高中数学人教A版2第二章推理与证明单元测试 全国获奖

推理与证明章末测试题（时间：120分钟满分：150分）山东沂南职业中专高中部276300高英军_一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下面用“三段论”形式写出的演练推理：因为指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数，y＝（eq\f(1,2)）x是指数函数，所以y＝（eq\f(1,2)）x在（0，＋∞）上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是（）A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．以上都可能2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝（cos2θ－sin2θ）（cos2θ＋sin2θ）＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了（）A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法3．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是（）．A．假设n＝k（k∈N＋），证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k（k是正奇数），证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1（k∈N＋），证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k（k是正奇数），证明n＝k＋2命题成立4.要证明eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5)，可选择的方法有下面几种，其中最合理的是（）A.综合法B.特殊值法C.分析法D.其他方法5．用反证证明：“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A．a,b,c中都是奇数或至少两个偶数B．a,b,c都是奇数C．a,b,c中至少有两个偶数D．a,b,c都是偶数6．若点P是正四面体A－BCD的面BCD上一点，且P到另三个面的距离分别为h1，h2，h3，正四面体A－BCD的高为h，则（）A．h>h1＋h2＋h3 B．h＝h1＋h2＋h3C．h<h1＋h2＋h3 D．h1，h2，h3与h的关系不定7.利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1=，（a≠1，n∈N）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）＋a＋a＋a2＋a＋a2＋a38．设n∈N*，f（n）＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，计算知f（2）＝eq\f(3,2)，f（4）＞2，f（8）＞eq\f(5,2)，f（16）＞3，f（32）＞eq\f(7,2)，由此猜想（）A．f（2n）＞eq\f(2n＋1,2) B．f（n2）≥eq\f(n＋2,2)C．f（2n）≥eq\f(n＋2,2) D．以上都不对9．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S-ABC的体积为V，则r=（）A．B．C．D．10．数列﹛an﹜的前n项和Sn=n2an（n≥2）．而a1=1，通过计算a2，a3，a4，猜想an=（）A.B.C.D.11．p＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)，q＝eq\r(ma＋nc)·eq\r(\f(b,m)＋\f(d,n))（m、n、a、b、c、d均为正数），则p、q的大小为（）A．p≥q B．p≤qC．p＞q D．不确定12．从1开始的自然数按如图2所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）图1图1 A.2097 B.2112 C.2090.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是.①2016能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③2016是偶数．14“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：eq\f(1,2),-eq\f(1,2),eq\f(3,8),-eq\f(1,4),eq\f(5,32),它的第8个数可以是__.图215．圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的，比如圆可以看成特殊的椭圆，所以很多圆的性质结论可以类比到椭圆，例如；如图所示,椭圆C:可以被认为由圆作纵向压缩变换或由圆作横向拉伸变换得到的.依据上述论述我们可以推出椭圆C的面积公式为.图216.用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（10分）已知0<a<1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(4,1－a)≥9.18．（12分）推理与证明是数学的一般思考方式，也是学数学、做数学的基本功.请选择你认为合适的证明方法，完成下面的问题.已知a,b,c∈R,a＋b＋c＞0,ab＋bc＋ca＞0,abc＞0.求证:a,b,c,全为正数.19．（12分）设数列{an}的前项和为，且满足．（Ⅰ）求，，，的值并写出其通项公式；（Ⅱ）用三段论证明数列{an}是等比数列．20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=1，Sn=n2an（n∈N*），（1）试计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式;（2）求出an的表达式，并证明（1）中你的猜想.21．（12分）阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin（+）=sincos+cossin------①sin（-）=sincos-cossin------②由①+②得sin（+）+sin（-）=2sincos------③令+=A,-=B有=,=.代入③得sinA+sinB=2sincos,⑴类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cosA-cosB=-2sinsin;⑵若△ABC的三个内角A,B,C满足cos2A-cos2B=1-cos2C,试判断△ABC22.（12分）由下列不等式：你能得到怎样一个不等式？并加以证明.参考答案选择题2.B5.A9.C提示：1.大前提是：指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数，这是错误的．2.因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．故选B.3．因为连续奇数相差整数2.4.根据分析法的定义.5．自然数a,b,c中恰有一个偶数的反面为a,b,c中都是奇数或至少两个偶数.6．由点P是正三角形ABC的边BC上一点，且P到另两边的距离分别为h1，h2，正三角形ABC的高为h，由面积相等可以得到h＝h1＋h2.于是，采用类比方法，平面上的面积类比空间中的体积，可得答案为B.7.当n=1左边==1＋a＋a2，故选C.8．由f（2），f（4），f（8），f（16）可猜想f（2n）≥eq\f(n＋2,2).图39．设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为

V四面体A−BCD＝（S1+S2+S3+S4）R，

所以R=,故选C．图310．因为数列﹛an﹜的前n项和Sn=n2an（n≥2），所以S2=4a2，因为a1=1，所以1+a2=4a所以；又S3=1++a3=9a3，所以，S4=1+++a4=16a4，所以a4=，…，所以.故选B．11．q＝eq\r(ab＋\f(mad,n)＋\f(nbc,m)＋cd)≥eq\r(ab＋2\r(abcd)＋cd)＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)＝p.12.根据如图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a+7，a+8，a+9，第三层的五个数为a+14，a+15，a+16，a+17，a+18，这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104．由9a+104=2023，得a填空题13．②③①14．-15．ab16.（k+1）2+k2.提示：13.②是大前提，③是小前提，①是结论14．eq\f(1,2),-eq\f(1,2),eq\f(3,8),-eq\f(1,4),eq\f(5,32)可化为，-，，-，，故通项公式为an=（-1）n+1，故它的第8个数可以是a8=-.15．类比圆的圆的面积a2得椭圆的面积ab.16.根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n=k，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12n=k+1时，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2三、解答题17．证明:因为0<a<1，所以1－a>0，所以要证eq\f(1,a)＋eq\f(4,1－a)≥9，只需证1－a＋4a≥9a（1－a即证1＋3a≥9a（1－a即证9a2－6a＋即证（3a－1）2≥0上式显然成立．所以原命题成立．18.证明：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc＞0，则它们只能是两负一正，不妨设a＜0，b＜0，c＞0.又因为ab＋bc＋ca＞0，所以a（b＋c）＋bc＞0，且bc＜0，所以a（b＋c）＞0.①又因为a＜0，所以b＋c＜0.所以a＋b＋c＜0这与a＋b＋c＞0相矛盾．故假设不成立，原结论成立，即a，b，c均为正实数．19.解：⑴由，得；；；，猜想．⑵因为通项公式为的数列，若，是非零常数，则是等比数列；因为通项公式，又；所以通项公式的数列是等比数列．20．解：（1）由an=1，Sn=n2an（n∈N*）得S1=1，S2=，S3=，S4=，猜想（n∈N）（2）证明：因为Sn=n2an①，所以Sn-1=（n-1）2an-1②①-②得Sn-Sn-1=n2an-（n-1）2an-1，所以an=n2an-（n-1）2an-1,化简得，所以,,,…,,把上面各式相乘得，所以，=.21．解：⑴证明:因为cos（+）=coscos-sinsin，------①cos（-）=coscos+sinsin，------②…①-②得cos（+）-cos（-）=-2③令+=A,-=B有=,=，代入③得cosA-cosB=-2sinsin.⑵由二倍角公式,cos2A-cos2B=1-cos21-2sin2A-1+2sin2B=1-1+2sin2所以sin2A+sin2C=sin2设△ABC的三个内角A,