广东省东莞市高级中学2023年高三数学理联考试题含解析

广东省东莞市高级中学2023年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V==，故选：B．2.θ为锐角，，则有

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.规定记号“”表示一种运算，即(a，b为正实数)．若1k＝3，则k＝ (

)．A．－2

B．1 C．－2或1

D．2参考答案：C4.复数z满足：（z－i）i=2+i，则z=

A．一l－i

B．1－i

C．—1+3i

D．1－2i参考答案：5.已知等比数列的前项和为，且满足，则公比=（

）A.

B.

C.2

D.参考答案：D6.过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面，如果截面是等腰三角形，则侧面与底面所成角的余弦值是A.

B.

C.

D.或参考答案：D7.已知，是两个单位向量，则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A设则，，所以当且仅当时，取到最大值5.,所以的最大值为,故选A.

8.若，其中a、b为实数，则a+b的值等于（）A．1 B．2 C． D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵=，∴，解得．∴a+b=．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础的计算题．9.已知函数，且，则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.知全集，集合，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线，则其渐近线方程为_________,离心率为________.参考答案：答案:，

12.已知的值为___________.参考答案：略13.设对所有实数x，不等式＞0恒成立，则a的取值范围为．参考答案：0＜a＜1考点：函数恒成立问题．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由二次不等式的性质可得，且×4＜0，解不等式可求a的范围解答：解：∵不等式＞0恒成立由二次不等式的性质可得，且×4＜0令t=log2即整理可得，∵∴解可得，0＜a＜1故答案为：0＜a＜1点评：本题主要考查了二次不等式的恒成立，解题的关键是二次不等式与二次函数的相互转化关系的应用．14.已知实数x，y满足，则z=ax+y的最小值为1，则a=．参考答案：1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．【解答】解：作出不等式，对应的平面区域，由z=ax+y得y=﹣ax+z，若a=0，则y=z，此时z=ax+y的最小值为0，不满足条件．若a＞0，则y=﹣ax+z的斜率﹣a＜0．此时直线经过点B（1，0）时取得最小值1，此时a+0=1，解得a=1，满足条件．若a＜0，则y=﹣ax+z的斜率﹣a＞0．要是目标函数取得最小值1，则满足，此时不等式无解，不满足条件．综上：a=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=ax+y的最小值为2，确定直线的位置是解决本题的关键．15.设m=(a,b)，n=(c,d)，规定两向量m，n之间的一个运算“”为mn=(ac-bd，ad+bc)，若p=(1,2)，pq=(-4,-3)，则q=

.参考答案：(-2,1)令q=(x,y),由题意可得p=(1,2),pq=(x-2y,y+2x)=(-4,-3),则x-2y=-4,且y+2x=-3,求解可得x=-2,y=1,则q=(-2,1).

16.已知函数在处有极值为10，则_______________.参考答案：18略17.已知i为虚数单位，那么（1+2i）2等于

．参考答案：﹣3+4i

【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的乘法运算化简（1+2i）2即可．【解答】解：（1+2i）2=1+4i+4i2=﹣3+4i，故答案为：﹣3+4i．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2016?汉中二模）设函数f（x）=|2x﹣|+|2x+m|（m≠0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式，结合基本不等式证明：f（x）≥2；（Ⅱ）求出f（x）min=3，若?x∈R，恒成立，则只需．【解答】（Ⅰ）证明：∵m＞0，，当即时取“=”号…（Ⅱ）解：当m=2时，f（x）=|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|=3则f（x）min=3，若?x∈R，恒成立，则只需，综上所述实数t的取值范围是．…（10分）【点评】本题考查绝对值三角不等式，考查基本不等式的运用，考查恒成立问题，属于中档题．19.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（1）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；（2）求比赛局数X的分布列和数学期望E(X)．参考答案：20.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．21.如图,在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,BC=2.(Ⅰ)求证：平面PCD⊥平面PAD；(Ⅱ)若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值.

参考答案：解析：（I）提示:先证CD⊥平面PAD;

（Ⅱ）提示:取PC的中点为M,AB的中点为N,选结EM、MN、PN,先证ANME是平行四边形,得MN∥＝AE,∴∠PMN或其补角为所求角,连AC可求得,.22.已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（I）若函数在时有极值，求的表达式；

(II)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．参考答案：（1）f′（x）=3x2+2ax+b∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．∴即∵函数y=f（x）在x=﹣2时有