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计算方法2月17日1第2章插值法引言拉格朗日插值均差与牛顿插值多项式埃尔米特插值分段低次插值三次样条插值2什么是插值问题？简单地说，给定(x0,y0)，(x1,y1)，

……(xn,yn)，给定

x，确定y

=?类似地，对于多变元函数.给定 (x00,x01,…x0n,y0) … (xk0,xk1,…,xkn,yk)以及给定 x0,x1,…,xk,如何确定y?3严格定义4首选多项式插值方便性易于计算易于微分易于积分唯一性不管用什么办法获得，满足条件的n阶多项式插值函数（给定n+1个插值条件）只有一个5多项式插值函数的唯一性

6

而恰为范德蒙(Vandermonde)

行列式。由高等代数知：

7如何确定多项式插值函数解析方法解方程求解多项式系数ak数值方法：拉格朗日、牛顿……从方程组（*），由克莱姆(Cram)法则我们知道：其中是将系数矩阵A的第k列换为方程组（*）的右端向量形成的矩阵行列式。8线性插值（一次多项式）n=12个插值节点一次多项式插值函数满足2个插值节点约束9线性插值基函数一次多项式插值函数的另一种写法10线性插值基函数的性质11抛物线插值（二次多项式）n=23个插值节点二次多项式插值函数满足2个插值节点约束12二次插值基函数特性仿照一次（线性）插值基函数构造一次插值多项式的原理，如果也有满足条件

的3个二次函数，则也可类似构造出二次插值函数，形如：13二次插值基函数14二次插值多项式15n次多项式插值

16n次插值基函数17拉格朗日插值多项式基于上述的n次插值基函数，可得到相应的n次多项式插值函数，即拉格朗日插值多项式：18拉格朗日插值法的tips特殊情况下，n次拉格朗日插值多项式的次数可能小于n．唯一性。定理1

在次数不超过n的多项式集合Hn中，满足n+1个插值节点约束条件的插值多项式Ln(x)∈Hn是存在唯一的。（证明自学）特例：19一个重要的结论在上述特例中，最特的一个：20拉格朗日插值余项21证明:只给出思路,详见课本按定义,Rn(x)有根x0,x1,…,xn.所以,可以假设

Rn(x)=K(x)n+1(x).

其中K(x)待定．

把x也看作一个确定的值，构造一个函数

(t)=f(t)-Ln(t)-K(t)n+1(t).

则(t)有(n+2)个根x0,x1,…,xn,x.由Roll定理，’(t)在(t)的两个根之间有一个根，所以在[a,b]上’(t)有至少n+1个根.……

反复应用Roll定理，到最后可以解得K(x).最终定理得证明．22拉格朗日插值法应用注意：(a,b)一般是不好确定的．但是若我们能求出在(a,b)内的界，则可得到截断误差的界！例2见课本28页，演示见example201.m.23拉格朗日插值法的缺陷拉格朗日插值法的优点是公式结构紧凑．不足在于当插值节点增减时全部插值基函数都要重新计算，这在实

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