高中数学北师大版第二章平面向量 市获奖

14平面向量的基本定理时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．设a，b是不共线的两个非零向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b.若A，B，D三点共线，则p的值为()A．1B．2C．－2D．－1答案：D解析：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，由A，B，D三点共线，知存在实数λ，使2a＋pb＝2λa－λb.∵a，b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＝2,p＝－λ))，∴p＝－1.2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝e2，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝()\f(1,2)(e1＋e2)\f(1,2)(e1－e2)\f(1,2)(2e2－e1)\f(1,2)(e2－e1)答案：A解析：因为O是矩形ABCD对角线的交点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝e2，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(e1＋e2)，故选A.3．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是()A．60°B．120°C．30°D．150°答案：A解析：使平面向量a，b有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等，可得向量－a与－b的夹角也是60°.4．如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是()A．a＋b与a－bB．a＋2b与2a＋C．a＋b与－a－bD．a与－b答案：C解析：由已知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底．5．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝3eq\o(PA,\s\up6(→))，则()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)答案：D解析：由已知eq\o(BP,\s\up6(→))＝3eq\o(PA,\s\up6(→))，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝3(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，整理，得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))，故x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4).6．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：对于①，若向量a、b确定，因为a－b是确定的，故总存在向量c，满足c＝a－b，即a＝b＋c故正确；对于②，因为c和b不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数λ、μ，满足a＝λb＋μc，故正确；对于③，如果a＝λb＋μc，则以|a|、|λb|、|μc|为三边长可以构成一个三角形，如果b和正数μ确定，则一定存在单位向量c和实数λ满足a＝λb＋μc，故正确；对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“以|a|，|λb|、|μc|为三边长可构成一个三角形”，这时单位向量b和c就不存在，故错误．故选C.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．设G是△ABC的重心(即三条中线的交点)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AG,\s\up6(→))＝________.答案：eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.解析：延长AG交BC于D.∵eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.8．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5k,2)))e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝________.答案：－2或eq\f(1,3)解析：由题设，知eq\f(k2,2)＝eq\f(1－\f(5k,2),3)，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或eq\f(1,3).9．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.答案：eq\f(4,3)解析：由题意，知eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).又eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))eq\o(AD,\s\up6(→))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ＝1,λ＋\f(1,2)μ＝1))，所以λ＋μ＝eq\f(4,3).三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．如图，在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M为BC的中点，试用a，b表示eq\o(MN,\s\up6(→)).解析：由eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，知N为AC的四等分点.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.11．已知eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，O是平面内任意一点(O不在直线AB上)．(1)试以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))为基底表示eq\o(OP,\s\up6(→))；(2)当λ＝eq\f(1,2)时，试确定点P的位置．解析：(1)∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))得(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→)).(2)当λ＝eq\f(1,2)时，由(1)可知eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，结合向量加法的几何意义可知，此时点P为线段AB的中点．12．如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于E，求证：E为线段BD的三等分点．解析：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a.因为A、E、F与B、D、E分别共线，所以存在实数λ，μ∈R，使eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝μeq\o(BD,\s\up6(→)).于是eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq