高中数学北师大版第二章解析几何初步单元测试学业分层测评23

学业分层测评(二十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是()A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于z轴对称 D．关于原点对称【解析】由A、B两点的坐标可知关于y轴对称．【答案】B2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是()A．|a| B．|b|C．|c| D．以上都不对【解析】设点P在平面xOy上的射影为P′，则|PP′|＝|c|.【答案】C3．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是()A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)【解析】过点P向xOy平面作垂线，垂足为N，则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点，又N(－2,1,0)，所以对称点为P′(－2,1，－4)，故选A.【答案】A4．(2023·嘉兴高一检测)以棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图2­3­4所示，则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为()图2­3­4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))【解析】A(0,0,0)，B1(1,0,1)，所以AB1的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋1,2)，\f(0＋0,2)，\f(0＋1,2)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2))).【答案】B5．设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是()A．z轴B．与平面xOy平行的一直线C．平面xOyD．与平面xOy垂直的一直线【解析】(2,2，z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．【答案】D二、填空题6．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________．【解析】空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．【答案】(－4,1，－2)7．点P(－3,2,1)关于Q(1,2，－3)的对称点M的坐标是________．【解析】设M坐标为(x，y，z)，则有1＝eq\f(x－3,2)，2＝eq\f(2＋y,2)，－3＝eq\f(1＋z,2)，解得x＝5，y＝2，z＝－7，所以M(5,2，－7)．【答案】(5,2，－7)8．如图2­3­5，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，棱长为1，BP＝eq\f(1,3)BD′，则P点的坐标为________．图2­3­5【解析】过P作PP′⊥xOy平面，则PP′＝eq\f(1,3).过P′作P′M∥AB，P′N∥BC，则MP′＝eq\f(2,3)，NP′＝eq\f(2,3).所以P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3)))三、解答题9．已知点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1，A1关于xOz平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，求线段AA3的中点M的坐标.【导学号：10690071】【解】因为点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点A1的坐标为(4，－2，－3)，点A1(4，－2，－3)关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4,2，－3),点A2(4,2，－3)关于z轴的对称点A3的坐标为(－4，－2，－3)，所以AA3中点M的坐标为(－4,0,0)．10．如图2­3­6所示，三棱柱ABC­A1B1C1中，所有的棱长均为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当的坐标系写出各顶点的坐标．图2­3­6【解】取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．因为三棱柱各棱长均为2，所以OA＝OC＝1，OB＝eq\r(3)，可得A(0，－1,0)，B(eq\r(3)，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(eq\r(3)，0,2)，C1(0,1,2)．[能力提升]1．(2023·吉林高一检测)若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A．7 B．－7C．－1 D．1【解析】点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.【答案】D2．(2023·湖北高考)在如图2­3­7所示的空间直角坐标系O­xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的主视图和俯视图分别为()图2­3­7A．①和② B．③和①C．④和③ D．④和②【解析】由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的主视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故主视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②.故选D.【答案】D3．已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为________．【解析】分别过点(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)作与yOz平面，xOz平面，xOy平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(1,1,1)；或过点(－1,0,0)，(0，－1，0)，(0,0，－1)作与yOz平面，xOz平面，xOy平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(－1，－1，－1)．【答案】(1,1,1)或(－1，－1，－1)4.如图2­3­8所示，AF，DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．图2­3­8【解】因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE⊥平面ABC，又AF平面ABC，BC平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC，又BC是圆O的直径，所以OB＝OC，又AB＝AC＝6，所以OA⊥BC，BC＝6eq\r(2)，所以OA＝OB＝OC＝OF＝3e