广东省中山市广东博文学校2021年高二数学文下学期期末试题含解析

广东省中山市广东博文学校2021年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知偶函数f(x)在上单调递减，且f(1)=3，那么不等式f(x)<3的解集为（

）A.

B.

C.(-1,1)

D.参考答案：D2.已知平面α∥平面β，直线m?平面α，那么直线m与平面β的关系是（）A．直线m在平面β内 B．直线m与平面β相交但不垂直C．直线m与平面β垂直 D．直线m与平面β平行参考答案：D【考点】直线与平面平行的判定．【分析】根据线面平行的性质得到直线m与平面β没有公共点，由线面平行的定义可得．【解答】解；因为平面α∥平面β，直线m?平面α，所以直线m与平面β没有公共点，所以直线m∥平面β；故选D．【点评】本题考查了面面平行的性质以及线面平行的判定，运用了线面平行的定义，属于基础题．3.设随机变量，满足：，，若，则（

）A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：A4.在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求．【解答】解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分．∵AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，∴AE=ABsin60°=，BE=ABcos60°=1，V1==，V2==π，∴V=V1﹣V2=，故选：A．【点评】本题考查圆锥的体积公式的应用，判断旋转体的形状是解题的关键．5.若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A．－1

B．1C．

D．2参考答案：B6.已知点,且,则实数的值是

A.或

B.或

C.或

D.或参考答案：D7.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,,则 B．若,,,则C．若,,,则 D．若,,,则参考答案：D8.已知全集U=R，集合A={x|x2＞4}，则?UA=（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） D．[﹣4，4]参考答案：B【考点】补集及其运算．【分析】根据补集的定义，求出A在U中的补集即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2＞4}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），所以?UA=[﹣2，2]．故选：B9.直线2x﹣y=7与直线3x+2y﹣7=0的交点是（）A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）参考答案：A【考点】两条直线的交点坐标．【专题】计算题．【分析】要求两条直线的交点坐标，联立两条直线的方程求出解集即可得到．【解答】解：联立直线方程得：解得即交点坐标为（3，﹣1）故选A【点评】考查学生会根据两条直线的方程求交点坐标，此题比较简单．10.某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是

(

)

A.至多有一次中靶

B.两次都中靶

C.两次都不中靶

D.只有一次中靶参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.参数方程所表示的曲线的普通方程为

．参考答案：略12.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD–A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.参考答案：118．8【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.【详解】由题意得，，四棱锥O?EFG的高3cm，∴．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为．【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．13.要使的图像不经过第一象限，则实数m的取值范围__________．参考答案：14.甲乙丙丁四个人参加某项比赛,只有一人获奖,甲说:是乙或丙获奖,乙说:甲丙都未获奖,丙说:我获奖了,丁说:是乙获奖.已知四人中有且只有一人说了假话,则获奖的人为________.参考答案：乙【分析】本题首先可根据题意中的“四人中有且只有一人说了假话”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行分析，观察四人所说的话是否冲突，最后即可得出结果。【详解】若甲说了假话，则乙丙丁说的是真话，但是丙丁所说的话冲突，故不正确；若乙说了假话，则甲丙丁说的是真话，但是丙丁所说的话冲突，故不正确；若丙说了假话，则甲乙丁说的是真话且丙未获奖，由“是乙或丙获奖”、“甲丙都未获奖”、“丙未获奖”以及“是乙获奖”可知，获奖者是乙；若丁说了假话，则甲乙丙说的是真话，但是乙丙所说的话冲突，故不正确，综上所述，获奖者是乙。【点睛】本题是一个简单的合情推理题，能否根据“四人中有且只有一人说了假话”将题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题。15.若曲线上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角,则实数的取值范围是

.参考答案：16.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是_________________.参考答案：17.若函数f(x)=2|x－a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1－x)，且f(x)在[m,+∞)上单调递增，则实数m的最小值等于_______．参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=e2x﹣1﹣2x﹣kx2（Ⅰ）当k=0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求k的取值范围．（Ⅲ）试比较与（n∈N*）的大小关系，并给出证明：（）参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）求得函数f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（II）求出f（x）的导数f′（x），再求导数f''（x），讨论k的范围，①当2k≤4即k≤2时，②当2k＞4即k＞2时，求出导数符号，确定单调性，即可得到所求范围；（Ⅲ）由（II）知，e2x≥1+2x+2x2，令x=1，2，…，n﹣1，可得n﹣1个不等式，累加，运用不等式的性质和求和公式，即可得到所求大小关系．【解答】解：（I）函数f（x）=e2x﹣1﹣2x的导数为f′（x）=2（e2x﹣1），∵x＞0时f′（x）＞0，x＜0时f′（x）＜0，∴单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，0）；（II）f（x）的导数为f′（x）=2e2x﹣2﹣2kx，f''（x）=4e2x﹣2k，①当2k≤4即k≤2时，f''（x）＞0?f′（x）单调递增?f′（x）≥0?f（x）单调递增?f（x）≥f（0）=0恒成立，∴k≤2使原式成立；②当2k＞4即k＞2时，?x0＞0使x∈[0，x0）时f''（x）＜0?f′（x）单调递减?f′（x）≤f′（0）=0?f（x）单调递减?f（x）＜f（0）=0不满足条件．综上可得，k≤2；（Ⅲ）由（II）知，当k=2时，e2x﹣1﹣2x﹣kx2≥0成立，即e2x≥1+2x+2x2，取x=n得e2n＞1+2n+2n2，e2＞1+2+2，e4＞1+2×2+2×22，e6＞1+2×3+2×32，…e2（n﹣1）＞1+2（n﹣1）+2（n﹣1）2，∴＞n+2[1+2+3+…+（n﹣1）]+2[12+22+…+（n﹣1）2]=．所以≥（n=1时取等号）．19.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．参考答案：【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题；解三角形．【分析】利用三角形的面积公式，求出sinA=，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．【点评】本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．20.在直角坐标系内，点实施变换后，对应点为，给出以下命题：①圆上任意一点实施变换后，对应点的轨迹仍是圆；②若直线上每一点实施变换后，对应点的轨迹方程仍是则；③椭圆上每一点实施变换后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；④曲线：上每一点实施变换后，对应点的轨迹是曲线，是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，则的最小值为．以上正确命题的序号是____▲____（写出全部正确命题的序号）．参考答案：①③④略21.（10分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．参考答案：（1）

证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO∥BD1，

.......................1分∵PO平面PAC，BD1平面PAC，所以，直线BD1∥平面PAC．.........3分（2）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC．

............................5分∵BD平面BDD1B1，D1D平面BDD1B1，BD∩D1D=D，∴AC⊥面BDD1B1．∵AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1B1．

...............7分（3）由（2）已证：AC⊥面BDD1B1，∴CP在平面BDD1B1内的射影为OP，∴∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角