广东省揭阳市华侨中学2023年高三数学理联考试题含解析

广东省揭阳市华侨中学2023年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若关于的方程恰有两个不等实根，且，则的最小值为（

）A．2

B．4－4ln2

C.

4+2ln2

D．1－3ln2参考答案：B2.已知四棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该几何体的体积为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略3.在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中，若2a2+an﹣5=0，则自然数n的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：B【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式Tr+1=?（﹣1）rxr可得ar=（﹣1）r?，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式Tr+1=?（﹣1）rxr，∴该项的系数ar=（﹣1）r?，∵2a2+an﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即2+（﹣1）n﹣5?=0，∴n﹣5为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．4.在△ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（2b﹣c）cosA=acosC，则∠A为（）A．B．C．D．参考答案：C考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosA的值，即可求出A的度数．解答：解：利用正弦定理化简已知等式得：（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，整理得：2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∵A为三角形的内角，∴∠A=．故选C点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．5.定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩?RB=（）A．（1，+∞） B．[0，1] C．[0，1） D．[0，2）参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中f（x）=，得到2x﹣1≥0，即2x≥1=20，解得：x≥0，即A=[0，+∞），由2x+2＞2，得到y=log2（2x+2）＞1，即B=（1，+∞），∵全集为R，∴?RB=（﹣∞，1]，则A∩?RB=[0，1]．故选：B．6.设，，，则（）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.已知集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（）A．8 B．2 C．4 D．7参考答案：A【考点】16：子集与真子集．【分析】根据B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，求出集合B中的元素个数，含有n个元素的集合，其子集个数为2n个．【解答】解：集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，当x=0，y=0时，z=0，当x=0，y=1或x=1，y=0时，z=1，当x=1，y=1时，z=2，∴集合B含有3个元素，其子集个数为23=8个．故选A．【点评】本题主要考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有n个元素的集合，其子集个数为2n个．8.对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数，下列函数中是准奇函数的是（把所有满足条件的序号都填上）①f（x）=②f（x）=x2③f（x）=tanx④f（x）=cos（x+1）参考答案：③④考点： 函数奇偶性的判断．专题： 函数的性质及应用．分析： 判断对于函数f（x）为准奇函数的主要标准是：若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数．解答： 解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数①使得x取定义域内的每一个值，不存在f（x）=﹣f（2a﹣x）所以f（x）不是准奇函数②当a=0时，f（x）=﹣f（2a﹣x），而题中的要求是a≠0，所以f（x）不是准奇函数③当a=时使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（π﹣x），则称f（x）为准奇函数．④当a=π时使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2π﹣x），则称f（x）为准奇函数故选：③④点评： 本题考查的知识点：新定义的理解和应用．9.命题p：“若x2－3x+2≠0，则x≠2”，若p为原命题，则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是（

）

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B10.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从而得到答案．【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为23﹣×22×1=．故选A．【点评】本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽相等”．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

数列，，，则的通项公式为________.参考答案：12.如图，正方形的边长为2，为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记为，所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积，那么对于函数有以下三个结论：①；②任意，都有；③任意，，且，都有其中所有正确结论的序号是．参考答案：①②.考点：函数性质的运用.13.已知函数f（x）=﹣x，且对任意的x∈（0，1），都有f（x）?f（1﹣x）≥1恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：a≥1或a【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】化简所求f（x）?f（1﹣x）≥1为+x（1﹣x）﹣a（）﹣1≥0，令x（1﹣x）=t（0＜t），即有t2+（2a﹣1）t+a2﹣a≥0，令f（t）=t2+（2a﹣1）t+a2﹣a（0＜t），讨论对称轴和区间的关系，列出不等式，解出它们，求并集即可．【解答】解：由于函数f（x）=﹣x，f（x）?f（1﹣x）≥1即为（﹣x）（﹣1+x）≥1，则+x（1﹣x）﹣a（）﹣1≥0，令x（1﹣x）=t（0＜t），则上式即为+t﹣a﹣1≥0，即有t2+（2a﹣1）t+a2﹣a≥0，令f（t）=t2+（2a﹣1）t+a2﹣a（0＜t），对称轴t=﹣a，若a，则区间（0，]为增，则f（0）≥0，即有a2﹣a≥0，解得a≥1；若﹣a即a，则区间（0，]为减，则f（）≥0，即16a2﹣8a﹣3≥0，解得a或a则有a；若0＜﹣a≤，则有f（﹣a）≥0，即有≥0，解得，a∈?．综上可得，a≥1或a．故答案为：a≥1或a．14.△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c.D是BC边的中点，且，，，则△ABC面积为

．参考答案：因为，因为，由正弦定理及，得，即，即，在△ABC中，由余弦定理，得，分别在中，由余弦定理，得：，，两式相加化简，得c=2，b=3，则．

15.(理科)已知点是的重心，内角所对的边长分别为，且

,则角的大小是

.参考答案：(理)；16.已知12cosθ﹣5sinθ=Acos（θ+φ）（A＞0），则tanφ=．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用辅助角和两角和与差的余弦函数对已知函数式进行变形，求得sinφ、cosφ的值．然后根据同角三角函数关系进行解答．【解答】解：∵12cosθ﹣5sinθ=13（cosθ﹣sinθ）=13（cosφcosθ﹣sinφsinθ）=Acos（θ+φ）（A＞0），∴cosφ=，sinφ=，∴tanφ===．故答案是：．17.下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为

;

的共轭复数为

的虚部为。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求BC边所在直线的方程．参考答案：设，由AB中点在上，可得：，y1=5，所以．设A点关于的对称点为，则有.故

略19.（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．参考答案：解：（1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面.（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得，，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.从而CH⊥平面，故CH的长即为C到平面的距离，由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.从而点C到平面的距离为.

20.（12分）某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为，高一胜高三的概率为，高二胜高三的概率为P，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜。（I）

若高三获得冠军概率为，求P。(II)记高三的得分为X，求X的分布列和期望。参考答案：(Ⅰ)高三获得冠军有两种情况，高三胜两场，三个队各胜一场.高三胜两场的概率为，…………………2分三个队各胜一场的概率为…………4分所以+＝解得.…………………6分(Ⅱ)高三的得分X的所有可能取值有０、１、２

P(X=0)=

P(X=1)=P(X=２)=……9分所以X的分布列为

…11分故X的期望＝…………12分21.已知数列，，，，，为数列的前项和，为数列的前项和.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）求证：.参考答案：解：（Ⅰ）法一：…3分

………………5分法二：

………………3分

……4分

………………5分（Ⅱ）…7分

9分

…………10分（Ⅲ）证明：

……12分

；……14