广东省广州市市番禺区南沙中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试卷含解析

广东省广州市市番禺区南沙中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，是两个不同的平面，m，n是异面直线且，则下列条件能推出的是（

）A．，

B．，

C．，

D．，参考答案：D2.下面四个推理中，属于演绎推理的是（）A．观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72015的末两位数字为43B．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，可得偶函数的导函数为奇函数C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应参考答案：D【考点】F7：进行简单的演绎推理．【分析】分别判断各选项，即可得出结论．【解答】解：选项A、B都是归纳推理，选项C为类比推理，选项D为演绎推理．故选D．3.已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．?α∥β

B．?m∥n C．?l∥β D．?m⊥γ参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，l与β相交、平行或l?β；在D中，由线面垂直的判定定理得m⊥γ．【解答】解：三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，知：在A中，?α与β相交或平行，故A错误；在B中，?m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，?l与β相交、平行或l?β，故C错误；在D中，?m⊥γ，由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4.已知点分别是椭圆的左，右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，若是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B5.已知是实数，设是虚数单位，若则复数是（

）A、 B、

C、 D、参考答案：C6.已知S，T是两个非空集合，定义集合，则结果是(

)A.T B.S C. D.参考答案：C【分析】根据定义集合分析元素特征即可得解.【详解】因为表示元素在中但不属于，那么表示元素在中且在中即，故选C.【点睛】本题考查了集合的运算，结合题中给出的运算规则即可进行运算,属于基础题,7.若f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是

（）A．﹣1＜a＜2 B．a＞2或a＜﹣1 C．a≥2或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣2参考答案：B【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先求出函数的导数，根据函数有极大值和极小值，可知导数为0的方程有两个不相等的实数根，通过△＞0，即可求出a的范围．【解答】解：函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1所以函数f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），因为函数有极大值和极小值，所以方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2a）2﹣4×1×（a+2）＞0，解得：a＜﹣1或a＞2故选：B．8.在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A． B． C． D．2参考答案：B【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据对应图形，求出对应的面积即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则A（0，1），A到直线y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0的距离d=，由得，即C（，﹣），由，得，即B（﹣1，﹣2），则|BC|==，则△ABC的面积S==，故选：B9.已知函数在区间(－2,－1)内存在单调递减区间，实数a的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据题意求出函数的导数，问题转化为，根据不等式的性质求出a的范围即可．【详解】，由题意得，使得不等式成立，即时，，令，，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故，故满足条件a的范围是，故选：C．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的性质，是一道中档题．10.已知向量，若-与垂直，则||等于（A）1

（B）

（C）

（D）3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，AB=4，D是A1C1的中点，则AD与面B1DC所成角的正弦值为

；点E是BC中点，则过A，D，E三点的截面面积是

．参考答案：．【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．【分析】以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂直为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与面B1DC所成角的正弦值和过A，D，E三点的截面面积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，AB=4，D是A1C1的中点，∴以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂直为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），D（0，2，3），B1（2，2，3），C（0，4，0），E（，3，0），=（0，2，3），=（2，0，0），=（0，2，﹣3），=（），设平面B1DC的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（0，3，2），设AD与面B1DC所成角为θ，则sinθ===．∴AD与面B1DC所成角的正弦值为；过D作DF∥AE，交B1C1于F，则梯形AEFD就是过A，D，E三点的截面，∴AE=，DF=，DF到AE的距离d=||?=?=，∴过A，D，E三点的截面面积是S梯形AEFD=（）×=．故答案为：．12.已知P是椭圆上任意一点，EF是圆M：的直径，则的最大值为

．参考答案：2313.若对个向量，存在个不全为零的实数，使得=成立，则称向量为“线性相关”.依此规定，请你求出一组实数的值，它能说明=(1,0),=(1,－1),=(2,2)“线性相关”.的值分别是_____，______，______；（写出一组即可）.参考答案：14.实数x>0,y>0满足x+y+xy=1,则x+y的最小值是

参考答案：略15.一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为

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．参考答案：略16.若x＞0，y＞0，+=，则x+4y的最小值为

．参考答案：64【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，+=，则x+4y=4（x+4y）=4（8+）≥4=64，当且仅当x=4y=32时取等号．故答案为：64．17.已知P是椭圆和双曲线的一个共公点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则的最大值是_________.参考答案：【分析】设，利用椭圆和双曲线的定义，求出的值，利用余弦定理得出等式，利用三角代换求出的最大值。【详解】设，由椭圆的定义可知：（1），由双曲线的定义可知：（2），得：，得：，由余弦定理可知：，设所以，当时，的最大值是。【点睛】本题考查了椭圆、双曲线的定义。重点考查了三角代换、余弦定理、辅助角公式。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥DC，点E、F、G、M、N分别是PB，AB，BC，PD，PC的中点（1）求证：AN∥平面EFG；（2）求证：平面MNE⊥平面EFG参考答案：解：（1）在中，分别是的中点，所以，所以平面在中，分别是的中点，所以，所以平面又，所以平面平面，所以平面（2）∵、分别是、中点，∴又，∴同理可证．又，、面，故．又、分别为、中点，∴，又，故，∴∵∴

19.如图，平面α截三棱锥P﹣ABC得截面DEFG，设PA∥α，BC∥α．（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）设PA=6，BC=4，PA与BC所成的角为600，求四边形DEFG面积的最大值．参考答案：【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出DG∥EF，GF∥DE，由此能证明四边形DEFG为平行四边形．（2）设DG=x（0＜x＜6），推导出DE=GF=，∠GDE=60°，四边形DEFG面积S=DG?DE?sin60°，由此能求出四边形DEFG面积取最大值．【解答】证明：（1）∵面α截三棱锥P﹣ABC得截面DEFG，PA∥α，BC∥α．平面PAB∩截面DEFG=DG，∴PA∥DG，PA∥EF，∴DG∥EF，同理，GF∥DE，∴四边形DEFG为平行四边形．解：（2）设DG=x（0＜x＜6），则，∴，∴DE=GF=，∵PA∥DG，BC∥DE，PA与BC所成的角为600，∴∠GDE=60°，∴四边形DEFG面积S=DG?DE?sin60°=x??sin60°=﹣（x﹣3）2+3．∴当x=3时，四边形DEFG面积取最大值3．20.（12分）已知函数⑴求函数在[]上的单调区间；⑵已知角满足，，求的值。参考答案：(2)

∵，∴∴（12分）21.三角形ABC中，a（cosB+cosC）=b+c，（1）求证A=（2）若三角形ABC的外接圆半径为1，求三角形ABC周长的取值范围．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由余弦定理化简已知整理可得：（b+c）（a2﹣b2﹣c2）=0，由b+c＞0，可得a2=b2+c2，即可解得A=．（2）利用正弦定理可得a=2，b+c=2sin（B+），结合范围0，可得2＜b+c，从而可求三角形ABC周长的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵a（cosB+cosC）=b+c，∴由余弦定理可得：a+a=b+c，∴整理可得：（b+c）（a2﹣b2﹣c2）=0，∵b+c＞0，∴a2=b2+c2，∴A=，得证．（2）∵三角形ABC的外接圆半径为1，A=，∴a=2，∴b+c=2（sinB+cosB）=2sin（B+），∵0，＜B+＜，∴2＜b+c，∴4＜a+b+c≤2，∴三角形ABC周长的取值范围是：（4，2+2]．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．22.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧面BCC1B1⊥底面ABC，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°．（Ⅰ）求直线A1C与底面ABC所成的角；（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在点P，使得平面B1CP⊥平面ACC1A1？若存在，求出C1P的长；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）过B1作B1O⊥BC于O，证明B1O⊥平面ABC，以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，求出A，B，C，A1，B1，C1坐标，底面ABC的法向量，设直线A1C与底面ABC所成的角为θ，通过，求出直线A1C与底面ABC所成的角．（Ⅱ）假设在线段A1C1上存在点P，设=，通过求出平面B1CP的法向量，利用求出平面ACC1A1的法向量，通过=0，求出．．求解．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）过B1作B1O⊥BC于O，∵侧面BCC1B1⊥平面ABC，∴B1O⊥平面ABC，∴∠B1BC=60°．又∵BCC1B1是菱形，∴O为BC的中点．…以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则，B（