广东省广州市第六十六中学高三数学理联考试题含解析

广东省广州市第六十六中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数;(2)满足的复数的轨迹是椭圆;(3)若,则其中正确命题的序号是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C2.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为L，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在L上的投影为N，则的最大值是（

）A．B．1 C． D．参考答案：B【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故选：B．【点评】本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．

3.已知平面向量且则

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C略4.已知复数满足，则A. B. C. D.参考答案：C本题主要考查复数的四则运算与共轭复数.因为，所以，则5.已知x,y满足，则z=1-2x+y的最大值为A、0B、1C、1.5

D、2参考答案：答案：D6.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出100

名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．其中

成绩分组区间是[40，50），[50,60），[60,70），[70,80），

[80,90),[90,100]．则成绩在[80,100]上的人数为

(A)70

(B)60

(C)35

(D)30参考答案：D略7.已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（

） A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知数列，把数列的各项排列成如图所示的三角形数阵。记表示该数阵中第行的第个数，则数阵中的对应于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.定义为n个正数的“均倒数”．若已知数列的前n项的“均倒数”为，又，则=(

)．A.

B.

C.

D.参考答案：C由已知得当时，

当时也成立，.10.下列函数中，与函数定义域相同的函数为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图(如图所示)．则分数在[70,80)内的人数是________参考答案：30略12.如果的展开式中含有非零常数项，则正

整数的最小值为__________.参考答案：答案:713.已知x，y∈R+，且满足x+2y=2xy，那么3x+4y的最小值为

．参考答案：5+2

【考点】基本不等式．【分析】由正数x，y满足x+2y=2xy，得到+=1，再利用基本不等式即可求出．【解答】解：由正数x，y满足x+2y=2xy，∴+=1，∴3x+4y=（3x+4y）（+）=3+2++≥5+2=5+2，当且仅当x=，y=时取等号，故3x+4y的最小值为：，故答案为：5+214.已知，则

.参考答案：-4略15.已知函数若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________．参考答案：(－2,1)16.抛物线的顶点为，，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则的面积是

．参考答案：17.已知f(x)＝ln(eax＋1)－bx(b≠0)是偶函数，则＝

参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间高考资源网；（Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且且的面积为，求边的值.参考答案：(I)==令，得 ,f(x)的递增区间为。

………………6分(Ⅱ)由,得①……………10分由余弦定理得……………12分19.（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的轴的非负半轴为极轴，曲线的极坐标系方程为，直线的参数方程为（为参数），则与的交点A的直角坐标是

▲

参考答案：

略20.（本题满分12分）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？参考答案：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，-----------------4分当且仅当x＝，即x＝300时等号成立，-------------------5分故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为100元．----------------------------6分(2)获利．设该单位每月获利为S元，则S＝200x－y＝－x2＋400x－45000＝－(x－400)2+35000，--------------9分因为x∈[300，600]，所以S∈[15000，35000]．-----------------11分故该单位每月获利，最大利润为35000元。-----------------------12分【考点】基本不等式，二次函数21.若抛物线的顶点是双曲线x2﹣y2=1的中心，焦点是双曲线的右顶点（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线l，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由双曲线方程求得其右顶点坐标，得到抛物线的焦点坐标，从而求得抛物线的方程；（2）假设存在直线l，使得C恰为弦MN的中点，设出M，N的坐标，利用点差法求出l的斜率，求出直线方程后和双曲线联立后由判别式小于0说明直线不存在．【解答】解：（1）由x2﹣y2=1，可得a2=b2=1，则双曲线的右顶点为（1，0），即抛物线的焦点坐标为（1，0），则，p=2．∴抛物线方程为y2=4x；（2）假设存在直线l，使得C恰为弦MN的中点，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式作差得：，即．∴直线l的斜率为2．此时l的方程为y﹣1=2（x﹣2），即为2x﹣y﹣3=0．联立直线方程与双曲线方程后判别式大于0，∴满足条件的直线方程为2x﹣y﹣3=0．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了双曲线与抛物线的简单几何性质，是中档题．22.已知向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，又=2+，=﹣3+（Ⅰ）求与的夹角的余弦；（Ⅱ）设=t﹣，=﹣，若⊥，求实数t的值．参考答案：【考点】平面向量的综合题．【专题】计算题；向量法；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）进行数量积的运算便可得出，根据便可求出，同理可求出，这样根