广东省梅州市东红中学高三数学理下学期期末试题含解析

广东省梅州市东红中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义域为R的函数y=f（x）对于任意x都有时的根的个数为

A．7

B．6

C．5

D．4参考答案：C2.已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为(

)A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），∴=1，∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．故选：B．【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础．3.若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）参考答案： C【考点】对数值大小的比较．【分析】由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论．【解答】解：由题意．故选C．4.若复数是纯虚数，其中m是实数，

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D略5.已知二次曲线时，该曲线的离心率e的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C6.17．在数列中，，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素，（）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（

）(A)18

(B)28

(C)48

(D)63参考答案：A7.张卡片上分别写有数字，从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数学之和为偶数的概率是()

A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.某几何体的主视图和左视图如图所示，则它的俯视图不可能是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】直接直观想象举出可能满足条件的几何体即可.【详解】对A,此时该几何体为圆锥,满足.对B,此时该几何体为正四棱锥.满足.对C,此时该几何体为正四棱锥的一半.满足.故选：D【点睛】本题主要考查了直观想象能力与三视图的辨析.属于基础题型.9.已知a∈R，则“≤0”是“指数函数y=ax在R上为减函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合不等式的解法和指数函数单调性的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由≤0的a（a﹣1）≤0且a﹣1≠0，解得0≤a＜1，若指数函数y=ax在R上为减函数，则0＜a＜1，∴“≤0”是“指数函数y=ax在R上为减函数”的必要不充分条件．故选：B．【点评】主要是考查了充分条件的判定的运用，利用不等式的解法和指数函数的单调性是解决本题的关键．10.设实数x，y满足不等式组则的取值范围是A．[0，]

B．[，]

C．[0，]

D．[，]参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.平面向量与的夹角为60°，，，则等于.

．参考答案：12.如右图，在△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D在BC

边上，∠ADC=，则AD的长为

参考答案：在△ABC中，因为AB=AC=2，BC=，所以，又∠ADC=，所以∠DAC=，所以CD=AC=2，所以由余弦定理得：，所以AD=。13.双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线离心率的取值范围是

.参考答案：14.已知菱形ABCD的边长为2，，点E、F分别在边BC、DC上，，.若，，则

．参考答案：

①即

②，解得

15.

已知，则的值为__________．参考答案：16.若，则的最小值为

参考答案：4，当且仅当，即，即时取等号，所以最小值为4.17.在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点，则点恰好落在第二象限的概率为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，平面PAD⊥平面ABCD，，四边形ABCD为平行四边形，，M为线段AD的中点，点N满足.（Ⅰ）求证：直线PB∥平面MNC；（Ⅱ）求证：平面MNC⊥平面PAD；（Ⅲ）若平面PAB⊥平面PCD，求直线BP与平面PCD所成角的正弦值.参考答案：(Ⅰ)见证明；(Ⅱ)见证明；(Ⅲ)【分析】（Ⅰ）连接，交于点，利用平几知识得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论，（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量垂直进行论证线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直垂直判定定理得结果，（Ⅲ）建立空间直角坐标系，根据面面垂直得两平面法向量垂直，进而得P点坐标，最后利用空间向量数量积求线面角.【详解】（Ⅰ）证明：连接，交于点，连接在平行四边形中，因为，所以，又因为，即，所以，又因为平面，平面，所以直线平面.（Ⅱ）证明：因为，为线段的中点，所以，又因为平面平面于，平面所以平面在平行四边形中，因为，所以以为原点，分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，则因为平面所以设，则所以所以，又因为所以平面，又因为平面所以平面平面.（Ⅲ）解：因为设为平面的一个法向量则不妨设因为设为平面的一个法向量则不妨设因为平面平面，所以，所以因为所以所以，所以所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行判定定理、利用空间向量证明面面垂直以及求线面角，考查综合分析论证求解能力，属中档题.19.已知抛物线过点，A，B是抛物线G上异于点M的不同两点，且以线段AB为直径的圆恒过点M.（I）当点A与坐标原点O重合时，求直线MB的方程；（II）求证：直线AB恒过定点，并求出这个定点的坐标.参考答案：（I）；（II）答案见解析.【分析】(Ⅰ)首先求得抛物线的方程，然后求得AO的斜率，最后利用直线垂直的充分必要条件可得直线的方程；(Ⅱ)联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理得到系数之间的关系，然后结合直线方程的形式即可证得直线恒过定点.【详解】（I）因为在抛物线上，所以，所以，抛物线.当点与点重合时，易知，因为以线段为直径的圆恒过点，所以.所以.所以,即直线的方程为.（II）显然直线与轴不平行，设直线方程.，消去得.设，因为直线与抛物线交于两点，所以①因为以线段为直径的圆恒过点，所以.因为是抛物线上异于的不同两点,所以,.,同理得.所以,即,.将①代入得，，即.代入直线方程得.所以直线恒过定点【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．20.（本小题满分14分）如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）证明：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD=AB，试求二面角A－PC－D的正切值；参考答案：解：（1）连结交于,连结,则,且,又平面,平面,PB//平面EAC．

……4分（2）正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，，又，所以，AE⊥平面PCD．

……9分（3）在PC上取点M使得。由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以所以，在等腰直角三角形DPC中，，连接，因为AE⊥平面PCD，所以，。所以，为二面角A－PC－D的平面角。…………12分在中，．即二面角A－PC－D的正切值为