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文档简介
广东省揭阳市云联中学2021年高三数学文月考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知集合,,则A∩B中元素的个数为(
)A.3 B.2 C.1 D.0参考答案:B试题分析:集合中的元素为点集,由题意,可知集合A表示以为圆心,1为半径的单位圆上所有点组成的集合,集合B表示直线上所有的点组成的集合,又圆与直线相交于两点,,则中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合,这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2.为了得到函数的图像,可以将函数的图像(
)A.向右平移个单位
B.向左平移个单位
C.向右平移个单位
D.向左平移个单位参考答案:C
3.曲线与直线有两个不同的交点,实数k的范围是()A.(,+∞) B.(, C.(0,) D.(,参考答案:B本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的运用。根据题意画出图形,如图所示:由题意可得:直线l过A(2,4),B(-2,1),,又直线图象为以(0,1)为圆心,2为半径的半圆,,当直线l与半圆相切,C为切点时,圆心到直线l的距离d=r,即,解得k=,当直线l过B点时,直线l的斜率为,则直线l与半圆有两个不同的交点时,实数k的范围为(,,故选B.解决该试题的关键是理解曲线表示的图形,结合数形结合思想得到结论。4.已知数列{an}对于任意m、n∈N*,有am+an=am+n,若则a40等于
A.8
B.9
C.10
D.11参考答案:答案:C5.已知函数满足对恒成立,则
A.函数一定是偶函数
B.函数一定是偶函数
C.函数一定是奇函数
D.函数一定是奇函数参考答案:A略6.已知集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A∩B中元素的个数为()A.2
B.3
C.4
D.5参考答案:AA∩B={0,1,2,3}∩{2,3,4,5}={2,3},故A∩B中元素的个数为2.7.已知△OAB是边长为1的正三角形,若点P满足,则的最小值为(
)A.
B.1
C.
D.参考答案:C以为原点,以为轴,建立坐标系,为边长为的正三角形,,,,,故选C.
8.已知定义域为R的函数在上为减函数且函数为偶函数,则(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B略9.设分别为的三边的中点,则A.
B.
C.
D.参考答案:A=,
选A.10.设{an}是等比数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a1<a2,则2a2<a1+a3 D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 参考答案:C【考点】等比数列的通项公式. 【专题】转化思想;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 【分析】设等比数列{an}的公比为q. A.由a1+a2>0,可得a1(1+q)>0,则当q<﹣1时,a2+a3=a1q(1+q),即可判断出正误; B.由a1+a3<0,可得a1(1+q2)<0,由a1<0.则a1+a2=a1(1+q),即可判断出正误; C.由0<a1<a2,可得0<a1<a1q,因此a1>0,q>1.作差2a2﹣(a1+a3)=﹣a1(1﹣q)2,即可判断出正误; D.由a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)=q(1﹣q)2,即可判断出正误. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为q. A.∵a1+a2>0,∴a1(1+q)>0,则当q<﹣1时,a2+a3=a1q(1+q)<0,因此不正确; B.∵a1+a3<0,∴a1(1+q2)<0,∴a1<0.则a1+a2=a1(1+q)可能大于等于0或小于0,因此不正确; C.∵0<a1<a2,∴0<a1<a1q,∴a1>0,q>1.则2a2﹣(a1+a3)=﹣a1(1﹣q)2<0,因此正确; D.∵a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)=q(1﹣q)2可能相应等于0或大于0,因此不正确. 故选:C. 【点评】本题考查了不等式的性质、等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在极坐标系中,点,为曲线的对称中心,则三角形面积等于________.参考答案:试题分析:将点化为直角坐标为,极坐标方程化为直角坐标为,所以圆心为,所以的面积为.考点:极坐标方程及运用.12.设数列a1,a2,L,an,L满足a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数n,都有anan+1an+211,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则a1+a2+L+a100的值是____.参考答案:解:anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4,相减,得anan+1an+2(a4-an)=an+4-an,由anan+1an+211,得an+4=an.又,anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,a1=a2=1,a3=2,得a4=4.∴a1+a2+L+a100=25(1+1+2+4)=200.13.已知二项式展开式中的常数项为,且函数,则___________.参考答案:14.已知幂函数的图象过(4,2)点,则=
.参考答案:15.已知命题p:?x>0,总有(x+1)ex>1.则¬p为.参考答案:?x0>0,使得【考点】2J:命题的否定.【分析】命题p是全称命题,其否定应为特称命题,注意量词和不等号的变化.【解答】解:命题p:?x>0,总有(x+1)ex>1”是全称命题,否定时将量词对任意的x变为?x,再将不等号>变为≤即可.故答案为:?x0>0,使得.16.已知数列中,,,,若数列单调递增,则实数a的取值范围为
.参考答案:(0,1)
17.已知菱形的一条对角线长为2,点为上一点且满足,点为的中点,若,则
.参考答案:-7三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.设函数f(x)=e2x﹣4aex﹣2ax,g(x)=x2+5a2,a∈R.(1)若a=1,求f(x)的递增区间;(2)若f(x)在R上单调递增,求a的取值范围;(3)记F(x)=f(x)+g(x),求证:.参考答案:【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)分离参数,结合二次函数的性质求出a的范围即可;(3)求出F(x)的解析式,根据函数的单调性求出函数的最小值,从而证明结论即可.【解答】解:(1)当a=1,f(x)=e2x﹣4ex﹣2x,f'(x)=2e2x﹣4ex﹣2,令f'(x)>0得,∴f(x)的递增区间为.(2)∵f'(x)=2e2x﹣4aex﹣2a≥0在R上恒成立,∴e2x﹣2aex﹣a≥0在R上恒成立.∴=在R上恒成立.∵e﹣x>0,∴,∴a≤0.(3)证明:∵F(x)=e2x﹣4aex﹣2ax+x2+5a2=5a2﹣(4ex+2x)a+x2+e2x=,设h(x)=ex﹣2x,则h'(x)=ex﹣2,令h'(x)<0,得x<ln2,则h(x)在(﹣∞,ln2)单调递减;令h'(x)>0,得x>ln2,则h(x)在(ln2,+∞)单调递增;∴h(x)min=h(ln2)=2﹣ln2>0,∴.19.(本小题满分10分)在极坐标系中,O为极点,半径为2的圆C的圆心的极坐标为.(1)
求圆C的极坐标方程;(2)
在以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中,直线的参数方程为
(t为参数),直线与圆C相交于A,B两点,已知定点,求|MA|·|MB|.参考答案:20.某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,可见部分如下:试根据图表中的信息解答下列问题:(I)求全班的学生人数及分数在[70,80)之间的频数;(II)为快速了解学生的答题情况,老师按分层抽样的方法从位于[70,80),[80,90)和[90,100]分数段的试卷中抽取8份进行分析,再从中任选3人进行交流,求交流的学生中,成绩位于[70,80)分数段的人数X的分布列和数学期望.参考答案:【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;茎叶图.【专题】概率与统计.【分析】(I)由茎叶图可知,分数在[50,60)上的频数为4人,频率,参赛人数,从而可得结论;(II)确定被抽中的成绩位于[70,80)分数段的学生人数X所有取值,求出相应概率,即可求分布列与期望.【解答】解:(I)由茎叶图可知,分数在[50,60)上的频数为4人,频率为0.008×10=0.08,参赛人数为=50人,分数在[70,80)上的频数等于50﹣(4+14+8+4)=20人.
(II)按分层抽样的原理,三个分数段抽样数之比等于相应频率之比.又[70,80),[80,90)和[90,100]分数段频率之比等于5:2:1,由此可抽出样本中分数在[70,80)的有5人,分数在[80,90)的有2人,分数在[90,100]的有1人.
从中任取3人,共有种不同的结果.
被抽中的成绩位于[70,80)分数段的学生人数X所有取值为0,1,2,3.
它们的概率分别是:P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(x=3)==.∴X的分布列为X0123P∵EX=0×+1×+2×+3×=.【点评】本题考查概率知识的应用,考查概率的计算,考查分布列与期望,正确计算概率是关键.21.在平面直角坐标系xOy中,以Ox为始边,角α的终边与单位圆O的交点B在第一象限,已知A(-1,3).(1)若OA⊥OB,求tanα的值;(2)若B点横坐标为,求S△AOB.参考答案:【解】(1)由题可知:A(-1,3),B(cosα,sinα),略22.(本小题满分12分)设函数。(1)当方程只有一个实数解时,求实数的取值范围;(2)当时,求过点作曲线的切线的方程;(
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