广东省惠州市第二中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析

广东省惠州市第二中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过A(a,0)，B(0，b)两点，若原点O

到l的距离为c，则双曲线的离心率为()A.或2

B．

C.或

D.2参考答案：D2.若不等式的解集为,则实数的取值范围是

A

B

C

D[来源:/]参考答案：B略3.已知集合，，则（

）A．(0,2)

B．(1,2)

C．(1,2]

D．(0,2]参考答案：B4.某校甲、乙两食堂2013年元月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同。已知2013年9月份两食堂的营业额又相等，则2013年5月份营业额较高的是 （

）A．甲 B．乙 C．甲、乙营业额相等 D．不能确定参考答案：A略5.记全集，集合，集合，则（

）A.[4,+∞) B.(1,4] C.[1,4) D.(1,4)参考答案：C【分析】求得集合或，，求得，再结合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，全集，集合或，集合，所以，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合，再结合集合的补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C7.一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C8.集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={-4，0，1，2，16}，则a的值为（）A．1 B．2 C．-4 D．4参考答案：C略9.在直角坐标系中，如果不同两点A(a，b)，B(—a一b)都在函数y=h(x)的图象上，那么称[A，B]为函数h(x)的一组“友好点”（[A,B]与[B,A]看作一组).已知定义在上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[0，2]时，f(x)=sinx.则函数的“友好点”的组数为(A)4 (B)5 (C)6 (D)7参考答案：A略10.方程的实根个数为（

）A.1

B.

2

C.

3

D.

4参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，，且，则=

．参考答案：

12.设数列{an}的前n项和为Sn，且满足，则使，成立的n的最大值为____________.参考答案：3【分析】对递推关系再递推一步，得到新的等式，两个等式相减，结合等比数列的定义进行求解即可.【详解】当时，，即故；当时，两式相减得.故数列{an}为首项为1，公比为2的等比数列，可得，当时，，即也符合故数列{an}的通项公式为：故由可得整理可得：即可得故的最大值为：3.故答案为：3.【点睛】本题考查了由数列递推公式求数列通项公式，考查了等比数列的定义，考查了数学运算能力.13.求值：＝________参考答案：略14.已知数列的首项为,且,则这个数列的通项公式为___________参考答案：略15.设F为抛物线的焦点，A、B为该抛物线上两点，若，则=

。参考答案：6略16.设集合，，则=

．参考答案：17.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则__________.参考答案：试题分析：.考点：向量运算.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知：f(x)=(x<-2)，f(x)的反函数为g(x),点An(an,)在曲线y=g(x)上(n∈)，且a1=1.(1)

证明数列{}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)设bn=,记Sn=b1+b2+……+bn，求Sn.参考答案：解析：（1）由y=得，∴

∵x<—2，∴，∴g(x)=（x>0）

……2分∵点An(an,)在曲线y=g(x)上(n∈N+)，∴=g(an)=，并且an>0

，，∴数列{}为等差数列。

……5分(2)∵数列{}为等差数列，并且首项为=1，公差为4，

∴=1+4（n—1），∴，∵an>0，∴，

……9分(3)bn＝=,

∴Sn＝b1＋b2+…＋bn==……13分19.(本题满分12分)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是.(Ⅰ)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X的分布列及数学期望;(Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.参考答案：(Ⅰ)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.依条件可知X~B(6,).()…………3分X的分布列为:X0123456P…………6分=.或因为X~B(6,),所以.即X的数学期望为4…………7分(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A,则…………11分答:教师甲在一场比赛中获奖的概率为…………12分20.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数．(Ⅲ)若从样本中数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。

参考答案：（Ⅰ）0.03（Ⅱ）425人(Ⅲ)解析：（I）由，可得。（Ⅱ）因为数学成绩不低于60分的概率为：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，所以数学成绩不低于60分的人数为500×0.85=425人(Ⅲ)数学成绩在的学生人数为40×0.05=2人，数学成绩在的学生人数为40×0.1=4人，设数学成绩在的学生为A，B，数学成绩在的学生为C,D,E,F，抽取两名学生的结果有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF共15种，其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有AB,CD,CE,CF,DE,DF,EF共7种，所以两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为.

略21.（本小题满分12分）在数列中，已知

（I）令，求证为等差数列；

（II）令，若恒成立，求k的取值范围.参考答案：（Ⅰ）解：因为，所以，即，………………2分，故是以为首项，2为公差的等差数列。…………4分（Ⅱ）由（1）得，因为，故。…………6分因为，所以，……8分所以，………………10分

因为恒成立，故。…………12分略22.在某校高三学生的数学校本课程选课过程中,规定每位同学只能选一个科目.已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙,情况如下表:

科目甲科目乙总计第一小组156第二小组246总计3912现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况.(1)求选出的4人均选科目乙的概率;(2)设为选出的4个人中选科目甲的人数,求的分布列和数学期望.参考答案：解:(1)设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件,“从第二小组选出的2人选科目乙””为事件.由于事件、相互独