高中数学人教A版第三章不等式【市一等奖】

第三章3.3.2第2一、选择题(每小题5分，共20分)1．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()A．2000元 B．2200元C．2400元 D．2800元解析：设需甲型货车x辆，乙型货车y辆，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤4，x∈N*，,y≤8，y∈N*，,20x＋10y≥100.))作出其可行域如图．可知目标函数z＝400x＋300y在点A处取得最小值，zmin＝400×4＋300×2＝2200(元)．答案：B2．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价为60元和70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买三片，磁盘至少买两盒，则不同的购买方式共有()A．5种 B．6种C．7种 D．8种解析：设买x片软件，y盒磁盘，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60x＋70y≤500，,x≥3，x∈N*，,y≥2，y∈N*，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋7y≤50，,x≥3，x∈N*，,y≥2，y∈N*.))当x＝3时，y可取2,3,4；当x＝4时，y可取2,3；当x＝5时，y可取2；当x＝6时，y取2.答案：C3．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝()A．4650元 B．4700元C．4900元 D．5000元解析：设当天派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤19，,x＋y≤12，,10x＋6y≥72，,0≤x≤8，,0≤y≤7，,x，y∈N.))设每天的利润为z元，则z＝450x＋350y.画出可行域如图阴影部分所示．由图可知z＝450x＋350y＝50(9x＋7y)，经过点A时取得最大值．又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝12，,2x＋y＝19，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝5，))即A(7,5)．∴当x＝7，y＝5时，z取到最大值，zmax＝450×7＋350×5＝4900(元)．答案：C4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，根据题意，得约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤70，,10x＋6y≤480，,x≥0，y≥0，,x、y∈N，))画出可行域如图．目标函数z＝280x＋200y，即y＝－eq\f(7,5)x＋eq\f(z,200)，作直线y＝－eq\f(7,5)x平移，得最优解A(15,55)．所以当x＝15，y＝55时，z取最大值．答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析：设甲种设备需要生产x天，乙种设备需要生产y天，该公司所需租赁费为z元，则z＝200x＋300y.甲、乙两种设备生产A，B两类产品的情况为下表所示.产品设备A类产品(件)(≥50)B类产品(件)(≥140)租赁费(元)甲设备510200乙设备620300则满足的关系为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋6y≥50，,10x＋20y≥140，,x≥0，y≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(6,5)y≥10，,x＋2y≥14，,x≥0，y≥0，))作出不等式组表示的平面区域，如右图．当z＝200x＋300y对应的直线过两直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(6,5)y＝10，,x＋2y＝14，))的交点(4,5)时，目标函数z＝200x＋300y取得最小值，为2300(元)．答案：23006．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab/万吨c/百万元A50%13B70%6某冶炼厂至少要生产(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：设购买铁矿石A为x万吨，购买铁矿石B为y万吨，则根据题意得到约束条件为：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,＋≥，,x＋≤2，))则z＝3x＋6y，当目标函数经过(1,2)点时取得最小值为：zmin＝3×1＋6×2＝15.答案：15三、解答题(每小题10分，共20分)7．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定，通过调查，有关数据如表：产品A(件)产品B(件)研制成本与搭载费用之和(万元/件)2030计划最大资金额300万元产品重量(千克/件)105最大搭载重量110千克预计收益(万元/件)8060试问：如何搭载这两种产品的件数，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？解析：设搭载产品Ax件，产品By件，预计总收益z＝80x＋60y.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20x＋30y≤300，,10x＋5y≤110，,x∈N，y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y≤30，,2x＋y≤22，,x∈N，y∈N，))作出可行域，如图，作出直线l0：4x＋3y＝0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝30，,2x＋y＝22，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝4，))即M(9,4)．所以zmax＝80×9＋60×4＝960(万元)．即搭载产品A9件，产品B4件，可使得总预计收益最大，为960万元．8．某公司的仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨，8吨和5吨把货物分别调动给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元，6元，9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元，4元，5元，问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？解析：将实际问题的一般语言翻译成数学语言可得下表(即运费表，单位：元)商店每吨运费仓库甲乙丙A869B345设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨，则仓库A运给丙商店的货物为(12－x－y)吨；从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物应分别为(7－x)吨，(8－y)吨，[5－(12－x－y)]吨，即(x＋y－7)吨，于是总运费为z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y)＋5(x＋y－7)＝x－2y＋126(单位：元)．则问题转化为求总运费z＝x－2y＋126在约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12－x－y≥0，,7－x≥0，,8－y≥0，,x＋y－7≥0，,x≥0，,y≥0，))即在eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤7，,0≤y≤8，,x＋y≥7，,x＋y≤12))下的最小值．作出上述不等式组所表示的平面区域，即可行域，作出直线l：x－2y＝0，把直线l作平行移动，显然当直线l移动到过点A(0,8)时，在可行域内，z＝x－2y＋126取得最小值zmin＝0－2×8＋126＝110(元)．即x＝0，y＝8时，总运费最少．所以仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨，8吨，4吨；仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨，0吨，1吨，此时，可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．eq\x(尖子生题库) ☆☆☆9.(10分)某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车与4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员．在建筑某高速公路中，该公司承包了每天至少搬运360吨土的任务．已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车为8次，B型卡车为6次；每辆卡车每天往返的成本费用情况：A型卡车160元，B型卡车252元．试问，A型卡车与B型卡车每天各出动多少辆时公司的成本费用最低？解析：设每天出动的A型卡车数为x，则0≤x≤7；每天出动的B型卡车数为y，则0≤y≤4.因为每天出车的驾驶员最多9名，则x＋y≤9，每天要完成的搬运任务为48x＋60y≥360，每天公司所花成本费用为z＝160x＋252y.本题即求满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤7，,0≤y≤4，,x＋y≤9，,48x＋60y≥360，))且使z＝160x＋252y取得最小值的非负整数x与y的值．不等式组表示的平面区域即可行域如图所示，其可行域为四边形ABCD区域(含边界线段)，它的顶点是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，4))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(2,5)))，C(7,2)，D(5,4)．结合图形可知，在四边形区域上，