高中数学人教B版第一章集合 习题课(三)

习题课(三)时间：45分钟总分：90分一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么A的区间是()A．(－∞，0)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．[0，＋∞)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案：B解析：y＝|x|(1－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋xx≥0,x2－xx＜0)))的图象如图所示．显然增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).2．已知f(x)是R上的增函数，若令F(x)＝f(1－x)－f(1＋x)，则F(x)是R上的()A．增函数B．减函数C．先减后增的函数D．先增后减的函数答案：B解析：取f(x)＝x，则F(x)＝(1－x)－(1＋x)＝－2x为减函数，故选B.3．下列函数中值域是R＋的是：()A．y＝eq\r(x2－3x＋10)B．y＝2x＋1(x＞0)C．y＝x2＋x＋1D．y＝eq\f(1,x2)答案：D解析：A的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(31),2)，＋∞))，B的值域为(1，＋∞)，C的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).4．函数y＝eq\r(25－x2)的值域是()A．[－5,5]B．[－5,0]C．[0,5]D．[0，＋∞)答案：C解析：由定义域是[－5,5]．得0≤25－x2≤25,0≤eq\r(25－x2)≤5，即0≤y≤5.故选C.5．下列四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：A解析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，故①错；③正确；奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点，故②错；若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但未必x∈R，只要函数的定义域关于原点对称即可，故④错．6．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(－∞，0]上是减函数，f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,2)答案：D解析：由f(x)在(－∞，0]上是减函数，且偶函数的图象关于y轴对称，知f(x)在[0，＋∞)上是增函数．又由f(2)＝0，知函数图象过点(2,0)，作出符合题设条件的函数f(x)的大致图象如图，由图象可知，使f(x)＜0的x的取值范围是(－2,2)．二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))解析：y＝－(x－3)|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋3xx>0，,x2－3xx≤0.)))作出其图象如图，观察图象知递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))).8．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，那么实数a的取值范围是________．答案：(1,3]解析：由题意知f(x)在[1，a]内是单调递减的．又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3)，∴1<a≤3.9．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝答案：－2x2＋4解析：∵f(－x)＝f(x)且f(x)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a∴b(－x)2＋(2a＋ab)(－x)＋2a2＝bx2＋(2a＋ab)x＋∴－(2a＋ab)＝2a＋即2a＋ab＝0，∴a＝0或b当a＝0时，f(x)＝bx2，∵f(x)的值域为(－∞，4]，而y＝bx2的值域不可能为(－∞，4]，∴a≠0.当b＝－2时，f(x)＝－2x2＋2a2，值域为(－∞，2a2∴2a2＝4，∴a2＝2，∴f(x)＝－2x2三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2.(1)若f(x)的单调区间为(－∞，4)，求a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，4)上是减函数，求a的取值范围．解：(1)由题意知eq\f(1－a,a)＝4，解得a＝eq\f(1,5).(2)由于f(x)在区间(－∞，4)上是减函数，说明(－∞，4)只是函数f(x)的一个减区间，所以应对a加以讨论．当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，在(－∞，4)上是减函数，所以a＝0满足；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0,\f(1－a,a)≥4))，解得0＜a≤eq\f(1,5).综合得，a的取值范围为{a|0≤a≤eq\f(1,5)}．11．(13分)已知函数f(x)＝|x－a|，g(x)＝ax(a∈R)．(1)若函数y＝f(x)是偶函数，求实数a的值；(2)若方程f(x)＝g(x)有两解，求实数a的取值范围．解：(1)因为函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即|－x－a|＝|x－a|，两边平方化简得4ax＝0.又4ax＝0在x∈R时恒成立，所以a＝0.(2)当a＞0时，|x－a|－ax＝0有两解等价于方程(x－a)2－a2x2＝0在(0，＋∞)上有两解．令h(x)＝(a2－1)x2＋2ax－a2，因为h(0)＝－a2＜0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＜0,Δ＝4a2＋4a2a2－1＞0))，解得0＜a＜1.同理，当a＜0时，得－1＜a＜0；当a＝0时，不合题意，舍去．综上可知，实数a的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．能力提升12．(5分)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1x≥0,1x<0)))则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．答案：(－1，－1＋eq\r(2))解析：结合函数图象eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x≥0,1－x2≥0,1－x2>2x))解得0≤x<－1＋eq\r(2)，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x<0,1－x2>0))解得－1<x<0，∴满足题意的x范围[0，－1＋eq\r(2))∪(－1,0)＝(－1，－1＋eq\r(2))．13．(15分)已知函数f(x)＝x2－mx(m＞0)在区间[0,2]上的最小值为g(m)．(1)求函数g(m)的解析式．(2)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h(x)为偶函数，且当x＞0时，h(x)＝g(x)．若h(t)＞h(4)，求实数t的取值范围．解：(1)因为f(x)＝x2－mx＝(x－eq\f(m,2))2－eq\f(m2,4)(m＞0)，所以当0＜m≤4时，0＜eq\f(m,2)≤2，此时g(m)＝f(eq\f(m,2))＝－eq\f(m2,4).当m＞4时，函数f(x)＝(x－eq\f(m,2))2－eq\f(m2,4)在区间[0,2]上单调递减，所以g(m)＝f(2)＝4－2m综上可知，g(m)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m2,4)，0＜m≤4,4－2m，m＞4)).(2)因为x＞0时，h(x)＝g(x)，所以当x＞0时，h(x)＝e