第六章弯曲应力(B)

第六章弯曲应力上海工程技术大学机械学院工程力学部材料力学1§6—1弯曲正应力及强度计算§6—2弯曲剪应力及强度计算§6—3提高弯曲强度的措施弯曲应力部分小结第六章弯曲应力第六章弯曲应力

作业

2§6—1弯曲正应力及强度计算第六章弯曲应力3第六章弯曲应力4（一）、纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲。

梁的横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲剪力“Fs”——剪应力“τ”；（二）、横力弯曲（剪切弯曲）：

§6—1弯曲正应力及强度计算一、基本概念：FBAFMxFsxFaFF梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。梁的横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲.弯矩“M”——正应力“σ”第六章弯曲应力5二、纯弯曲梁横截面上的正应力公式（超静定问题）（一）几何方面：（二）物理方面：（三）静力方面：（一）、几何方面1、实验：mm由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。由纵向线应变的变化规律→正应力的分布规律。由横截面上的弯矩和正应力的关系→正应力的计算公式。(变形协调关系)(应力应变关系)(应力与内力的关系)nn第六章弯曲应力6第六章弯曲应力7第六章弯曲应力82、变形规律：⑴、横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。⑵、纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。3、假设：（a）、平面假设：梁变形前的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕某轴转动了一个角度。mmnnMMmmnn第六章弯曲应力9（b）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。4、中性层：不发生变形的一层纤维。5、中性轴：中性层与横截面的交线。推论：梁变形实际上是绕中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。中性面第六章弯曲应力106、线应变的变化规律：dxyoo1（二）、物理方面应力与应变之间的关系：在弹性范围内，应力和应变成正比。即：mmnn第六章弯曲应力113、应力的分布图：MZyσmaxσmax（三）、静力方面第六章弯曲应力12Myxz（中性轴Z轴为形心轴）（产生平面弯曲的必要条件，本题自然满足）第六章弯曲应力13将上式代入（2）式得：——（弯曲变形计算的基本公式）……弯曲正应力计算公式。三、注意：弯矩代入绝对值，应力的符号由变形来判断。当M>0时，Z轴上侧所有点为压应力，下侧所有点为拉应力；当M<0时，Z轴下侧所有点为压应力，上侧所有点为拉应力。梁的抗弯刚度。ÞzEI第六章弯曲应力14例：求最大拉应力与最大压应力。已知：№10槽钢解：1）画弯矩图2）查型钢表：3）求应力：第六章弯曲应力15四、公式的使用条件弹性范围内工作的纯弯梁或横力弯曲的细长梁（L＞5h）。五、正应力最大值的确定1、横截面上：⑴对Z轴对称的截面⑵对Z轴不对称的截面

2、整个梁上：⑴对Z轴对称的截面⑵对Z轴不对称的截面第六章弯曲应力16六、惯性矩和抗弯截面模量的确定1、实心圆：2、空心圆：3、矩形：抗弯截面模量第六章弯曲应力17（一）、强度条件：（二）、强度计算：

1、强度校核——2、设计截面尺寸——3、确定外荷载——[]ss£max；[]

maxsMWz³[];

maxszWM£七、正应力的强度计算第六章弯曲应力18例：厚为t=1.5mm的钢带，卷成直径D＝3m圆环。。求：横截面上最大应力解：1）研究对象：单位宽条2）曲率公式：3）求应力：第六章弯曲应力19q

L²/8Mx例：试求：（1）1—1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1

截面的曲率半径。解：画M图求截面弯矩112018030211BA第六章弯曲应力20求应力1120180302求曲率半径q

L²/8Mx全梁最大应力：第六章弯曲应力21解：1、求约束反力xM0.5m0.5m0.5mABCD2FF例：矩形截面梁b=60mm、h=120mm，[σ]=160MPa,求：Fmax

Mmax=0.5F3、强度计算h2、画M，Mmax≤5F/2F/2第六章弯曲应力22解：1)求约束反力例、T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[t]=30MPa，

[c]=60MPa.其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4

，试校核此梁的强度。1m1m1mABCD2.5kNm-4k

N

m2）画弯矩图M3）求应力B截面—（上拉下压）第六章弯曲应力23C截面—（下拉上压）1m1m1mABCD4)强度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa第六章弯曲应力-4k

N

mM2.5kNm24A1A2y

2y

1CCzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa结论——对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面：第六章弯曲应力-4k

N

mM2.5kNm25zybh§6—2

弯曲剪应力及强度计算一、

矩形截面梁横截面上的剪应力1、假设：⑴横截面上各点的剪应力方向与剪力的方向相同。⑵剪应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点剪应力大小相等）。2、公式推导xd

x图ayτFs第六章弯曲应力26A

图

bZyy由剪应力互等定理可知注意：Fs为横截面的剪力；Iz为整个横截面对Z轴的惯性矩；b为Y点对应的宽度；Sz*为Y点以外的面积对Z轴的静面矩。第六章弯曲应力27A

图

bZyy由剪应力互等定理可知注意：Fs为横截面的剪力；Iz为整个横截面对Z轴的惯性矩；b为Y点对应的宽度；Sz*为Y点以外的面积对Z轴的静面矩。第六章弯曲应力28yZ3、矩形截面剪应力的分布：二、其它截面梁：1、工字型截面：仍按矩形截面的公式计算。t第六章弯曲应力292、圆型截面：中性轴上有最大的剪应力，方向与剪力方向相同。3、薄壁圆环：中性轴上有最大的剪应力，方向与剪力方向相同。三、剪应力的强度计算1、强度条件：2、强度计算：⑴、校核强度，⑵、设计截面尺寸，⑶、确定外荷载。第六章弯曲应力303、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力梁的跨度较短，M较小，而Fs较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。第六章弯曲应力31解：、画内力图求危险面内力例、矩形截面(bh=0.12m0.18m）木梁如图，[]=7MPa，[]=0.9M

Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。Mxq

L²/8Fsx求最大应力并校核强度第六章弯曲应力32求最大应力并校核强度应力之比第六章弯曲应力33q=30kN/mAB60kN1m5m例：图示梁为工字型截面，已知〔σ〕=170MPa，〔τ〕=100MPa

试选择工字型梁的型号。解：1、画Q、M图FAY=112.5kN；FBY=97.5kN2、按正应力确定截面型号查表选36c型号3、剪应力校核4、结论：选36c型号112.5kN52.5kN97.5kNxFs112.5158.4kNmxM第六章弯曲应力34例：截面为三块矩形截面叠加而成(胶合成一体)的梁,[τ]胶=3.4MPa，求：Fmax及此时的σmax。若截面为自由叠加，σmax的值又为多大。FZ10050解：1、确定Fmax2、确定σmax3、自由叠加时的σmaxXXFsMFF*1第六章弯曲应力35第六章弯曲应力36例：图示梁上作用有一移动荷载，已知其截面为矩形h/b=3/2，〔σ〕=10MPa，〔τ〕=3MPa，求：b、hABF=40kN解：1、按正应力确定2、按剪应力确定b=140mm；h=210mm第六章弯曲应力37y1y2Z例：图示槽型截面梁，Iz=100*106mm4，y1=200mm，y2=50mm，〔σt〕=45MPa，〔σc〕=120MPa。校核梁的强度。70kNm10kN2m2mABC解：1、画M图XM20kNm50kNm30kNm2、确定最大拉应力和最大压应力，并进行强度校核B左侧截面：M1=50kNm。下拉上压B右侧截面：M2=20kNm。上拉下压。结论：σtmax=40MPa＜〔σ〕

σcmax=100MPa＜〔σ〕第六章弯曲应力38例：图示梁，已知其截面为从圆木中截取的矩形截面，〔σ〕=10MPa，D=30mm，试：确定外荷载的最大值。AB1.5m1.5m1.5mFFCDDbhXM1.5F解：1、画M图2、确定最合理的截面尺寸3、确定外荷载的最大值第六章弯曲应力39xM-M1M2例、梁及截面如图，y2=2y1，IZC、q、L均已知，[c]=3[t]、试确定a的合理长度；如果y2=4y1，a的合理长度又是多少？AB

解：弯矩如图.

危险面的应力同时达到极限状态合理。第六章弯曲应力40如果y2=4y1，a的合理长度又是多少？4

La=xD1D2D3xM-M1M2第六章弯曲应力41§6—3提高弯曲强度的措施一、合理安排梁的受力，减小弯矩。Mmax=PL/4F/LMmax=FL/8FL/2L/2F/2Mmax=FL/8L/4L/4F/20.2LP/LMmax=FL/400.2L第六章弯曲应力42合理截面形状应该是截面面积A较小，而抗弯截面模量大的截面。二、合理安排梁的截面，提高抗弯截面模量。竖放比横放要好。1）放置位置：2）抗弯截面模量/截面面积截面形状圆形矩形槽钢工字钢第六章弯曲应力433）根据材料特性选择截面形状

对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：第六章弯曲应力44采用变截面梁，如右图：[]ssº=)()()(maxxWxMx[][]tttb5.1)(

,

bh(x)Fs1.5=maxFsxh³\£同时三、设计等强度梁。第六章弯曲应力45弯曲应力小结一、纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲。梁的横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲二、横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。梁的横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲三、纯弯曲梁横截面上的正应力公式（一）、几何方面：（二）、物理方面：难点（三）、静力方面：第六章弯曲应力46五、强度条件：⑵、对Z轴不对称的截面——四、正应力最大值的确定⑴、对Z轴对称的截面——……弯曲正应力计算公式。六、强度计算：

1、强度校核，[]ss£max；重点重点第六章弯曲应力47八、其它截面梁：1、工字型截面2、圆型截面3、薄壁圆环七、

矩形截面梁横截面上的剪应力[]

maxsMWz³[];

maxszWM£结论——对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面：2、设计截面尺寸，3、确定外核载。第六章弯曲应力48十、组合截面的弯曲梁：1、自由叠加——荷载均分，按各自的中性轴独自弯曲计算；2、胶合、铆和——按整体梁的中性轴整体弯曲计算。九、剪应力的强度计算1、强度条件：2、强度计算：⑴、校核强度，⑵、设计截面尺寸，⑶、确定外荷载。第六章弯曲应力49弯曲中心的概念＊弯曲正应力计算公式：第六章弯曲应力50弯曲中心的概念＊弯曲正应力计算公式：第六章弯曲应力51弯曲中心的概念＊弯曲正应力计算公式：第六章弯曲应力52弯曲中心的概念＊弯曲正应力计算公式：第六章弯曲应力53第六章结束第六章弯曲应力54应力第一次作业

§5–18.20.31.32

本次课作业应力第二次作业

§5–28.b,40,46

第六章弯曲应力551m4m10kN/m20kN40kN、mCBA解：1、支反力2、画内力图CA段：剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线AB段：剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为上凸的二次曲线。C、A、B截面剪力图有突变；大小为其集中力的值。A截面弯矩图有突变；大小为其集中力偶的值。Q=0处M有极值201525Q(x)x（kN）M(x)xkNm202.5m31.2520第六章弯曲应力56解：求支反力左端点A：B点左：B点右：C点左：M的驻点：C点右：右端点D：Fsxqa/2–qa/2–qa/2+qa2qaABCDxM3qa2/8qqa2/2qa2/2qa2/2FAYFDYaaa第六章弯曲应力57第三次作业：§6-14.a,b.§6-7.