高中数学高考大联考大联考 湖南省百所重点名校大联考高三高考冲刺数学（理）模拟试题

湖南省百所重点名校大联考·高三高考冲刺理科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.本卷答题时间120分钟，满分150分.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项1.全集，，，则（）A. B. C. D.，y互为共轭复数，且，则（） B. 3.已知函数为奇函数，且当时，，则（）A. 4.某城市2023年12个月的平均浓度指数如下图所示.根据图可以判断，四个季度中的平均浓度指数方差最小的是（）A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度5.已知服从正态分布，，则“”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件 D.充要条件6.已知，给出下列四个命题：：， ：，：， ：，其中真命题的是（）A.， B.， C.， D.，7.已知函数，以下结论错误的是（）A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上单调递增D.在直线与曲线的交点中，两交点间距离的最小值为8.在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（） B. D.9.已知是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知椭圆C：（），作倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点，线段的中点为M，O为坐标原点与的夹角为，且，则（） B. C. D.11.定义“有增有减”数列如下：，，且，.已知“有增有减”数列共4项，若（，2，3，4），且，则数列共有（）个 个个 个12.已知函数有两个零点，，，则下面说法正确的是（）A. B.C. D.有极小值点，且二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.执行下面的程序框图，若，则输出n的值为______.14.已知P为抛物线C：上一动点，直线l：与x轴、y轴交于M，N两点，点且，则的最小值为______.15.锐角三角形中，，，则面积的取值范围为______.16.四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.已知数列满足：，（，2，3，…）（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）令，（，2，3，…），如果对任意，都有，求实数的取值范围.18.如图，三棱台中，侧面与侧面是全等的梯形，若，，且.（Ⅰ）若，，证明：平面；（Ⅱ）若二面角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.19.近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1x1234567y611213466101196根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图.（Ⅰ）根据散点图判断，在推广期内，与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表l中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（III）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2表2支付方式现结乘车卡扫码比例已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为，享受8折优惠的概率为，享受9折优惠的概率为.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用.参考数据：2535其中，参考公式：对于一组数据，其回归直线，.20.已知抛物线C：（）的焦点到准线的距离为，直线l：（）与抛物线C交于A，B两点，过这两点分别作抛物线C的切线，且这两条切线相交于点D.（Ⅰ）若D的坐标为，求a的值；（Ⅱ）设线段的中点为N，点D的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为G，且直线与抛物线C交于P，Q两点，求的取值范围.21.已知函数（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设，当时，对任意，存在，使，求实数m的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点、的极坐标分别为和，直线与曲线相交于P，Q两点，射线与曲线相交于点A，射线与曲线相交于点B，求的值.23.[选修4–5：不等式选讲]已知函数.（Ⅰ）求的解集；（Ⅱ）设函数，，若对任意的都成立，求实数k的取值范围.湖南省百所重点名校大联考·高三高考冲刺理科数学试题 参考答案及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112选项DBABADCBABADD【解析】略2、B【解析】设，，代入得，所以，，解得，，所以.3、A【解析】因为是奇函数，所以，故选A.4、B【解析】方差最小的数据最稳定，所以选B.5、A【解析】由，知.因为二项式展开式的通项公式为，令，得，所以其常数项为，解得，所以“”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选A.6、D【解析】可行域为一个三角形及其内部，其中，，，所以直线过点A时取最小值；过点A时取最大值；斜率最大值为，到原点距离的平方的最小值为，因此选D.7、C【解析】对于函数，令，求得为函数的最大值，可得它的图象关于直线，故A正确；令，求得，可得它的图象关于点对称故B正确；函数，在区间上，，故单调递减，故C错误；令，求得，∴，或，，故在直线与曲线的交点中，两交点间距离的最小值为，故D正确；故选C.8、B【解析】∵点到直线的距离，∴直线始终与圆相切，∴集合A表示除圆以外所有的点组成的集合，∴集合表示圆，其对称中心如图所示：设是点关于直线线段（，）的对称点，设，则由求得，可得.设关于x轴的对称点为，易得，则直线，和线段的交点为P，则此时，的周长为，为最小值，9、A【解析】以点B为坐标原点，所在直线为x轴，过点B与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则、、，设因为所以P点轨迹为令则，，则由得故选A.10、B【解析】设，，，则，两式作差得，，，即，设直线的倾斜角为，则或，，又，由，解得，即，故选B.11、D法一：不妨设，，，则（，2，3，4），所以或2或3.考虑反面，即数列不是“有增有减”数列，此时有三种情况：常数数列、不增数列（，且等号不同时成立）及不减数列（，且等号不同时成立）.①常数数列，有1，1，1，1；2，2，2，2；3，3，3，3，共3个.②不减数列，含1，2，3中的任意两个数或三个数，若含两个数，则有种情况，以含有1，2为例，不减数列有1，1，1，2；1，1，2，2；1，2，2，2，共3个，所以含两个数的不减数列共有个.若含三个数，则不减数列有1，1，2，3；1，2，3，3；1，2，2，3，共3个.所以不减数列共有个.③不增数列，同理②，共有12个.综上，数列不是“有增有减”数列共有个.所以，数列是“有增有减”数列共有个.法二：根据题设“有增有减”数列的定义，数列共有两类.第一类：数列的4项只含有x，y，z中的两个，则有种情况，以只含x，y为例，满足条件的数列有x，y，x，x；x，x，y，x；y，x，y，y；y，y，x，y；x，y，x，y；y，x，y，x；x，y，y，x；y，x，x，y，共8个，所以此类共有个.第二类：数列的4项含有x，y，z中的三个，必有两项是同一个，有种情况，以两项是x，另两项分别为y，z为例，满足条件的数列有x，x，z，y；x，y，x，z；x，z，x，y；x，y，z，x；x，z，y，x；y，x，x，z；y，x，z，x；y，z，x，x；z，x，x，y；z，x，y，x，共10个，所以此类共有个.综上，数列共有个.12、D【解析】由题意得，因为，，所以，设，则由图像法知，，，解得，因此，令，则，所以，因此，，因此A错误；方程有两个不等的根，即与有两个不同的交点.因为，所以在上单调递减，且，在上单调递减且，在上单调递增且，且，，B错误;.令，则所以，因此，，因此C错误;由，，当时，当时，所以有极小值点，由，，得，，因此，所以，所以，D正确.选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、5【解析】循环依次为，；，；，，，；结束循环，输出.14、【解析】由题意得，，由得，，因此，所以选B.15、【解析】∵，，可得：，∴，，∵，可得：，∴，可得：，则面积的取值范围为16、【解析】如图所示，四棱锥中，可得：；平面平面平面，过S作于O，则平面，故，在中，，设，则有，，又，则，四棱锥的体积取值范围为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17、解析：（1）证明：由题可知：①，②②①可得即，又是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可得，故设数列的第r项最大，则有，解得故数列的最大项是∵对任意，都有，即成立，解得或或18.（Ⅰ）证明：连接，，梯形，，易知：，；又，则；平面，平面，可得：平面；（Ⅱ）侧面是梯形，，，，则为二面角的平面角，；，均为正三角形，在平面内，过点A作的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则，故点，，，；设平面的法向量为，则有：；设平面的法向量为，则有：；，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.19.解：（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型；（2），两边同时取常用对数得：；设，，，，，把样本中心点代入，得：，，，∴y关于x的回归方程式：；把代入上式，；活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；（3）记一名乘客乘车支付的费用为Z，则Z的取值可能为：2，1，8，，；；；；分布列为：Z2P所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：（元）20.（1）由抛物线C：（）的焦点到准线的距离为，得，则抛物线C的方程为.设切线的方程为，代入得，由得，当时，点A的横坐标为，则，当时，同理可得.综上得.（2）由（1）知，，，所以以线段为直径的圆为圆O：，根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线即可，因为G为直线与圆O的切点，所以，，所以，所以，，所以直线的方程为，由消去y整理得，因为直线与圆相交，所以.设，，则，，所以，所以，设，因为，所以，所以，所以.21、（1）的定义域为，又，令，得或.当，则，由得，由得，函数在上单调递减，在上单调递增.当，则，由得，由得或，函数在上单调递减，在和上单调递增.当，则，可得，此时函数在上单调递增.当时，则，由得，由得或，函数在上单调递减，在和上单调递增.（2）当时，由（1）得函数在上单调递减，在和上单调递增，从而在上的最小值为.对任意，存在，使，即存在，函数值不超过在区间上的最小值.由得，.记，则当时，.，当，显然有，当，，故在区间上