高中数学人教A版1第三章空间向量与立体几何单元测试【区一等奖】

空间几何综合检测一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知向量a=(1,12,2),b=(2,-1,k),且a与b B.34 2.若a,b,c是空间任意三个向量,λ∈R,下列关系中,不成立的是()+b=b+a B.λ(a+b)=λa+λbC.(a+b)+c=a+(b+c) =λa3.如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,则AB→+12BCA.AD→ B.FC.AF→ 4.若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是()A.不等边锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形5.已知平面α的一个法向量为n1=(-1,-2,-1),平面β的一个法向量n2=(2,4,2),则不重合的平面α与平面β()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.不确定6.若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,,则α,β,γ分别为()A.52,-1,-12 B.52,1,1252,1,-127.已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是()或-3 或3 8.已知A(1,-1,2),B(2,3,-1),C(-1,0,0),则△ABC的面积是()A.70 B.35 C.1702 D.9.下列命题正确的是()A.若OP→=12OA→+13OB→,则P,A,B三点共线B.(a·b)·C.若{a,b,c}是空间的一个基底,则{a+b,b+c,a+c}构成空间的另一个基底D.△ABC为直角三角形的充要条件是AB→·A10.如图,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=1,EF∥BC且AE=2EB,G为BC的中点,K为△ADF的外心.沿EF将矩形折成一个120°的二面角A-EF-B,则此时KG的长是() B.3 C.32 D.11.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0≤λ≤1),则点G到平面D1A.3 B.22 C.23 D.12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63 B.25C.155 D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知向量a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2),若a∥b,则λ与μ的值分别是、.14.若A(0,2,198),B(1,-1,58),C(-2,1,58)是平面α内的三点,设平面α的法向量为n=(x,y,z),则x∶y∶15.平面α,β,γ两两相互垂直,且它们相交于一点O,P点到三个面的距离分别是1cm,2cm,3cm,则PO的长为cm.16.如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),(1)求以向量AB→,(2)若向量a分别与向量AB→,AC→垂直,且|a|=18.(12分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中点,试问在线段A1B上是否存在一点E(不与端点重合)使得点A1到平面AED的距离为2619.(12分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1(1)求证:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.20.(12分)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是D'D,DB的中点,G在棱CD上,CG=14CD,H为C'G的中点.(1)求证:EF⊥B'C.(2)求EF,C'G所成角的余弦值.(3)求FH的长.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=12PA.点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC.(1)求证:OD∥平面PAB.(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值.22.(12分)已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,且PA=4PQ=4,底面为直角梯形,∠CDA=∠BAD=90°,AB=2,CD=1,AD=2,M,N分别是PD,PB的中点.(1)求证:MQ∥平面PCB.(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小.(3)求点A到平面MCN的距离.空间几何答案解析1.【解析】选·b=2-12+2k=0,∴k=-32.【解析】选D.由向量的运算律知,A,B,C均正确,对于D,当a=0,b≠0时,不成立.3.【解析】选C.AB→+12BC→+12BD→=4.【解析】选A.AB→=(3,4,2),BC→=(2,-3,1).由AB→·AC由BA→·BC→>0,得B为锐角,且|AB5.【解析】选A.∵n2=-2n1,∴n2∥n1,故α∥β.6.【解析】选A.由d=αa+βb+γc=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3=e1+2e2+3e3.∴α+β+γ=1,α+β-γ=2,α-β+γ=3,解得α=57.【解析】选A.根据|a|=6,可得x=±4,当x=4时,y=-3,当x=-4时,y=1,所以x+y=1或-3.8.【解析】选C.易知AB→=(1,4,-3),AC→=(-2,1,-2),∴|ABcos<AB→,AC→>=826×3=42639,∴sin<∴S△ABC=12|AB→|·|AC→|sin<A9.【解析】选,A,B三点共面不一定共线,故A错误;由数量积公式知C错误;△ABC为直角三角形时可能AB→·AC→=0,也可能AB→·10.【解析】选D.由题意知K为AF的中点,取EF的中点H,连接KH,GH易证明∠KHG即为二面角A-EF-B的平面角,在△KHG中,由KH=HG=1,∠KHG=120°,可解得KG=3.11.【解题指南】可以根据几何的有关性质转化为点A1到直线D1E的距离,利用三角形的面积可求;或建立空间直角坐标系,利用平面的法向量来求.【解析】选D.方法一:∵A1B1∥EF,G在A1B1上,∴G到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离,也就是A1到D1E的距离.∵D1E=52,∴由三角形面积可得h=1×1方法二:以的方向作为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则E(0,0,12),F(1,0,12),D1∴EF→=(1,0,0),ED1→设平面EFD1的一个法向量是n=(x,y,z),则QUOTEn·EF→=x=0,n·ED1→=y+∴点G到平面EFD1的距离是:h=QUOTE|GD1→·n||n|=10+1+412.【解析】选D.如图建立空间直角坐标系,则B(2,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),∴DD1→=(0,0,1),D设平面BB1D1D的一个法向量n=(x,y,z),由QUOTEn⊥DB→,n⊥DD∴可取n=(1,-1,0).cos<n,BC1→>=QUOTEn·BC1→|n|·|BC∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为10513.【解析】∵a∥b,∴存在实数k,使得a=kb,即(λ+1,0,2λ)=k(6,2μ-1,2),∴λ+1=6k,0=k(2μ-1),2λ=2k,解得k=λ=1答案:1514.【解析】AB→=(1,-3,-74),A∵QUOTEn·AB→=0,n·AC→=0,∴x∶y∶z=23y∶y∶(-4答案:2∶3∶(-4)15.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,不妨设O(0,0,0),P(1,2,3),∴|OP|=12+2答案:1416.【解析】∵BD→=AD→-AB→,EF→=-AE→+∴BD→·EF→=(AD→-AB|EF→|2=(-12AP→+AD→+12AB→)∴cos<BD→,EF→>=BD→·答案:36【一题多解】如图所示,建立空间直角坐标系Axyz,∴E(0,0,1),F(1,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),∴EF→=(1,2,-1),∴cos<EF→,BD→>=∴异面直线EF与BD所成角的余弦值为3617.【解析】(1)∵AB→=(-2,-1,3),∴cos∠BAC=AB→·AC→|AB→||(2)设a=(x,y,z),则a⊥AB→a⊥AC→⇒x-3y+2z=0,|a|=3⇒x2+y2+z∴a=(1,1,1),或a=(-1,-1,-1).18.【解析】存在.以CA,CB,CC1所在的直线为x轴,y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),设BE→=λ则E(2λ,2(1-λ),2λ).又ADAE设n=(x,y,z)为平面AED的法向量,则QUOTEn·AD→=0,n·AE→取x=1,则y=1-3λ1-λ,z=2,即n=(1,1-3λ1-λ,2).由于d=QUOTE|AA1→∴263=45+(∴当点E为A1B的中点时,A1到平面AED的距离为26319.【解析】以A为原点,AB→,AD设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(a2,1,0),B1(1)AD1→=(0,1,1),B1E→=(-a2∴B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时DP→=(0,-1,z0),又设平面B1AE的法向量为∵n⊥平面B1AE,AB1→=(a,0,1),A∴n⊥AB1→,n⊥取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=(1,-a2,-a),要使DP∥平面B1只需n⊥DP→,有a2-az0=0,解得:z0∴AP=12,∴在棱AA1上存在点P,使得DP∥平面B1AE,且P为AA120.【解析】(1)设AB→=a,AD→=b,则c·b=b·a=c·a=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.∵EF→=ED→+DF→=-12c+12(a-b)=12(a-b-c),B∴EF→·B'C→=12(a-b-c)·(b-c)=12(c2(2)∵EF→=12(a-b-c),C'G→=C'C→+∴EF→·C'G→=12(a-b-c)·(-c-14a)=12(-14|EF→|2=14(a-b-c)2=14(a2+b2+c2)=34,|C'G→|2=(-c-14a)2=c∴|EF→|=32,|C'G→|=174,cos<EF∴EF,C'G所成角的余弦值为5117(3)FH→=FB→+BC→+CC'→+C'H→=12(a-b)+b+c+12C'G→=12(a-b)+b+c+1∴|FH→|2=(38a+12b+12c)2=964a2+14b2+14c21.【解析】方法一:(1)∵O,D分别为AC,PC的中点,∴OD∥PA.又PA⊂平面PAB,OD⊄平面PAB,∴OD∥平面PAB.(2)设PA=2a,∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OB=OC=22又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC=2a.取BC中点E,连接PE,则BC⊥平面POE.作OF⊥PE于F,连接DF,则OF⊥平面PBC.∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.∵PA=2a,OA=22a,∴OP=14又∵OE=a2,∴OF=21030a.在Rt△ODF中,sin∠ODF=OF∴OD与平面PBC所成角的正弦值为21030方法二:∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.以O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz(如图),设AB=a,则A(22a,0,0),B(0,22a,0),C(-设OP=h,则P(0,0,h).(1)∵D为PC的中点,∴OD→=(-24又PA→=(22a,0,-h),∴OD→=-12PA→.∴OD→∥∴OD∥平面PAB.(2)∵PA=2a,∴h=142a,∴OD→=(-2可求得平面PBC的一个法向量n=(-1,1,77∴cos<OD→,n>=QUOTEOD→·n|OD→则sinθ=|cos<OD→,n>|=2103022.【解析】方法一:以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,由AB=2,CD=1,AD=2,PA=4PQ=4,M,N分别是PD,PB的中点,可得A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,1,0),D(2,0,0),P(0,0,4),、Q(0,0,3),M(22(1)BC→=(2,-1,0),PB→=(0,2,-4),MQ→=(-22,0,1).设平面PBC的法向量为n0=(x,y,z),则有:n0⊥BC→⇒(x,y,z)·(2,-1,0)=0⇒2令z=1,则x=2,y=2⇒n0=(2,2,1).∴MQ→·n0=(-22又MQ⊄平面PCB,∴MQ∥平面PCB.(2)设平面的MCN的法向量为n=(x',y',z'),又CM→=(-22,-1,2),Cn⊥CM→⇒(x',y',z')·(-22,-1,2)=0⇒n⊥CN→⇒(x',y',z')·(-2,0,2)=0