高中数学人教A版第二章平面向量学案

2023学年高一年级数学导学案2023学年高一年级数学导学案（47）班级姓名学号编写：侯国会审阅：王玲玉孙文东2.2.2向量减法运算及其几何意义2．掌握向量减法的几何意义．3．能熟练地进行向量的加、减运算．学习重点：理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则．学习难点：能熟练地进行向量的加、减运算．一．知识导学1．我们把与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量，记作____，并且有a＋(－a)＝__.2.向量减法的定义若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的，记为_____，求两个向量差的运算，叫做.3．向量减法的平行四边形法则以向量eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b为邻边作，则对角线的向量eq\o(BD,\s\up16(→))＝b－a，eq\o(DB,\s\up16(→))＝a－b.4．向量减法的三角形法则在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up16(→))＝a－b，即a－b表示从向量的终点指向向量的终点的向量.二．探究与发现【探究点一】向量的减法对照实数的减法，类比向量的减法，完成下表：对比项实数的减法向量的减法对比内容(1)相反数绝对值相等，符号相反的两个数，互为相反数(1)相反向量的两个向量，互为相反向量(2)零的相反数是零(2)(3)互为相反数的和是零(3)(4)实数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数(4)向量的减法：减去一个向量相当于根据相反向量的含义，完成下列结论：(1)－eq\o(AB,\s\up16(→))＝___；(2)－(－a)＝__；(3)－0＝__；(4)a＋(－a)＝__；(5)若a与b互为相反向量，则有：a＝____，b＝____，a＋b＝__.【探究点二】向量减法的三角形法则(1)由于a－b＝a＋(－b)．因此要作出a与b的差向量a－b，可以转化为作a与－b的和向量．已知向量a，b如图所示，请你利用平行四边形法则作出差向量a－b.(2)当把两个向量a，b的始点移到同一点时，它们的差向量a－b可以通过下面的作法得到：①连接两个向量(a与b)的终点；②差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．这种求差向量a－b的方法叫向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a与b的差向量a－b.【探究点三】|a－b|与|a|、|b|之间的关系(1)若a与b共线，怎样作出a－b?(2)通过上面的作图，探究|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系：当a与b不共线时，有：_____________________；当a与b同向且|a|≥|b|时，有：_______________；当a与b同向且|a|≤|b|时，有：_______________.【典型例题】例1如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.跟踪训练1如图所示，在正五边形ABCDE中，eq\o(AB,\s\up16(→))＝m，eq\o(BC,\s\up16(→))＝n，eq\o(CD,\s\up16(→))＝p，eq\o(DE,\s\up16(→))＝q，eq\o(EA,\s\up16(→))＝r，求作向量m－p＋n－q－r.例2化简下列式子：(1)eq\o(NQ,\s\up16(→))－eq\o(PQ,\s\up16(→))－eq\o(NM,\s\up16(→))－eq\o(MP,\s\up16(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→)))－(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(BD,\s\up16(→)))．跟踪训练2化简：(1)(eq\o(BA,\s\up16(→))－eq\o(BC,\s\up16(→)))－(eq\o(ED,\s\up16(→))－eq\o(EC,\s\up16(→)))；(2)(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→)))－(eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\o(DO,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))．例3若eq\o(AC,\s\up16(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up16(→))＝a－b.(1)当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直？(2)当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?(3)当a、b满足什么条件时，a＋b平分a与b所夹的角？(4)a＋b与a－b可能是相等向量吗？跟踪训练3如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(BC,\s\up16(→))＝b，eq\o(AC,\s\up16(→))＝c，试求：(1)|a＋b＋c|；(2)|a－b＋c|.三．巩固训练1．在平行四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))等于 ()\o(AB,\s\up16(→)) \o(BA,\s\up16(→)) \o(CD,\s\up16(→)) \o(DB,\s\up16(→))2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是 ()\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(DC,\s\up16(→))＝0 \o(AD,\s\up16(→))－eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(BD,\s\up16(→)) \o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→))＝03．在平行四边形ABCD中，eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))＝______4．已知eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，若|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝12，|eq\o(OB,\s\up16(→))|＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.四．课堂小结1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD的两邻边AB、