中考数学模试题汇总《锐角三角函数》练习题

第第页中考数学模试题汇总《锐角三角函数》练习题（含答案）一、填空题1．如图，正方形ABCD中，将线段BC绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接BE、DE，若正方形边长为2，则图中阴影部分的面积是_____．2．京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周末休闲的好去处．如图，如果该摩天轮的直径为88米，最高点距地面100米，匀速运行一圈所需的时间是18分钟．但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为________分钟．

二、解答题3．计算：．4．计算：．5．计算：．6．计算：．7．计算：．8．计算：．9．（如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．(1)求证：四边形AEBF是菱形；(2)若cos∠EBF＝，BF＝5，连接CD，求CD的长．10．如图，在矩形中，，相交于点O，，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求四边形的面积．11．如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AD=4，，求BD和AE的长．12．如图，在四边形ABCD中，，，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AC=4，AD=2，，求BC的长．13．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，过点C作CFEB交AB的延长线于点F．(1)求证：四边形BFCE是矩形；(2)连接AC，若AB=BE=2，，求AC的长14．如图，BE是⊙O直径，点A是⊙O外一点：OA⊥OB，AP切⊙O于点P，连接BP交AO于点C．(1)求证：∠PAO=2∠PBO；(2)若⊙O的半径为5，，求BP的长．15．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC、BC，过O作OF∥AC，交BC于G，交DC于F．(1)求证：∠DCB＝∠DOF；(2)若tan∠A＝，BC＝4，求OF、DF的长．16．如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．17．如图，是的外接圆，AB是的直径，点D为的中点，的切线DE交OC延长线于点E．(1)求证：；(2)连接BD交AC于点P，若，，求DE和BP的长．18．（2022·北京西城·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．(1)求证：HF是⊙O的切线；(2)若，BM=1，求AF的长．19．如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P，Q两点（Q在P，H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A，B，C，D．①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则⊙O关于直线m的“远点”是点__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_____________；②若直线n的函数表达式为，求⊙O关于直线n的“特征数”；(2)在平面直角坐标系xOy、中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（–1，0）是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，直接写出直线l的函数解析式．20．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．(1)如图1，的半径为1，当k=1,b=1时，直接写出直线关于的“圆截距”；(2)点M的坐标为，①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．21．我们规定：在平面直角坐标系中，如果点到原点的距离为，点到点的距离是的整数倍，那么点就是点的倍关联点．(1)当点的坐标为时，①如果点的2倍关联点在轴上，那么点的坐标是；②如果点是点的倍关联点，且满足，．那么的最大值为________；(2)如果点的坐标为，且在函数的图象上存在的2倍关联点，求的取值范围．22．在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线和线段BC，给出如下定义：若将线段BC沿直线l翻折可以得到的弦（，分别是B，C的对应点），则称线段BC是以直线l为轴的的“关联线段”．例如：在图1中，线段BC的是以直线l为轴的的“关联线段”．(1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，以直线l为轴的的“关联线段”是______；(2)△ABC是边长为a的等边三角形，点，若BC是以直线l为轴的的“关联线段”，求a的值；(3)如果经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，直接写出这条直线与y轴交点的纵坐标m的取值范围．参考答案1．【解析】【分析】由旋转的性质可知，，，，到边上的高；到边上的高，根据，计算求解即可．【详解】解：由题意知，∵∴∴到边上的高；到边上的高∴故答案为：

．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，正弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．12【解析】【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可．【详解】解：如下图所示，根据题意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，∴CE=ED-CD=34-12=22，∴OE=OC-CE=44-22=22，在直角三角形OEF中，sin∠OFE==，∴∠OFE=30°，∴∠FOE=60°，∴∠FOB=120°，∴，∵圆转动的速度为，∴最佳观赏时长为÷=12（分钟），故答案为：12．【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，解题的关键是熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数．3．【解析】【分析】根据特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，以及二次根式的性质进行求解即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，以及二次根式的性质，实数的运算，熟知相关计算法则是解题的关键．4．5【解析】【分析】先根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂及二次根式的性质进行化简计算，再按照从左到右的运算顺序计算即可．【详解】原式【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂及二次根式的性质，熟练掌握运算法则及顺序是解题的关键．5．【解析】【分析】根据特殊三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的法则、二次根式的化简进行计算即可．【详解】解：＝2×－4＋1－＝－4＋1－【点睛】本题考查了特殊三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的法则、二次根式的运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．-1【解析】【分析】根据实数的计算，把各个部分的值求出来进行计算即可．【详解】解：原式===-1．【点睛】本题考查了实数的混合运算，准确记忆特殊角的锐角三角函数值、绝对值化简、零指数幂、二次根式的化简是解题的关键．7．【解析】【分析】先分别根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简、绝对值的性质及0指数幂的计算法则，计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质是解答此题的关键．8．3【解析】【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值、实数运算，正确化简各数是解题关键．9．(1)见解析(2)2【解析】【分析】（1）根据菱形的判定条件：对角线互相垂直平分的四边形是菱形进行证明即可；（2）先证明∠AEC=∠EBF，从而求出CE=3，，BC=8，利用勾股定理求出AB的长，即可利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长．(1)解：∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵DE=DF，∴四边形AEBF是平行四边形，∵EF⊥AB，∴四边形AEBF是菱形；(2)解：∵四边形AEBF是菱形，∴，AE=BF=BE=5，∴∠AEC=∠EBF，∵∠ACB=90°，∴，∴CE=3，∴，BC=CE+BE=8，∴，∵D是AB的中点，∠ACB=90°，∴．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．10．(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得出OA=OB，进而利用菱形的判定解答即可；(2)根据菱形的性质及面积公式，解直角三角形即可求得．(1)证明：，四边形AEBO是平行四边形又四边形ABCD是矩形，，四边形AEBO是菱形(2)解：如图：连接EO，交AB于点F四边形ABCD是矩形，，又是等边三角形，四边形AEBO是菱形，四边形的面积为：【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，作出辅助线是解决本题的关键．11．(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，再由菱形的判定定理即可得到结论；（2）先求出，由勾股定理得出BD的长度，解直角三角形求出AF的长度，再由菱形的性质即可求解．(1)BA=BC，BD平分∠ABCDE=DF四边形AECF是菱形；(2)，BA⊥AF，BA=BCAD=4在中，四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理及利用同角的三角函数关系求值，熟练掌握知识点是解题的关键．12．(1)证明见解析(2)BC的长为【解析】【分析】（1）先判定，再根据题中所给的条件即可利用平行四边形判定定理证出；（2）根据三角函数值设，，利用平行四边形性质得到平行及线段相等，从而根据确定的相似比代值求解即可．(1)证明：，，，，在四边形ABCD中，，四边形ACED是平行四边形；(2)解：在中，，设，，在中，，，，，，即，解得（舍弃）或，．【点睛】本题考查了平行线的判定、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．13．(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）先证明四边形BFCE是平行四边形，再根据即可求证；（2）利用矩形的性质得到，根据得到，根据勾股定理求解即可．(1)证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴四边形是平行四边形∵∴∴四边形是矩形．(2)解：∵四边形是矩形∴，，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．14．(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）连接，由切线的性质及垂直条件可得，再由等腰三角形的性质即可证得结果；（2）过点作于点，，设，则可求得OB，从而可得k的值，则在中由勾股定理即可求得PB的长．(1)证明：连接∵切⊙O于点∴∴∵OA∴∴∵OP=OB∴∠OPB=∠PBO∴∴(2)解：过点作于点∵∴∴设∴由勾股定理得：∵⊙O半径为5∴∴∴∴∴在中，【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及正切函数的定义等知识，连接半径是关键．15．(1)见解析(2)，【解析】【分析】（1）如图所示，连接OC，先证明∠DCB=∠OCA，由OC=OA，可证∠OAC=∠OCA=∠DCB，再由，可证∠DOF=∠OAC，即可证明∠DOF=∠DCB；（2）先证△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°得到，则CG=2，再由∠BCD=∠OAC，，求出，则，，即可得到，可证△OFD∽△ACD，得到，则．(1)解：如图所示，连接OC，∵CD是圆O的切线，AB是圆O的直径，∴∠OCD=∠ACB=90°，∴∠DCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB，∴∠DCB=∠OCA，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA=∠DCB，∵，∴∠DOF=∠OAC，∴∠DOF=∠DCB；(2)解：设OF与BC交于点G，∵，∴△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°∴，∠CGF=90°∴，∴CG=2，∵∠BCD=∠OAC，，∴，∴，∴，，∴，同理可证△OFD∽△ACD，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆切线的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角等等，正确作出辅助线是解题的关键．16．(1)证明见详解(2)【解析】【分析】（1）连接OC，可证明，推导出，又因为，可得，即可证明，即平分；（2）连接BC，由为的直径可证明，由（1）可知，利用三角函数分别解、，解得AC、AD长度，再由勾股定理计算CD的长即可．(1)证明：如图1，连接OC，∵CD为切线，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即平分；(2)解：如图2，连接BC，∵为的直径，∴，∵，∴，即，解得，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、三角函数解直角三角形以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．17．(1)见解析(2)，【解析】【分析】（1）连接OD，用垂径定理的推论和切线性质定理证明；（2）设OD与AC交点为F，连接AD，根据∠BAC的余弦值和勾股定理求出AB，BC的长，证明∠E=∠BAC，∠EDO=∠ACB，得到△ABC∽△EOD，根据相似比求出DE的长；根据三角形中位线定理求出OF的长，得到DF的长，用勾股定理求出AD的长，最后用∠CAD=∠CBD的余弦值求出BP的长(1)连接OD，∵点D是的中点，∴OD⊥AC，∵DE是⊙O切线，∴DE⊥OD，∴DE∥AC(2)设OD与AC交点为F，连接AD，则∠CAD=∠CBD，∵DE∥AC，∴∠E=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠E，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠EDO=90°，∴△ABC∽△EOD，∴，∵，AC=8，∴AB=10，∴，OD=5，∴∴，∵，∴DF=OD-OF=5-3=2，∵，∴，∴，∴，∴【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线性质定理，平行线的判定，圆周角定理推论，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是连接OD，AD，熟练运用上述性质和判定定理解答18．(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）连接OF，根据CD⊥AB，可得∠A+∠AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG=∠AGE，然后根据OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求证；（2）连接BF，先证得△BFM∽△FAM，可得，再由，可得OM=5，AM=9，AB=8，FM=3，从而得到，然后由勾股定理，即可求解．(1)证明：连接OF，∵CD⊥AB，∴∠AEG=90°，∴∠A+∠AGE=90°，∵HG=HF，∴∠HFG=∠HGF，∵∠HGF=∠AGE，∴∠HFG=∠AGE，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA，∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，∴HF是⊙O的切线；(2)解：如图，连接BF，由（1）得：∠OFM=90°，∴∠BFO+∠BFM=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠A+∠ABF=90°，∵OB=OF，∴∠ABF=∠BFO，∴∠BFM=∠A，∵∠M=∠M，∴△BFM∽△FAM，∴，∵，∴，∵BM=1，OB=OF，∴，解得：OF=4，∴OM=5，AM=9，AB=8，∴FM=，∴，∴，∵，∴，解得：．【点睛】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，理解锐角三角函数是解题的关键．19．(1)①D；10；②⊙O关于直线n的“特征数”为6；(2)或【解析】【分析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，首先判断直线n也经过点E（0，4），在中，利用三角函数求出∠EFO=60°，进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计算即可；（2）连接NF并延长，设直线l的解析式为y=kx+b1,用待定系数法得到，再根据两条直线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k互为负倒数的关系可设直线NF的解析式为y=x+b2,用待定系数法同理可得，消去b1和b2，得到关于m、n的方程组；根据⊙F关于直线l的“特征数”是，得出NA=，再利用两点之间的距离公式列出方程(m+1)2+n2=，把代入，求出k的值，便得到m、n的值即点A的坐标，再根据待定系数法求直线l的函数表达式．注意有两种情况，不要遗漏．(1)解：（1）①⊙O关于直线m的“远点”是点D，⊙O关于直线m的“特征数”为=2×5=10；②如下图：过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，∵直线n的函数表达式为，当x=0时，y=4；当y=0时，x=，∴直线n经过点E（0，4），点F（，0），在中，∵==4334=，∴∠FEO=30°，∴∠EFO=60°，在中，∵，∴HO=·FO=2，∴PH=HO+OP=3，∴PQ·PH=2×3=6，∴⊙O关于直线n的“特征数”为6；(2)如下图，∵点F是圆心，点是“远点”，∴连接NF并延长，则直线NF⊥直线l，设NF与直线l的交点为点A（m，n），设直线l的解析式为y=kx+b1（k≠0）,将点与A（m，n）代入y=kx+b1中，②-①得：n-4=mk-k，③又∵直线NF⊥直线l，∴设直线NF的解析式为y=x+b2（k≠0）,将点与A（m，n）代入y=x+b2中，④-⑤得：-n=+，⑥联立方程③与方程⑥，得：解得：，∴点A的坐标为（，）；又∵⊙F关于直线l的“特征数”是，⊙F的半径为，∴NB·NA=，即2·NA=，解得：NA=，∴[m-(-1)]2+(n-0)2=()2，即(m+1)2+n2=18，把代入，解得k=-1或k=；当k=-1时，m=2，n=3，∴点A的坐标为（2，3），把点A（2，3）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为；当k=时，m=，n=，∴点A的坐标为（，），把点A（，）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为．∴直线l的解析式为或．【点睛】本题是一次函数与圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象和性质、解直角三角形等，理解“远点”和“特征数”的意义，熟练掌握一次函数的图象和性质、两点之间距离公式、两条直线互相垂直的两个一次函数解析式中系数k互为负倒数的关系是解题的关键．20．(1)(2)①或

②-≤b≤【解析】【分析】(1)直线与圆的交点分别为A(0，1)和B(-1，0)，则OA=OB=1，根据勾股定理计算即可．(2)①根据圆的垂径定理，确定弦长为时，弦的位置，注意分类，确定直线的解析式，根据直线的增减性，确定k的范围．②分最短弦长2的弦在x轴上方和下方，两种情形求解．(1)解：如图1，∵，∴直线的解析式为y=x+1，∴直线与y轴的交点为A(0，1)，与x轴的交点为B(-1，0)，∵的半径为1，∴圆O与y轴的正半轴交点为A(0，1)，与x轴的负半轴交点为B(-1，0)，∴直线关于该圆的“圆截距”为AB，∵OA=OB=1，∴AB=．(2)①如图2，设直线与y轴正半轴交点为A，且A(0，1)∵点M的坐标为，的半径为1，∴圆与x轴正半轴交点为B(2，0)，当时，直线的解析式为y=kx+1，当直线经过点B时，2k+1=0，解得k=；过点M作MF⊥AB，垂足为F，∵OA=1，OB=2，∴AB=，∴sin∠ABO=，∵MB=1，sin∠ABO=，∴，，设直线AB与圆M的另一个交点为C，则BC=2BF=，∵关于的“圆截距”小于，∴k的取值范围是；设直线AM与圆的一个交点为N，∵点A(0，1)，点M的坐标为，∴OA=OM，∴∠AMO=45°，∴∠BMN=45°，根据圆的对称性，直线AB和直线AD关于直线AN对称，此时ED=CB，∴∠DMN=45°，∴∠DMB=90°，∴D的坐标为(1，-1)，∴k+1=-1，解得k=-2，直线AD的解析式为y=-2x+1，∵关于的“圆截距”小于，∴k的取值范围是；综上所述，k的取值范围是或．②如图3，设圆M与x轴的正半轴交点为A,当AF=2时，作直线AB交y轴的正半轴于点B，此时b的值最大，过点M作MD⊥AB，垂足为D，∵AF=2，∴AD=1，∵MA=2，∴∠DMA=30°，∠BAO=60°，∵OA=3，tan∠BAO=，∴OB=OAtan60°=，此时b的最大值为；设圆M与x轴的正半轴交点为A,当AF=2时，作直线AC交y轴的负半轴于点C，此时b的值最小，过点M作ME⊥AC，垂足为E，∵AG=2，∴AE=1，∵MA=2，∴∠EMA=30°，∠CAO=60°，∵OA=3，tan∠CAO=，∴OC=OAtan60°=，此时b的最小值为-；故b的取值范围-≤b≤．【点睛】本题考查了了垂径定理，一次函数的解析式和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握圆的性质，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．21．(1)①（1.5，0）或（﹣4.5，0），②3(2)1－≤b≤1＋【解析】【分析】（1）①根据点的坐标为，点的2倍关联点在轴上，利用关联点的定义即可求解；②根据点是点的倍关联点，且满足，，列出不等式，即可求解；（2）根据当直线与⊙相切时，即直线和，b分别取最大值b1和最小值b2，分两种情况解答即可．(1)解：①∵点的坐标为，∴点到原点的距离为1.5，∴a＝1.5