高中数学人教A版第二章基本初等函数（Ⅰ）对数函数 一等奖

第二章2.2.1A级基础巩固一、选择题1．(2023·西安高一检测)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是eq\x(导学号69174707)(B)A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac2．如果lgx＝lga＋2lgb－3lgc，则x等于eq\x(导学号69174708)(C)A．a＋2b－3c B．a＋b2－cC．eq\f(ab2,c3) D．eq\f(2ab,3c)[解析]lgx＝lga＋2lgb－3lgc＝lgeq\f(ab2,c3)，∴x＝eq\f(ab2,c3)，故选C．3．若log34·log8m＝log416，则m等于eq\x(导学号69174709)(D)A．3 B．9 C．18 D．[解析]原式可化为：log8m＝eq\f(2,log34)，∴eq\f(1,3)log2m＝2log43，∴meq\s\up7(\f(1,3))＝3，m＝27，故选D．4．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解为eq\x(导学号69174710)(C)A．x＝－1 B．x＝－1或x＝4C．x＝4 D．x＝－1且x＝4[解析]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12＝x＋5,x－1>0,x＋5>0))，解得x＝4，故C．5．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－eq\s\up7(\f(1,2))等于eq\x(导学号69174711)(C)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2\r(3)) C．eq\f(1,2\r(2)) D．eq\f(1,3\r(3))[解析]log7[log3(log2x)]＝0，则log3(log2x)＝1，log2x＝3，x＝8，因此x－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2\r(2)).故选C．6．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lgeq\f(a,b))2的值等于eq\x(导学号69174712)(A)A．2 B．eq\f(1,2) C．4 D．eq\f(1,4)[解析]由根与系数的关系，得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝eq\f(1,2)，∴(lgeq\f(a,b))2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb＝22－4×eq\f(1,2)＝2，故选A．二、填空题7．化简log2(1＋eq\r(2)＋eq\r(3))＋log2(1＋eq\r(2)－eq\r(3))＝__eq\f(3,2)\x(导学号69174713)[解析]log2(1＋eq\r(2)＋eq\r(3))＋log2(1＋eq\r(2)－eq\r(3))＝log2[(1＋eq\r(2))2－eq\r(3)2]＝log22eq\r(2)＝log22eq\s\up7(\f(3,2))＝eq\f(3,2).8．若lgx－lgy＝a，则lg(eq\f(x,2))3－lg(eq\f(y,2))3＝3a\x(导学号69174714)[解析]∵lgx－lgy＝a，∴lg(eq\f(x,2))3－lg(eq\f(y,2))3＝3(lgeq\f(x,2)－lgeq\f(y,2))＝3(lgx－lgy)＝3a.三、解答题9．计算：(1)(log33eq\s\up7(\f(1,2)))2＋\f(1,4)＋9log5eq\r(5)－logeq\r(3)1；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)eq\f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)＋\f(1,3)lg8).eq\x(导学号69174715)[解析](1)(log33eq\s\up7(\f(1,2)))2＋\f(1,4)＋9log5eq\r(5)－logeq\r(3)1＝(eq\f(1,2))2＋1＋9×eq\f(1,2)－0＝eq\f(1,4)＋1＋eq\f(9,2)＝eq\f(23,4).(2)原式＝lg25＋lg8eq\f(2,3)＋lgeq\f(10,2)·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(25×4)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.(3)eq\f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)＋\f(1,3)lg8)＝eq\f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)＋\f(1,3)lg23)＝eq\f(2lg2＋lg3,1＋＋lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,1＋lg6－lg10＋lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,lg6＋lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,lg2＋lg3＋lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,2lg2＋lg3)＝1.10．计算：(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)×log9eq\r(n,32).eq\x(导学号69174716)[解析]原式＝(log23＋eq\f(2log23,2log22)＋eq\f(3log23,3log22)＋…＋eq\f(nlog23,nlog22))×log9eq\r(n,32)＝(log23＋log23＋log23＋…＋log23)×log9eq\r(n,32)＝n×log23×eq\f(5,n)×eq\f(1,2)log32＝eq\f(5,2).B级素养提升一、选择题1．若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为eq\x(导学号69174717)(B)A．eq\f(8,3) B．eq\f(10,3) C．2 D．1[解析]由xlog34＝1得x＝log43，所以4x＋4－x＝3＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3)，故选B．2．lg8＋3lg5的值为eq\x(导学号69174718)(D)A．－3 B．－1 C．1 D．[解析]lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3(lg2＋lg5)＝3lg10＝3，故选D．3．已知lga＝，lgb＝，lgc＝，则eq\f(a2,bc)的值为eq\x(导学号69174719)(D)A．－2 B．2 C．100 D．eq\f(1,100)[解析]∵lgeq\f(a2,bc)＝2lga－lgb－lgc＝2×－－＝－2.∴eq\f(a2,bc)＝10－2，∴eq\f(a2,bc)＝eq\f(1,100).故选D．4．已知方程x2＋xlog26＋log23＝0的两个实数根为α、β，则(eq\f(1,4))α·(eq\f(1,4))β等于eq\x(导学号69174720)(B)A．eq\f(1,36) B．36 C．－6 D．6[解析]由题意知：α＋β＝－log26，(eq\f(1,4))α·(eq\f(1,4))β＝(eq\f(1,4))α＋β＝(eq\f(1,4))－log26＝4log26＝22log26＝36，故选B．二、填空题5．lgeq\f(5,2)＋2lg2－(eq\f(1,2))－1＝__－\x(导学号69174721)[解析]lgeq\f(5,2)＋2lg2－(eq\f(1,2))－1＝lgeq\f(5,2)＋lg4－2＝－1.6．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则log(abc)x＝\x(导学号69174722)[解析]∵logax＝eq\f(1,logxa)＝2，∴logxa＝eq\f(1,2).同理logxc＝eq\f(1,6)，logxb＝eq\f(1,3).∴logabcx＝eq\f(1,logxabc)＝eq\f(1,logxa＋logxb＋logxc)＝1.三、解答题7．(2023·沈阳高一检测)已知3a＝5b＝c，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，求c的值.eq\x(导学号69174723)[解析]由3a＝5b＝c得，a＝log3c，b＝log5c，所以eq\f(1,a)＝logc3，eq\f(1,b)＝logc5，又eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，所以logc3＋logc5＝2，即logc15＝2，c＝eq\r(15).C级能力拔高1．若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值.eq\x(导学号69174724)[解析]原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0，设t＝lgx，则原方程化为2t2－4t＋1＝0.所以t1＋t2＝2，t1t2＝eq\f(1,2).由已知a，b是原方程的两个实根，则t1＝lga，t2＝lgb，所以lga＋lgb＝2，lga·lgb＝eq\f(1,2).所以lg(ab)·(logab＋logba)＝(lga＋lgb)(eq\f(lgb,lga)＋eq\f(lga,lgb))＝eq\f(lga＋lgb[lgb2＋lga2],lgalgb)＝(lga＋lgb)·eq\f(lgb＋lga2－2lgalgb,lgalgb)＝2×eq\f(22－2×\f(1,2),\f(1,2))＝12.2．已知3x＝4y＝\x(导学号69174725)(1)若z＝1，求(x－1)(2y－1)的值；(2)若x，y，z为正数，求证：eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(2,z).[解析](1)由3x＝4y＝6得x＝log36，y＝log46，所以(x－1)(2y－1)＝(log36－1)(2