若选项C正确，又，则，同理，，依次类推，可得，显然错误，故错误；选项：，又，故正确；故选：．12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点．一束平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点反射后，再经C上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则（

）A． B．延长交直线于点D，则D，B，Q三点共线C． D．若平分，则【答案】BCD【分析】由平行于x轴的，且过点，可推出点坐标，写出直线的方程，并联立抛物线的方程，结合韦达定理可得，，即可判断A是否正确；解得点坐标，推出，，三点纵坐标都相同，即可判断B是否正确；由弦长公式计算出，即可得出C是否正确；平分推出，由，计算的值，即可判断D是否正确；．【详解】如图所示：，，，，由平行于x轴的，且过点，所以，把代入抛物线的方程，解得，即，由题知，直线经过焦点，直线的方程为，即，联立，得，所以，，对于A选项：由，故选项A错误；对于B选项：因为，，所以，即点纵坐标为，直线的方程为，联立，解得，所以点坐标为，，由光学性质可知平行于x轴，则，，三点纵坐标都相同，所以，，三点共线，故选项B正确对于C选项：，故选项C正确；对于D选项：由光学性质可知平行于x轴，平行于x轴，则，有，平分，有，所以∴，即，得，故选项D正确．故选：BCD．三、填空题13．若双曲线的一条渐近线方程为，则实数___________．【答案】9【分析】根据双曲线的焦点在轴上的渐近线为即可解决.【详解】由题知双曲线的焦点在轴上，所以即解得故答案为：9.14．如图，直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则BM与AN所成角的余弦值为______.【答案】##【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积求异面直线所成角的余弦.【详解】以C为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则有，，，，，，.则BM与AN所成角的余弦值为.故答案为：15．已知正项数列前项和满足，且，则__________.【答案】【分析】利用得出数列是等差数列，且公差为1，然后求得，再代入可得．【详解】，，，，，，∴，即，所以是等差数列，公差为1，，，，即，．故答案为：．16．已知椭圆的右顶点和上顶点分别为，左焦点为，以原点为圆心的圆与直线相切，且该圆与轴的正半轴交于点，过点的直线交椭圆于两点.若四边形是平行四边形，且平行四边形面积为，则椭圆的长轴长为___________.【答案】【分析】根据直线与圆相切可求得圆的半径，即，将与椭圆方程联立可求得坐标，由可构造齐次方程求得离心率，从而用表示出，根据可构造方程求得的值，进而得到椭圆长轴长.【详解】由题意知：，，，直线，即，直线与圆相切，圆的半径，即，四边形为平行四边形，，将代入椭圆方程得：，即，又，，，即，，解得：（舍）或；即，，，解得：椭圆长轴长.故答案为：.四、解答题17．在中，，，且，求：(1)求的值；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【分析】(1)由正弦定理化简已知等式可得，由已知条件利用余弦定理得，解方程得到a的值，进而可求b得值.(2)由已知条件，利用同角三角函数的基本关系可求得值，进而根据三角形的面积公示可计算得解.【详解】（1）因为，由正弦定理得，，所以，由余弦定理得，因为，，所以，化简得，解得或，当时，，与题意不符合;当时，，符合题意.所以.（2）因为，，所以，所以的面积18．已知数列满足且．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求的前n项和为．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可知，为等比数列，已知首项和公比，利用等比数列通项公式求解.（2）求出的通项，错位相减法求．【详解】（1）数列满足且，∴是首项为，公比为的等比数列，∴（2）由，得，，，两式相减得，.19．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，写出相关点坐标及相关向量，得到，即可证明；（2）计算平面的一个法向量，而为平面的法向量，利用面面夹角余弦值的公式求出角的余弦值，则得到面面角的正弦值.【详解】（1）证明：取中点,连接，为正三角形,,正三棱柱平面平面且相交于,又平面，平面，取中点,则，，，平面，，故以为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则，根据上下底面为正三角形，易得，，,,，且平面，直线平面.（2）设平面的一个法向量为，，，则，令，得，由（1）得为平面的法向量，设二面角的平面角为,,，二面角正伭值的大小为.20．如图，已知抛物线的焦点为，且经过点．(1)求和的值.(2)若点在上，且，证明：直线过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线得定义可求得，代入点的坐标可求得.（2）设出的方程及的坐标，利用点在上，且，通过向量数量积为0建立的关系，代入方程易证明直线过定点.【详解】（1），又在抛物线上，.（2）证明：设，，，，即.设直线为，与抛物线方程联立，得，且，，所以.当时，：，过定点.当时，：，过定点与点重合，舍去.综上所述，直线过定点.21．某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）.若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用（）表示A型车床在第n年创造的价值.(1)求数列的通项公式；(2)记为数列的前n项的和，，企业经过成本核算，若万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床，试问该企业须在第几年年初更换A型车床？【答案】(1)（万元）(2)该企业需要在第11年年初更换A型车床【分析】（1）由题意得构成首项，公差的等在数列，构成首顶，公比的等比数列，从而可求出其通项公式，（2）由（1）得是单调递减数列，于是，数列也是单调递减数列，然后分别求出和时的值，再由可求得结果.【详解】（1）题意得构成首项，公差的等差数列.故（万元）.构成首顶，公比的等比数列，故万元.于是，（万元）.（2）由（1）得是单调递减数列，于是，数列也是单调递减数列.当时单调递减，（万元）.所以（万元）；当时，（万元）；当时，（万元）.所以，当时，恒有.故该企业需要在第11年年初更换A型车床.22．已知双曲线（，）的左､右焦点分别为､，双曲线的右顶点在圆上，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点､，设为坐标原点.①求证：点与点的横坐标的积为定值；②求△周长的最小值.【答案】(1)；(2)①证明见解析；②6.【分析】（1）由在圆上求出参数a，利用向量数量积的坐标表示求出参数c，进而可得双曲线方程.（2）①设直线为，联立双曲线求得，联立渐近线与直线方程求与的横坐标，注意直线斜率不存在情况的讨论；②法1：利用两点距离公式求，结合基本不等式及①结论即可求周长最小值；法2：由①结论及两点距离公式可得，再由余弦定理求，进而应用基本不等式求的最小值，注意等号成立条件.【详解】（1