第八章渐近法

第八章

渐近法§8-1力矩分配法基本概念§8-2多结点力矩分配§8-3无剪力分配法§8-6连续梁的最不利荷载分布及内力包络图§8-5超静定力影响线§8-4力矩分配法与位移法的联合应用1渐近法：通过逐步修正的方法，不解联立方程，按照一定的步骤循环计算，循环次数越多越精确，越接近精确解，所以说渐近法是一种精确解法。本章介绍两种属于位移法类型的渐近解法——力矩分配法和无剪力分配法。力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架；无剪力分配法适用于刚架中除两端无相对位移的杆件外，其余杆件都是剪力静定杆件的情况，它是力矩分配法的一种特殊形式。对于一般有结点线位移的刚架，可用力矩分配法和位移法联合求解。2本章主要内容：1、位移法的渐近解法

(1)

力矩分配法；

(2)

无剪力分配法；

(3)

力矩分配法与位移法联合应用。2、超静定力的影响线。3、连续梁的最不利荷载分布及内力包络图。本章要求：

1、主要掌握力矩分配法求解连续梁和超静定刚架；

2、了解利用挠度图作超静定力的影响线；

3、了解连续梁的最不利荷载分布及内力包络图。3§8-1力矩分配法基本概念力矩分配法源自位移法，但不必求解方程组，只需按表格进行计算，计算方便、快捷。力矩分配法是逐步逼近（对多结点力矩分配而言）精确解的计算方法，是渐近法，不是近似法。

适用范围：连续梁和无结点线位移的刚架。符号规定：杆端弯矩的符号正负规定与位移法相同。4一、名词解释（几个基本概念）下面讨论等截面直杆的转动刚度。

转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上等于使杆端产生单位转角（无线位移）时所需施加的力矩。用符号S表示，见下面各图。施力端称为近端，另一端称为远端。a)

SAB=4i，远端为固端SABiAB1、转动刚度5当A端产生单位转角时，A端无线位移。转动刚度SAB只取决于远端支承条件及杆件的线刚度。

b)

SAB=3i，远端为滚轴支座或铰支座。SABiAB

d)

SAB=0，远端为滚轴支座，沿杆轴布置。SABiABSAB

c)

SAB=i，远端为滑动支座。iAB62、分配系数杆端弯矩表达式：用位移法求解右图示结构，未知量为θA。ii2i2iBCADEM0平衡方程为：AMAEMADMABMACM07回代求杆端弯矩：8对某结点，各杆分配系数之代数和为1，即：注意：只能作为校核条件，不能作为计算条件。由上式可以看出，结点力偶M0按系数μ确定的比例分配给各杆端。系数μ称为分配系数，某杆的分配系数μ等于该杆的转动刚度S与交于同一结点的各杆转动刚度之和的比值。即：93、传递系数当近端有转角时（无线位移），远端弯矩与近端弯矩的比值称为传递系数，用C表示。

在上面的讨论中可知，远端弯矩等于近端弯矩乘传递系数，即。iABiABiAB10二、单结点力矩分配

用位移法解图a)所示结构时，首先在结点B加上附加转动约束，锁住B使之不能转动，于是可求得各杆固端弯距。附加约束产生的反力矩MB等于各杆端固端弯矩的代数和，见图b)。BMB=60kN.m150kN.m-90kN.m200kN20kN/mABCb)200kN20kN/mABCEIEIa)示例：作图a）所示连续梁的M图。11

其次放松结点B，即在结点B加－MB，这时结构受结点力矩作用的情况，可以用力矩分配法进行计算，见图c）。ABCc)

解：1）求分配系数令122）求固端弯矩（查表获得）结点B约束力矩为：结点B分配力矩为：133）运算格式4）作弯矩图分配系数固端弯矩0.5710.429-150150-90杆端弯矩-167.13115.74-115.740分配传递-34.26-25.74-17.130ACBABCABC167.13115.74158.5632.13M图（kN.m

）14解：1）求分配系数例题8-1-1

作图示刚架M图。12kN6kN/mII2IABCD(i)(i)(2i)各杆线刚度表于图中。令15MBB9

-82)求固端弯矩结点B约束力矩为：分配力矩为：12kN6kN/mII(i)(i)2I(2i)ABCD163)运算格式BA0.2310.462BC0.307BDDAC89-801.382.084.162.76011.084.169.38-5.240分配系数写在结点B上面的方框内。分配力矩下面划一横线，表示结点已放松，达到平衡。传递力矩以箭头表示力矩传递的方向。最后的杆端弯矩，以下面划双横线表示。分配系数固端弯矩分配传递杆端弯矩174)作弯矩图5)讨论若结点力矩为逆时针方向，则：MBB9

-89.38ABCD11.085.244.164.696.46M图（kN.m

）结点B约束力矩为：分配力矩为：18处理方式有两种：第一种，是在计算不平衡力矩(附加刚臂上的约束力矩)时，就将结点集中力偶矩考虑进去一并计算，然后反号分配。第二种，是将集中力偶矩直接分配，按分配系数“同号分配”，(集中力偶以顺时针为正，反时针为负)；而后与约束力矩的分配力矩一并进行传递。前面是按第一种方法计算的。6)

结点力偶矩的处理方式19例8-1-2

讨论悬臂端的处理。（见示例）

200kN20kN/mABCEIEI30kNDa)30kNDC200kN20kN/mABCEIEIb)解：切除图a)所示梁的CD段，则BC杆的C端有顺时针方向的力矩60kN.m，该力矩在BC杆B端产生固端弯矩30kN.m，见图b）。20BA0.5710.429BC-51.39-38.61ACD-150150-9060-60-175.7098.61-98.6160-6030-25.700CiBC结点B约束力矩为：分配力矩为：21M图（

kN.m

）175.7098.6160ABC162.8510.70D

另外处理方式：将BC梁看作是B端固定C端铰支梁，把MCD看作外力偶矩，求解B点的固端弯矩（如下图）。BC20kN/m22§8-2多结点力矩分配一、多结点力矩分配

1）锁住结点B、C，各杆产生固端弯矩。结点约束力矩：ABCEIEID60kNEIABCD60kN-3030EIEIEI23

2）放松结点B，即在结点B施加力矩-MB

，结点C仍锁住。这相当于做一个单结点力矩分配。结点C约束力矩变为：BCD157.5157.5A注意：此时结点C约束力矩=原结点C的约束力矩

+B点分配时的传递力矩24

3）重新锁住结点B，同时放松结点C，即在C施加力矩，这又相当于做一个单结点力矩分配。结点B新的约束力矩为-9.375ABCD-18.75-9.375-18.75结点B新的约束力矩=结点C分配时的传递力矩25

4）重新锁住结点C，同时放松结点B，即在B施加力矩，这又相当于做一个单结点力矩分配。结点C约束力矩变为如此循环，可见连续梁的变形曲线越来越接近实际的变形曲线，即越来越趋近于精确解。

所谓多结点力矩分配，本质上是单结点力矩分配。通常各结点做两轮至三轮分配运算，就可以达到满意的精度。ABCD4.6882.3444.6882.34426结点B例8-2-1

作图示刚架M图。结点C解：1)求分配系数18kN/m4I4I(2i)(i)4I(i)BEDA6kN/m2I(2i/3)C27

2)

求固端弯矩18kN/m4I4I(2i)(i)4I(i)BEDA6kN/m2I(2i/3)C注意：各杆（梁）的计算条件。283)运算格式EADBA0.20.4BE0.4BCCB0.6670.333CD-242484-8-16-84.89.69.6-1.6-3.2-1.60.320.640.64-0.107-0.2134.8-4.84.80.32-0.320.3213.1210.24-23.36-1.129.71-9.715.12294)作弯矩图小结：

1）分配运算通常从约束力矩较大的结点开始，这样收敛较快。

2）若停止分配运算，就不应再向中间结点的杆端传递弯矩。BEDAC1.1213.1223.3610.245.129.7119.47M图（kN.m

）30例8-2-2

《结构力学教程（Ι）》第456页例9-4的说明（2000年7月第1版）。ABCDEIEI5ii50kN105/6

1/6-505025-4.2-20.8-20.820.850-50ADBC31说明：

1）在计算B结点各杆的分配系数时，C结点不锁住，即C结点处看作铰支座。

2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩的求解问题。

3）上面计算过程等同于下图所示的处理方法。D50kNCABCEIEI5ii32例8-2-3作图a)所示刚架的弯矩图。(a)ABCDEF4I4I2I2I10kN/m20kN5m5m4m1m解：1)求分配系数转动刚度取相对值，设EI=10=CDS24244===CFCFEIiS24244===BEBEEIiS2.35444===BCCBEIiS2.35444===BCBCEIiS4.25433===BABAEIiS337.623.22.4=++=++=BEBCBASSSS316.07.62.4==BAm结点B：421.07.63.2==BAm263.07.62.4==BAm5.2023.2=++=++=CDCFCBSSSS615.05.23.2==CBm结点C：318.07.62==CFm07.60==CDm2)

锁住结点B、C，求各杆的固端弯矩34结点B、C的不平衡力矩为：

3)

力矩分配与传递(直接在图b上进行)4)

计算杆端弯矩(直接在图b上进行)5)

作M图(见图c)。35(b)AEFB0.3160.2630.42131.25-20.83-3.29-2.74-4.391.96-0.62-0.52-0.830.13-0.05-0.03-0.0427.3-3.29-24.01CD0.6150.385020.83-25-2.193.912.450-0.410.250.16022.372.61-25-1.37-0.26-0.01-1.641.230.081.3100BAEBFCBEBCCBCFCD00分配系数固端弯矩放松B放松C最终杆端弯矩放松B放松CⅠⅡ放松BⅢ固端弯矩最终杆端弯矩36(c)ABCDEF31.2527.324.0122.372531.251.25M图(kN·m)3.291.641.312.618.0617.66)关于悬臂段上荷载对结点产生力偶矩的处理悬臂段CD上的荷载，对D点产生顺时针作用的结点力偶矩(25kN·m)。除按上述方法处理外，也可将此力偶矩直接同号分配；然后将C点的固端弯矩反号分配；两次分配结果叠加后再传递，最终结果相同。C0.385CBCF020.8315.389.62-12.81-8.02分配与传递0.615(d)2537二、几个问题的讨论1、对称结构的计算对称结构在对称荷载作用下，结构无侧移，可以利用力矩分配法计算。根据位移法中的讨论，取半边结构以简化计算。注意：横梁的线刚度为原结构的2倍，因其长度缩短一半。ABq2q1q1ABq2此杆转动刚度S=0382、多结点时的分配

下图示结构，锁住结点C，放松结点B、D，即结点B、D同时分配并向结点C传递。然后锁住结点B、D，放松结点C，即结点C进行分配并向B、D传递，依此类推。可缩短计算时间，加快收敛。3/74/70.50.54/73/7BCDAE-17.14-12.8634.2945.7122.86-8.57-32.15-32.15-508050-80-16.07-16.0739下图示刚架，打×的结点为一组，其余为另一组。两组结点依次锁住或放松，可大大加快计算速度。自学书中例题40前述已知：力矩分配法不能应用于有结点线位移(侧移)的刚架。因为若刚架的内部结点有侧移△，则力矩分配法中的分配关系和传递关系均不能成立。

§8-3无剪力分配法无侧移刚架——力矩分配法有侧移刚架某些特殊刚架——无剪力分配法

(类似于力矩分配法)。一般有侧移刚架——力矩分配法与位移法的联合应用。刚架41什么是特殊的有侧移刚架？这就是无剪力分配法的应用条件。有一类刚架，其内部结点虽然有线位移△，但△可以不取作位移法的基本未知量，对这类刚架也可以求得类似于力矩分配法中的分配关系和传递关系，于是可以按照力矩分配法的格式进行计算，此即为无剪力分配法。一、适用无剪力分配法的条件若结构中只存在下列两类杆件，则适用于无剪力分配法。42

1）刚架除两端无相对侧移的杆件外；

2）其余杆件为剪力静定杆（即剪力只取决于外荷载）。两端无相对侧移的杆件剪力静定杆43用位移法解上题，基本未知量取θB

，△BH不必作为未知量。AB杆剪力静定，BC杆无相对侧移。二、无剪力分配法的概念原结构ABi放松结点B约束力矩反号分配iABC-MBiqABCEI，lEI，l锁住结点B产生固端弯矩qABCMB（约束力矩）44杆端弯矩表达式（AB杆为一端固定一端滑动梁）位移法方程弯矩图M图ABC45由上面的讨论可得出如下结论：

1）剪力静定杆AB在B端的转动刚度为SBA=iBA,传递系数为CBA=-1。

2）剪力静定杆AB的固端弯矩按下端固定、上端滑动的单跨梁查表求得。

qAB下面用无剪力分配法解上题。1）求转动刚度及分配系数qABCEI，lEI，l463）运算格式弯矩图见前页。2）求固端弯矩ACBA0.250.75BC-ql2/6ql2/24ql2/8-ql2/3-ql2/24-ql2/8ql2/8-3ql2/847如右图示，放松结点B，AB杆剪力等于零。小结：

1）在放松结点B，即约束力矩MB反号分配的始终，剪力静定杆AB的剪力始终等于零，所以称为无剪力分配法。

2）若刚架横梁的两端无相对侧移，柱的剪力静定，则该刚架可用无剪力分配法计算。iABCi-MB

3）对于剪力静定杆：转动刚度S=i；传递系数C=-1；按下端固定，上端滑动的单跨梁求固端弯矩。48三、双层半刚架横梁AB、CD两端无相对侧移，柱AC、CE为剪力静定杆。ABCDE4kN2kN3kN/miiii求固端弯矩CA4kN3kN/mEC18kN锁住结点A、C产生固端弯矩。ABCDE4kN2kN3kN/mMAMC49ＣＡiＥＣi放松结点Ａ锁住结点CABCDEＣＡi-MA放松结点Ｃ锁住结点ＡABCDE50由上述讨论可以得到和单层半刚架中的剪力静定杆相同的结论：

1）剪力静定杆的固端弯矩仍按下端固定，上端滑动的单跨梁求解。上层柱所受的水平荷载会在下层柱中产生固端弯矩，下层柱应首先求出柱上端的剪力，此剪力要作为集中荷载加在滑动端求固端弯矩。

2）剪力静定杆的转动刚度及传递系数仍旧为：转动刚度

S=i

，传递系数

C=-1。51结点A结点C例8-3-1

用无剪力分配法作半刚架的M图。解：1）求分配系数ABCDEiiii4kN2kN3kN/m52AC柱CE柱2)求固端弯矩CA4kN3kN/mEC18kN533)

运算格式BDE1.050.35AC0.250.75AB0.20.20.6CACECD-0.35-16-12-24-361.41.44.2-1.4-1.4

-360.070.070.21-0.07217121236-7-12-22.0522.05-17.88-22.5340.41-49.47EC图中蓝色数字为固端弯矩544)作弯矩图ABDE22.0517.8822.5349.4740.418.09M图（kN.m

）C55结点B结点C例8-3-2

用无剪力分配法图示刚架的M图。解：1）求分配系数ABCD18kN/miii10kN/m分析知：AB杆是剪力静定杆，BC、CD杆是两端无相对线位移的杆件。562)求固端弯矩ABCD18kN/miii10kN/m573)

运算格式BA0.20.8BCCB0.5710.429CD9.638.40.4570.343AD0.229-0.046-0.1830.0520.03919.2-9.6-0.0910.046-48-20-9619.62-19.62-38.4538.45-105.55AB584)

作弯矩图ACD38.4519.62105.552.4510.19M图（kN.m

）B59例8-3-3

剪力静定杆固端弯矩的求解。1)ABCDE4kN10kN2kN/mCA4kN2kN/mEC22kN602)ABCDE2kN4kN/mCA2kNEC2kN4kN/m613)CA2kN/mEC8kN2kN/mABCDE2kN/m624)ABCDE15kNCA15kNEC15kN

说明：对称刚架在反对称荷载作用下，可取以上半刚架，按无剪力分配法计算63分析图示的几种刚架能否应用无剪力分配法计算。(b)(d)(e)(f)(a)(c)不能，斜柱剪力不能静定求出不能，横梁两端有相对位移能能能能64书中习题8-14a、b

(a)ABCDEI=5EI=2EI=210m6m6kN/mAB3kN/m无剪力分配法力法=+ABCD3kN/m3kN/m反对称荷载AB3kN/m力矩分配法位移法ABCD3kN/m3kN/m对称荷载65(b)20kN/mBCEI=常数AD3m3m8m=10kN/mB力矩分配法位移法A10kN/mBC对称荷载AD+10kN/mB无剪力分配法力法A10kN/mBC反对称荷载AD66§8-4力矩分配法与位移法的联合应用力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架；无剪力分配法适用于具有侧移的单跨多层刚架的特殊情况。对于一般有结点线位移的刚架均不能单独应用上述两种方法，这时可考虑力矩分配法和位移法的联合应用。即力矩分配法和位移法的联合应用适用于具有侧移的一般刚架。该方法的特点是：(1)

用力矩分配法考虑结点角位移的影响；(2)

用位移法考虑结点线位移的影响。67下面以图a所示刚架为例说明计算的原理。首先用位移法求解，只将结点线位移作为基本未知量，而结点角位移不算作基本未知量。基本体系的两个分解状态如图b、c所示。(a)qABC(b)qABCF1P(c)qABCk111=+第一个状态控制结点线位移1=0，即为基本体系在荷载单独作下的情况，可用力矩分配法求解，并作出相应的MP图，求出附加反力F1P。68两种状态叠加，相应的位移法方程为：按式(a)可求得：按式(b)可求得M图。可以看出：关键的问题是求出k11和F1P。第二个状态控制结点发生线位移1(结构实际的线位移)，所需施加的力为k111。为计算方便，给定1=1可获得图，同时可求得此时的附加支反力k11。弯矩可表示为：69书中例题：求图示刚架的内力。解：(1)

在D点加水平链杆，然后求作荷载作用下的弯矩图MP。见书中MP图。Aq=20kN/mB4I05I0CD4I03I0FE3I06m4m5m4m4m可用力矩分配法计算，得出的弯矩图如图MP图。利用MP图可以很简单的求出附加链杆的支反力F1P。70(2)

计算支座D向右产生单位位移时刚架的此时，结点线位移已知为1=1，可用力矩分配法计算，固端弯矩由1=1产生。

ABCDFE1=1k11BE1=171(3)

求结点水平位移1由位移法方程求得注意：1=-1.95是假值，并非真值，因设EI0=1(4)

作弯矩图利用弯矩计算公式求解，并作弯矩图（见书）72对于具有多个结点线位移的刚架，求解的步骤与单个结点线位移完全一样。力矩分配法与位移法的联合应用的计算步骤如下：1、选取基本体系，只限制结点线位移i

；

(i

，i=1、2…n)2、力矩分配法解基本体系受外荷载作用时的MP图，由MiPFiP；3、力矩分配法计算i=1时的Mi图，并求kii，kij；73(i=1、2……n)4、位移法方程为：由此解出i

，

(i=1、2……n)5、叠加法作M图74§8-5超静定力影响线作静定结构影响线的方法有静力法、机动法。超静定力影响线的作法也有两种：1、用解超静定结构的方法(力法、位移法、力矩分配法等)直接求出影响系数的方法(和静定结构求影响线的静力法相对应)；2、利用超静定力影响线与挠度图间的比拟关系(和静定结构求影响线的机动法相对应)。本节主要介绍第二种方法。75特点：能方便的绘出影响线的形状，有利于判断不利荷载的分布。一、方法原理以连续梁(两跨超静定梁)为例。作图a所示连续梁支座B的支座反力Z1的影响线。解：(1)

设FP=1作用在距A点为x的任一点。(a)xBACZ1FP=1(b)xBACZ1FP=176(2)

去掉支座B，代之以支反力Z1(注意：此时的结构仍为超静定)，作为基本体系，如图b所示。力法方程为：由此解得这里1P、11都是单位力产生的位移，如图c、d。(c)xBACZ1FP=11P(d)xBACZ1=111P1利用位移互等定理

1P=P1

，上式可写为：77其中：P1是单位力Z1=1所引起的沿荷载FP作用点的竖向位移，如图d所示。(3)

考虑荷载移动支座反力Z1和位移P1都随荷载FP的移动而变化，都是荷载位置参数x的函数，即：Z1(x)，P1(x)

。11则是常数，与荷载位置参数x无关。因此上式可写成如下形式：78这就是Z1的影响线函数，由此可得出影响线。(4)

分析由图d可知：P1(x)的变化图形就是荷载(FP=1)作用点的挠度图。由此可以看出影响线与挠度图之间的关系：影响线等于挠度图乘以因子：二、作影响线的步骤1、撤去与所求约束力Z1相应的约束，代之以约束力Z1；792、使体系沿Z1的正方向发生位移，作出荷载作用点的挠度图(P1(x)曲线)，即为影响线的形状；3、将P1(x)除以常数11，(或在P1图中令11=1)，便得出影响线的数值。4、横坐标以上图形为正，以下图形为负。三、P1、11的计算在求得单位荷载作用下(Z1=1)的M图后，对每一跨来说都是端点受集中力偶作用的静定梁，则两端转角A和B为：80AxlyMABMBAB任一点处的挠度为：推导(a)、(b)两式：ABMAMBMP图MAMBAB1FP=1图81同理可计算出：y(x)的推导：图ABFP=1xMP图ABMAMBMAMB计算可得出：82四、举例例8-5-1

求图a所示连续梁支座弯矩MB的影响线。(a)6m6m6mABCDFP=1x1x2x3FP=1FP=1(b)AMB=1CD(c)ACD0.50.51-1-0.50.5B解：(1)

作挠度图P1撤除与B截面弯矩相应的约束(在B截面加铰)，并施加一对方向相反的力偶MB=1，使体系沿MB的正向发生位移，产生挠度图P1(图b)。则有：。83(2)用力矩分配法作MB=1引起的弯矩图(图c、d)。注意下面两种情况的固端弯矩。由MB=1引起的弯矩图如图d所示。(d)AMB=1CD0.2510.5利用公式(a)计算11A-1BB1C84这里：、也可以直接利用图乘法简单求出。计算P1

：利用(b)式求y(x)即可得出P1

。第一跨挠度方程为第二跨挠度方程为85第三跨挠度方程为将相应的x值代入后，求得EIy(x)图如图a所示，此即为EIP1图。(a)ABCD0.352m0.5630.4920.9141.691.6171.2661.1250.422m(挠度图)EIP1(x)

(3)

验算第二跨x2=1.5时的挠度86将P1除以11即得影响线如图b所示。(b)ABCD0.108m0.1750.1510.2810.5200.4970.3890.3460.123mMB的影响线

(4)

验证第二跨x2=1.5处的影响线的竖距设计时等跨度等截面连续梁各截面弯矩的影响线和支座截面剪力的影响线均可直接查表获得。87例8-5-2

画出图示连续梁影响线的形状。BCDxFP

=1EFA原结构KABCDEFδ11MCMC影响线BCDEFAKδ11MK影响线MK88BCDEFAδ11FQC右影响线FQC右BCDEFAδ11FQC左影响线FQC左BCDEFAKδ11FQK影响线FQKBCDEFAδ11FRB影响线FRB89§8-6连续梁的最不利荷载分布及内力包络图一、概述连续梁通常承受两种荷载：恒载和活载。特点：恒载(自重、上层楼盖板等)经常存在而布满全跨，对某一截面产生的弯矩是固定不变的。活载不经常存在且不同时布满各跨，对某一截面产生的弯矩是随活载分布的不同而改变。

设计要求：为保证结构在各种荷载作用下都能安90全使用，必须求得各截面在各种荷载作用下的