立体几何中的-截面问题

立体几何中的截面问题例3:已知A爪立分别是四棱柱曲第一可应令乌的棱劲、叫和帆上的点,且^与助不平行』求作过这三点的截面口作法：(L)连接仃井延长交加延长线于点工(2)在平面四闭内连接々交出于点就⑶连接用屐则四边形尸婀即为所求.例飞如图,五棱锦—的城中，三条便接上各有一已知点F,G、墨求作过F,G,月的截面，作法：⑴将侧面总、PBC,如伸展得到三棱锥4属「⑵在侧面盛内，连结并延快交他于工⑶在侧面出『内.连结井延长初交旧'干匚⑷在恻面?$了内，连结或分别交阳、PE于&M(5)连结EK磔则五边形侬3W即为所求的截面例仇己厮直四棱柱4勺，严在面4赎1［内，。在面直用研内.E在桂州上」画出过人久斤三点的觐面口作法：⑴过户作即J_◎于点严，过Q作QQJU〃于Q(2)在底面破刀内连接肝.BQ,并交于瓦⑶由平行线R、所作平面我掰连接明⑷在平面8班内过4祚版L面M07交篇于尤⑸由平行线用,川］作平面用照i，则荒必落在面月24］内⑹在面所池［内，连接掰井延长交山1于必⑺在面为幽内，连接卸，并延长交纳于£1s⑻在面网比Q内,连接阳并延长交CCy于兀⑼连接£八限则多边形S班丁即为所求.例去在侧棱和高的夹角为q的正四棱镣中，求隹一个过底面顶点且与这点所对侧柱垂直的般面（）＜45,，作法；⑴在平面胡心中.作延工宓于点反⑵在底面ABCD内过H作国”跛⑶延长嵌切分别交启于点风M弧）连接小懿分别交雅、副于点国风£5）连接』以血则多边形/磔H即为所求.类型生截面经逑的三个已知点两两不在同一面内的楼上.Af例的aar三点分别在直四棱柱的桥的、和四上，试画出过ra#三点的截面JVJV【注】如果G在平面4Q内时，任平而4G内作GF〃片却，情助平面POCB分割出直四棱柱44用—QR0U.又回到基本题型,在求得A1.N两点后，易得截面ERFEH若E在棱，4匕F.G分别在不经过校区4的两个面f共楂的两个面或相对的两个if力内,则作截面的步骤，仍是先作一个适当的辅助平面।归结为基本题型MKj〜1/MKj〜1/例m色E在平加4以内,F在平而且「内，G在平面耳R内，求过E.EG的截面解：如图，先作辅助平面在0PT，得到直五桂柱A.RQC.D,-ATPCD、连接EF并延长交尸。的延长埃广时,按增本我型方法作出截面KHL5例二七£F分别在正方体的梭B与＜①上.G在正方体的内部.求过EFG的截面解:过行作GH,平面且C,并延长交平而4G于K.作辅助平面4P0B,连接EC并延枝交尸0TM.连接EF.在平面H以内过尺作TS//EF.连接7T和FS,则所求裁面为『EF5【总结X①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截绕.②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点.③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点.④若两平行平面中一个平面与截面有交战，另一个面上只有一个已知点，则按平行平面与第三平面相交，那么它们的交线互相平行的性质，可得截面与平面的交线Q⑤若有一点在面上而不在楼上，则可通过作辅助平面转化为核上的点的何题；若已知点在体内，则可通过辅助平面使它转化为面上的点，再转化为棱上的点的问题来解决.u切二M-g=匹二/一,rc=m=-—gs8&ii】8cos0sing轴威面工期混的面积为S=R-tan&-(R-hSotran9-fi)-2Rh-fi2&截而CQRG的面积为5・工fs-臬叱也jIJ?.3.1.Rh.>,.,2Rh=—()-sina——(-sina=sin孤2cos328g8sin6sin2^在△白B和△附力中，a<^-23⑴当时，所以。式仪式打420改卜L2*in〃在（0,斤）可取得最大值L此时故而面积的最大清为广sin2。2sin例18：三棱椎A-BCD中，截卸任FGH与对棱AC\BD都平行，旦与AB.BC.CD.DA交干E.FG.H.则EF一GH在何处时.就而EF5面积城大解士由*。〃平面EFGN,过的平面.州C交平而EFGN『EF,EFf/AC同理7/。〃1「.所以£尸〃/0,同理可证/77"96.故EFGH是平行四边形记工FEH三6,由EF//AC.EH//BD可知异面直线与ED所成用为6或万-S由于三棱维司―BCD是给定的，则8是定值，记"一二二一二丁，则*+】=[ABAB^EFACnf^BEF^^BA,C=>=r=>£F-vJC'ACAB'^pujr£H*R0=4AEHs△aBR^二土=xnEH=<4B,故BDABS£rQ^=EF.EH.SUI&三（JB./fC,sillr.ivsf^RJC.siJC.5in^14例1伙如图f,正四面体HRCD，相尸是线段XB上帘近月的三等分点,0是线段寸节近Q的三等分点，R是线段CD的中点，作截而尸。员，交线段8「于5.试确定5的具地位较解工设方=江工？二2万三工则尸0三百十牙。匚TOC\o"1-5"\h\zII■*«Hi—■I»«Im*9R=pD+HR=pQ+—(*C—®=—』+—9――}=y——d―3—之由截面F0取交线段EC于S,则万：丽.砺共面，于是存在唯一的实数人“,使得万=乂国+〃圆，记说=#反1则方=厢+方=二5+16一3)=(——,r)5+xc3333284—4—所以《3」二2一二”工二2,.丫二二，于是HS三二3C.1「55E"彳*所以5是线段BCt的轼近点「的五等分点,Ss_$Ss_$证明：以正楂台为例二例20；如图,曲凌台的上下底面油闸分别为平行丁底面的他间4曷CJJ/o分晶母T的比里幺二坦，截面面糊为舟，求证；叵J而中建屈H0fTnut+n证明］过/作TN.与4序交于对AM网ui…用HB=iMB『hn5+，M6A-SV区及，『飞"j"n…川十"S.'S"例21若台体的侧面积被平行底面的截面自上而下分成M：小则截而面枳%=上上二L9+JJ05।姻=$一§|一二胆"Sq="居二+"§1：5卜朗S|.-5an，〃+"若舍体的体视被平行底面的戳匍自上谕下分成加㈤3ijmq?_“S?则低而面积5口满足5/二1—m-Hi例桀过正方体4比工）-月禺G0的对角线助1的微曲耐积为&心和鼠分别为E的最大值和最小值，求必把的值5'a解:设北、分别为班、偌的中点.易证截而皿是班长为色■的菱形加力体极长设为2J6口.其面积$皿二号而心ini能所◎是比膨、其而秋一=J，例23.如图，己加球日是模长为1的正方体」比0-4挽Ga的内切碎.则平而，屈徒球。的截面面根为.解:平而月s是边长为五的正三珈形r且理与以点口为公共点不F三个面的切点恰为S、三边的中点।故所求戒面的曲积是该.正三角形的内切网的面积，则由图得,入4匚4内切照的半捺是旦皿野二四,则所求的破而PS的面积是正（四广三二2666

解：如国，9_L平面EPC于Fi故4cp是』仃与平面郎£所成的便出据最小角定理.ZACS>Z.4CP,同理/£/「〉上仁4Fa所以WB+^BAC>A4CP+Z.CAP=900n^L4BC匕9/［司理可证/E匚工上二4月都是锐角.故△/月「为锐角一角电T利、（州"气M联容）己怔iF方体ARCn-4风「［口的椅长为1.以顶点X用球心.=为半论作一个球，求球面与正方体的表曲相交历得到的曲线的长解：TE二受.AD=102DAE=三,同理幺发/二三二ZE肝二二366—6散畲的长为2更.2=迫疳，这样的弧共有3条369在平面胃线口只上，交线为元.因为半役为£.3内仃二m所以启的长为史a二无「卜EshTOC\o"1-5"\h\z这样的弧也有&条.故所得曲线长为3区工匚笈十3以上二1*k966例29：已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的喇心距等于()-、A.1B.41匚点D,1Z,解析；Q与Q的公共弦为AB,球心为0.里中点为C,/\则四边形duqr为矩形，iqanoc\..-|aii=2.1；07明以\AC^LAC±OC二I叩=J&fT元『二石、、J/

s与的交点r满足r国利用三角形相似解得GM所以为假s与的交