广东省广州市穗华中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析

广东省广州市穗华中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，若，则的取值范围是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.由直线,，曲线及轴围成的区域面积是A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.已知向量，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C解析：本题考查向量的基本运算，属于基础题..故选C.4.己知，则“a=±1”是“i为纯虚数”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B略5.设x,y满足

（

）（A）有最小值2，最大值3

（B）有最小值2，无最大值（C）有最大值3，无最小值

（D）既无最小值，也无最大值参考答案：B6.已知函数，有下列四个命题；①函数是奇函数；②函数在是单调函数；③当时，函数恒成立；④当时，函数有一个零点，其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B①函数的定义域是，，不满足函数奇偶性定义，所以函数非奇非偶函数，所以①错误；②取，，，所以函数在不是单调函数，所以②错误；③当时，，要使，即，即，令，，，得，所以在上递减，在上递增，所以，所以③正确；④当时，函数的零点即为的解，也就是，等价于函数与函数图像有交点，在同一坐标系画出这两个函数图像，可知他们只有一个交点，所以④是正确的．故选B．7.为虚数单位的二项展开式中第七项为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知数列{a}满足a=，an+1﹣1=an2﹣an（n∈N*），则m=++…+的整数部分是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】8E：数列的求和．【分析】先判断数列{an}是单调递增数列，再根据数列的递推公式利用裂项求和即可得到m=++…+=3﹣，再根据数列的单调性判断出a2018＞2，问题得以解决【解答】解：∵a=，an+1﹣1=an2﹣an（n∈N*），∴an+1﹣an=an2+1＞0，∴an+1＞an，∴数列{an}是单调递增数列，由an+1﹣1=an2﹣an=an（an﹣1），∴==﹣，∴=﹣，∴m=++…+=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=3﹣，由a=＞1，则an+1﹣an=（an﹣1）2＞0，∴a2=1+，a3=1+，a4=1+＞2，…，a2018＞2，∴0＜＜1，∴2＜m＜3，∴整数部分是2，故选：B9.对任意（

）；

A.；

B.；

C.（-1,5）；

D.（-5,1）参考答案：B10.已知||=7，||=3，||=5，则与的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】把||=7两边平方，整理出两个向量的数量积的值，根据两个向量的夹角的公式，代入两个向量的数量积和两个向量的模长，得到余弦值，根据角的范围得到结果．【解答】解：∵||=7，||=3，||=5，∴2﹣2?+2=9﹣2?+25=49∴?=﹣，∴cos＜，＞===﹣∵＜，＞∈[0，π]∴与的夹角为．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.由1，2，3，4，5组成的五位数中，恰有2个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的五位数的个数是

（.用数字作答）参考答案：12.已知复数z满足（i为虚数单位），则

．参考答案：5因为，所以，即，.

13..已知，则的值等于

▲

；参考答案：14.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为．若直线与曲线交于两点，则=

参考答案： 15.已知圆的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆的直角坐标方程为_______________，若直线与圆相切，则实数的值为_____________．参考答案：；略16.在中，若,，则

.

参考答案：3因为，，所以，即，因为，所以，所以。17.设为等比数列的前n项和，，则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，其中.

（1）讨论函数的单调性；（2）记函数的极小值为m，若成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）在单调递增，在单调递减;（2）.【分析】（1）对函数进行求导得到，在解不等式即可得到单调区间；（2）利用导数求出函数的极小值为，从而得到恒成立，再利用导数研究的单调性，从而求得答案.【详解】（1）∵，∵，∴，，∴在区间单调递增，在区间单调递减.（2）∵，∴，∵，∴，∴或，，∴在单调递减，单调递增，∴，∴，令，在恒成立，单调递减，且，∴时，成立，∴实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间、利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19.（本小题满分12分）△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且a，b，c也成等差数列，求证：△ABC为等边三角形．参考答案：【知识点】三角形的形状判断；等差数列的性质；等比数列的性质．D2D3C8解析：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C（1）因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π．由（1）（2）得B=．（3）由a，b，c成等比数列，有b2=ac（4）由余弦定理及（3），可得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac再由（4），得a2+c2﹣ac=ac，即（a﹣c）2=0因此a=c从而A=C（5）由（2）（3）（5），得A=B=C=所以△ABC为等边三角形．【思路点拨】先根据A，B，C成等差数列和三角形内角和定理求出B的值，进而根据等比中项的性质可知b2=ac代入余弦定理求得a2+c2﹣ac=ac，整理求得a=c，判断出A=C，最后利用三角形内角和气的A和C，最后证明原式．20.设函数（其中）.(1)当时,求函数的单调区间和极值；(2)当时,讨论函数的零点个数.参考答案：（1）所以单增区间为

所以单减区间为

…………6分（2）当时，在上单增，在上单减所以一个零点当时，在上单增所以一个零点当时，在上单增，在上单减取等号取所以一个零点综上，当时，一个零点。…12分21.不等式选讲．

已知函数．

（I）当a=1时，解不等式;(Ⅱ)若存在，使成立，求a的取值范围．

参考答案：（Ⅰ）当时，不等式可化为，当时，不等式即当时，不等式即所以，当时，不等式即，综上所述不等式的解集为；………………5分（Ⅱ）令，所以函数最小值为，根据题意可得，即，所以的取值范围为.………………10分略22.已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：﹣＜f（x1）＜﹣1．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2﹣ex，f′（x）=2x﹣ex，f″（x）=2﹣ex，利用导数研究其单调性可得当x=ln2时，函数f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2﹣2＜0，即可得出．（II）f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），可得f′（x）=2ax﹣ex=0有两个实根x1，x2（x1＜x2），由f″（x）=2a﹣ex=0，得x=ln2a．f′（ln2a）=2aln2a﹣2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=2a﹣e＞0，可得0＜x1＜1＜ln2a，进而得出．解答： （Ⅰ）解：a=1时，f（x）=x2﹣ex，f′（x）=2x﹣ex，f″（x）=2﹣ex，令f″（x）＞0，解得x＜ln2，此时函数f′（x）单调递增；令f″（x）＜0，解得x＞ln2，此时函数f′（x）单调递减．∴当x=ln2时，函数f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2﹣2＜0，∴函数f（x）在R上单调递减．（Ⅱ）证明：f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），∴f′（x）=2ax﹣ex=0有两个实根x1，x2（x1＜x2），由f″（x）=2a﹣ex=0