高中数学人教A版1相似三角形的判定及有关性质 第3节2

第一讲第三节第2课时一、选择题(每小题5分，共20分)1．按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的eq\f(1,2)，如图，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D、E，F.得到△DEF.①△ABC和△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为2∶1；④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.则以上说法正确的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：由相似三角形的性质定理及其推论可知①②③④正确．答案：D2．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为()A．8,3 B．8,6C．4,3 D．4,6解析：∵AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，且相似比为2.∵△ABC的周长是16，面积是12，∴△DEF的周长是8，面积是3.答案：A3．如图，D、E、F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为eq\f(1,4)，△ABC的周长为9，则△DEF的周长与△ABC的面积分别是()A．eq\f(9,2)，1 B．9,4C．eq\f(9,2)，8 D．eq\f(9,4)，16解析：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，∴EF綊eq\f(1,2)BC，DE綊eq\f(1,2)AC，DF綊eq\f(1,2)AB．∴△DFE∽△ABC，且eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2).∴eq\f(l△DEF,l△ABC)＝eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2).又∵l△ABC＝9，∴l△DEF＝eq\f(9,2).又∵eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\f(EF2,BC2)＝eq\f(1,4)，S△DEF＝eq\f(1,4)，∴S△ABC＝1.故选A．答案：A4．两个相似多边形面积的比为m，对应对角线比为n，且m＋n＝12，则eq\f(n,m)＝()A．3 B．4C．eq\f(1,3) D．无法确定解析：由相似三角形的性质定理的推论可知eq\f(n,m)＝eq\f(1,3).答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．两相似三角形的相似比为1∶3，则周长之比为________，内切圆面积之比为________.解析：由性质2和相似三角形性质的推广易知．答案：1∶31∶96．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若S△AEG＝eq\f(1,3)S四边形EGCB，则eq\f(CF,AD)＝________.解析：∵S△AEG＝eq\f(1,3)S四边形EGCB，∴eq\f(S△AEG,S△ABC)＝eq\f(1,4).由相似三角形的性质定理，得eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,2)，∴E为AB的中点．由平行线等分线段定理的推论，知G为AC的中点．∵EF∥BC，AC⊥BC，∴FG⊥AC．又点G为AC的中点，∴FG为AC的中垂线．∴FC＝FA．∵EF∥BD，E为AB的中点，∴F为AD的中点．∴eq\f(CF,AD)＝eq\f(AF,AD)＝eq\f(1,2).三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，在AB边上取一点F，使S△BFC＝S△ADE，求证：AD2＝AB·BF.证明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,AB)))2.又∵eq\f(S△BFC,S△ABC)＝eq\f(BF,AB)，且S△BFC＝S△ADE，∴eq\f(AD2,AB2)＝eq\f(BF,AB).∴AD2＝AB·BF.8．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD且与AB，DC，BC，AD及AC的延长线分别相交于点M，N，R，S和P，求证：PM·PN＝PR·PS.证明：∵BO∥PM，∴△BOA∽△MPA．∴eq\f(PM,OB)＝eq\f(PA,OA).∵DO∥PS，∴△DOA∽△SPA．∴eq\f(PS,OD)＝eq\f(PA,OA).∴eq\f(PM,OB)＝eq\f(PS,OD)，即eq\f(PM,PS)＝eq\f(OB,OD).由BO∥PR得△BOC∽△RPC，得eq\f(PR,OB)＝eq\f(PC,OC).由DO∥PN得△DOC∽△NPC得eq\f(PN,OD)＝eq\f(PC,OC).∴eq\f(PR,OB)＝eq\f(PN,OD)，即eq\f(PR,PN)＝eq\f(OB,OD)，∴eq\f(PR,PN)＝eq\f(PM,PS).∴PM·PN＝PR·PS.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P是AD边上的一动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意一点．连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.(1)求证：△APE∽△ADQ；(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？(必须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明)．解析：(1)证明：∵PE∥DQ，∴∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，∴△APE∽△ADQ.(2)∵△APE∽△ADQ，∴eq\f(S△APE,S△ADQ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AP,AD)))2.∵AD∥BC，∴△ADQ的高等于AB．∴S△ADQ＝3.∴S△APE＝eq\f(1,3)x2.同理，由PF∥AQ，可得△PDF∽△ADQ，eq\f(S△PDF,S△ADQ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PD,AD)))2.∵PD＝3－x，∴S△PDF＝eq\f(1,3)(3－x)2.∵PE∥DQ，PF∥AQ，∴四边形PEQF是平行四边形．∴S△PEF＝eq\f(1,2)S▱PEQF＝eq\f(1,2)(S△ADQ－S△APE－S△PDF)＝－eq\f(1,3)x2＋x＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4