高中数学人教A版第二章平面向量 学案3

2023学年高一年级2023学年高一年级数学导学案（46）班级姓名学号编写：侯国会审阅：陈业慧石丛委2.2.1向量加法运算及其几何意义1．理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．学习重点：向量的加法、减法及几何意义学习难点：向量运算的几何意义一．知识导学1．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(BC,\s\up16(→))＝b，则向量____叫做a与b的和(或和向量)，记作_____，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝_____.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝__＋__＝__.(2)平行四边形法则：如图所示，已知两个不共线向量a，b，作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，则O、A、B三点不共线，以，为邻边作，则对角线上的向量2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝.二．探究与发现【探究点一】向量加法的三角形法则如图所示，是上海到台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞往台北．通过上面地图中客机的位移，我们得到向量加法的三角形法则：eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→)).使用向量加法的三角形法则具体做法是：先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量．问题1当向量a，b是共线向量时，a＋b又如何作出？问题2想一想，|a＋b|与|a|和|b|之间的大小关系如何？当a与b同向共线时，a＋b与____同向，且|a＋b|＝_______.当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与__的方向相同，且|a＋b|＝_______；若|a|<|b|，则a＋b与__的方向相同，且|a＋b|＝_______.【探究点二】向量加法的平行四边形法则向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和．以点A为起点作向量eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，以AB、AD为邻边作▱ABCD，则以A为起点的对角线eq\o(AC,\s\up16(→))就是a与b的和，记作a＋b＝eq\o(AC,\s\up16(→))，如图．对于零向量与任一向量a，我们规定：a＋0＝0＋a＝a.①根据上图中的平行四边形ABCD验证向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.(注：eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b)．②根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．【探究点三】向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．即：eq\o(A1A2,\s\up16(→))＋eq\o(A2A3,\s\up16(→))＋eq\o(A3A4,\s\up16(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up16(→)).或eq\o(A1A2,\s\up16(→))＋eq\o(A2A3,\s\up16(→))＋…＋An－1An＋eq\o(AnA1,\s\up16(→))＝__.这是一个极其简单却非常有用的结论(如图)．【典型例题】例1已知向量a，b如图所示，试用三角形法则和平行四边形法则作出向量a＋b.跟踪训练1如图，已知向量a，b，c，利用三角形法则作出向量a＋b＋c.例2化简：(1)eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))；(2)eq\o(DB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))；(3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→)).跟踪训练2如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．(1)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DO,\s\up16(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＝________.例3在水流速度为4eq\r(3)km/h的河中，如果要船以12km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．跟踪训练3某人在静止的水中的游泳速度为2eq\r(3)km/h，如果他以这个速度径直游向河对岸，已知水流的速度为2km/h，那么他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？三．巩固训练1.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是 ()\o(FD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(DE,\s\up16(→))＝0\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))＝0\o(FD,\s\up16(→))＋eq\o(DE,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→)) \o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(EC,\s\up16(→))＋eq\o(FD,\s\up16(→))＝eq\o(BD,\s\up16(→))2．设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：(1)eq\o(DE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝________；(2)eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝______；(3)eq\o(DE,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(EC,\s\up16(→))＝________；(4)eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(DB,\s\up16(→))＋eq\o(EC,\s\up16(→))＋eq\o(AE,\s\up16(→))＝________.3．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AP,\s\up16(→))＋eq\o(AQ,\s\up16(→)).4．如图所示，在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\