高中数学北师大版本册总复习总复习 2023版第3章2指数扩充及其运算性质

§2指数扩充及其运算性质2．1指数概念的扩充2．2指数运算的性质1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2.了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)3.掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重难点)[基础·初探]教材整理1分数指数幂阅读教材P64～P66的有关内容，完成下列问题．1.定义给定正实数a，对于任意给定的正整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，把b叫作a的eq\f(m,n)次幂，记作b＝，它就是分数指数幂．2.几个结论(1)正分数指数幂的根式形式：＝eq\r(n,am)(a>0)．(2)负分数指数幂的意义：＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)表示eq\f(2,3)个2相乘．()(2)＝eq\r(m,an)(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．()(3)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．()【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2指数运算的性质阅读教材P66～P67的有关内容，完成下列问题．若a>0，b>0，对任意实数m，n指数运算有以下性质：(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝；(3)(ab)n＝anbn；(4)当a≠0时，有eq\f(am,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am－nm>n，,1m＝n，,a－n－mm<n；))(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))n＝eq\f(an,bn)(b≠0)．＋＋＝________.【解析】原式＝＋＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))－1＋23＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)＋8＋eq\f(1,2)＝11.【答案】11[小组合作型]根式与分数指数幂的互化将下列根式化成分数指数幂的形式．(1)eq\r(3,a)·eq\r(4,a)；(2)eq\r(a\r(a\r(a)))；(3)eq\r(3,a2)·eq\r(a3)；(4)(eq\r(3,a))2·eq\r(ab3).【精彩点拨】利用根式与分数指数幂的转化式子：＝eq\r(n,am)和＝＝eq\f(1,\r(n,am))进行转化，注意其中字母a要使式子有意义．【尝试解答】(1)原式＝·＝；(2)原式＝··＝；(3)原式＝·＝；(4)原式＝()2··＝.根式与分数指数幂互化的关键与技巧：1关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用a>0，m，n∈N＋，且n>1.2技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.[再练一题]1.用分数指数幂表示下列各式．(1)eq\r(3,a)·eq\r(6,－a)(a<0)；(2)eq\r(3,ab2\r(ab)3)(a，b>0)；(3)(b<0)；(4)eq\f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))(x≠0)．【解】(1)原式＝·＝·＝(a<0)；(2)原式＝＝(·)eq\f(1,3)＝(a，b>0)；(3)原式＝(b<0)；(4)原式＝.分数指数幂的运算计算下列各式．【精彩点拨】(1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数；(2)将根式化为分数指数幂．进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用.一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题.[再练一题]2.计算或化简．[探究共研型]条件求值探究1已知＋＝3，求a＋a－1的值．【提示】(＋)2＝9，∴a＋a－1＝7.探究2在探究1的条件下，求a2＋a－2的值．【提示】(a＋a－1)2＝49，∴a2＋a－2＝47.已知eq\f(3,2)a＋b＝1，求eq\f(9a×3b,\r(3a))的值．【精彩点拨】应先化成同底数幂的形式．解决此类问题的思路步骤如下：[再练一题]3.若x>0，y>0，且x－eq\r(xy)－2y＝0，求eq\f(2x－\r(xy),y＋2\r(xy))的值.【导学号：04100042】【解】∵x－eq\r(xy)－2y＝0，x>0，y>0，∴(eq\r(x))2－eq\r(xy)－2(eq\r(y))2＝0，∴(eq\r(x)＋eq\r(y))(eq\r(x)－2eq\r(y))＝0，由x>0，y>0得eq\r(x)＋eq\r(y)>0，∴eq\r(x)－2eq\r(y)＝0，∴x＝4y，∴eq\f(2x－\r(xy),y＋2\r(xy))＝eq\f(8y－2y,y＋4y)＝eq\f(6,5).1.下列各式正确的是()A．(eq\r(3,a))3＝a B．(eq\r(4,7))4＝－7C．(eq\r(5,a))5＝|a| \r(6,a6)＝a【解析】(eq\r(4,7))4＝7，(eq\r(3,a))3＝a，(eq\r(5,a))5＝a，eq\r(6,a6)＝|a|，故选A.【答案】A2.计算的结果等于()\f(1,9) \f(1,3)C．±eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)【解析】＝＝eq\f(1,3).【答案】B3.(1)eq\r(3,a5)＝________.(2)＝________.【解析】(1)eq\r(3,a5)＝.(2)＝＝eq\f(1,\r(3,a2)).【答案