高中数学人教A版第二章数列 专题强化训练(二)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专题强化训练(二)数列(35分钟60分)一、选择题(每小题3分，共18分)1.下列命题中，不正确的是()A.若a，b，c成等差数列，则ma+n，mb+n，mc+n也成等差数列B.若a，b，c成等比数列，则ka2，kb2，kc2(k不等于0)也成等比数列C.若常数m>0，a，b，c成等差数列，则ma，mb，mc成等比数列D.若常数m>0且m≠1，a，b，c成等比数列，则logma，logmb，logmc成等差数列【解析】选正确.若a，b，c成等差数列，则2b=a+c，所以ma+n+mc+n=ma+c+2n=2mb+2n=2m所以ma+n，mb+n，mc+n也成等差数列；B正确.若a，b，c成等比数列，则b2=ac，所以kb22=k2a2c2，即又因为k不等于0，所以ka2，kb2，kc2也成等比数列；C正确.若a，b，c成等差数列，则2b=a+c，又常数m>0，所以m2b=ma+c，即mb2=ma·m所以ma，mb，mc成等比数列；D错误.如a=1，b=-1，c=1时，a，b，c成等比数列，但是logmb无意义.2.数列1，85，157，249=n22n+1 =(n+1)2-1【解析】选D.因为1可以看成33即2n+1，分子可以看成1×3，2×4，3×5，4×6，故为n(n+2)，即an=n(n+2)3.(2023·毕节高一检测)等比数列{an}中，a1+a3=10，a4+a6=54，则数列{an}的通项公式为=24-n =2n-4=2n-3 =23-n【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q，则a由此可解得a1=8，q=12所以数列{an}的通项公式为an=8×12n-1=2【延伸探究】本题条件“a1+a3=10，a4+a6=54”改为“a2=2，2a3+a4=16”，其他条件不变，结果如何【解析】设等比数列{an}的公比为q，则a1a1=1，q=2或a1=-12故数列的通项公式为an=1×2n-1=2n-1.或an=-12×-4n-1=-4.已知函数f(x)=(1-2a)x+5(x≤12),ax-13(x>12),若数列{an}满足an=f(n)(n∈N*)，且{anA.12,1 C.12,23【解析】选C.由题意可知1-2a<0，12<a<1，且a12=f(12)=17-24a>a13=1，解得125.(2023·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()>0，dS4>0 <0，dS4<0>0，dS4<0 <0，dS4>0【解题指南】利用等差数列的通项公式表示a3，a4，a8，再利用等比中项求解.【解析】选B.因为数列{an}是等差数列，a3，a4，a8成等比数列，所以a1+3d2解得a1=-53所以S4=2a1+a4=2所以a1d=-53d2<0，dS4=-23d6.(2023·南昌高二检测)在数列{an}中，a1=3，an+1=an+ln1+1n，则a+lnn +n-1+nlnn +n+lnn【解析】选A.方法一：因为an+1-an=lnn+1所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=lnnn-1+lnn-1n-2=lnnn-1=lnn+3.方法二：an+1=an+ln(n+1)-lnn，an+1-ln(n+1)=an-lnn，所以数列{an-lnn}是常数列，an-lnn=a1-ln1=3，an=3+lnn.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2023·湖南高考)设Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1且3S1，2S2，S3成等差数列，则an=__________【解题指南】由3S1，2S2，S3成等差数列，可求得公比q=3，然后求an.【解析】因为3S1，2S2，S3成等差数列，所以2×2(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3⇒a3=3a2⇒q=3，所以an=a1qn-1=3n-1.答案：3n-18.(2023·成都高一检测)数列an的前n项和为Sn，其中Sn是首项为5，公比为5的等比数列，则an=__________【解析】由题意得Sn=5×5n-1=5n，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=5n-5n-1=4×5n-1.当n=1时，a1=S1=5，不适合上式.综上有an=5答案：59.已知数列{an}：12，13+23，14+24+34，15+25+35+【解析】观察数列{an}可知，an=1n+1+2n+1+…+nn+1=1所以1anan+1=所以1a41-12+4=41=41-1n+1答案：4【补偿训练】求数列{2n-3n-1}的前n项和.【解析】Sn=(2+22+…+2n)-3(1+2+3+…+n)-n=2(1-2n=2n+1-n(3n+5)三、解答题(每小题10分，共30分)10.数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn(n∈N*).(1)求数列{an}的通项an.(2)求数列{nan}的前n项和Tn.【解析】(1)因为an+1=2Sn，所以Sn+1-Sn=2Sn，所以Sn+1又因为S1=a1=1，所以数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，Sn=3n-1(n∈N*).当n≥2时，an=2Sn-1=2·3n-2(n≥2)，所以an=1(2)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，当n=1时，T1=1，当n≥2时，Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2.①3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1，②①-②得：-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1=2+2·3(1-3n-2=-1+(1-2n)·3n-1.所以Tn=12+n-1又因为T1=a1=1也满足上式，所以Tn=12+n-123【补偿训练】已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5，n∈N*.(1)证明：数列{an+1}是等比数列.(2)求{an}的通项公式以及Sn.【解析】(1)由已知Sn+1=2Sn+n+5，n∈N*，可得n≥2时，Sn=2Sn-1+n+4，两式相减得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1，即an+1=2an+1，从而an+1+1=2(an+1)，当n=1时，S2=2S1+1+5，所以a2+a1=2a1+6，又a1=5，所以a2=11，从而a2+1=2(a1+1)，故总有an+1+1=2(an+1)，n∈N*，又a1=5，a1+1≠0，从而an+1即数列{an+1}是首项为6，公比为2的等比数列.(2)由(1)得an+1=6·2n-1，所以an=6·2n-1-1，于是Sn=6·(1-2n11.在等差数列{an}中，前n项和为Sn，且满足S3=6，a4=4.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设数列{bn}满足bn=2an,n=2k,k∈N*,2an,n=2k-1,k∈【解析】(1)设数列{an}的公差为d，由题设得S3=3所以数列{an}的通项公式为an=n(n∈N*).(2)由(1)知：bn=2①当n为偶数，即n=2k，k∈N*时，奇数项和偶数项各n2所以Tn=[2+6+…+2(n-1)]+(22+24+26+…+2n)=n2(2+2n-2)2+22[1-(22②当n为奇数，即n=2k-1，k∈N*时，n+1为偶数，所以Tn=Tn+1-bn+1=(n+1)22=(n+1)22+综上：Tn=n12.数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1(n∈N*)，等差数列{bn}满足b3=3，b5=9.(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式.(2)设cn=bn+2an+2(n∈N*)，求证：cn+1<cn【解析】(1)由an+1=2Sn+1①得an=2Sn-1+1(n≥2)②①-②得an+1-an=2(Sn-Sn-1)，所以an+1=