第8章含耦合电感的电路

1第8章具有耦合电感元件的电路分析重点1.互感和互感电压2.互感电路的计算3.空心变压器和理想变压器28.1

交流电路中的磁耦合1.磁耦合线圈

耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件。线圈1通入电流i1时，在线圈1中产生磁通(magnetic

flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈2，这部分磁通称为互感磁通,即两线圈间存在着磁的耦合作用。+–u11+–u21i11121N1N23

当一个线圈周围无铁磁物质时，其磁链1与其i1成正比,即有

当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：注意M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，只要磁场的媒质是静止的就有M12=M212.磁链=N（1）一个线圈的情况（2）两个线圈的情况43.耦合系数k

用耦合系数k表示两个线圈磁耦合的紧密程度。它与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。当k=1称全耦合:漏磁

Fs1=Fs2=0即有

F11=F21，F22=F124.互感现象的利与弊5在一些电工设备，例如变压器中，为了更有效的传输信号或功率，总是采用极其紧密的耦合，使耦合系数k尽可能接近于1，因而一般都采用铁磁材料制成铁心，并且将输入线圈和输出线圈同心绕制。在工程上有时要尽量减小互感，以避免线圈之间信号的相互干扰，希望耦合系数k尽可能趋近于零，为此，可以采用增加屏蔽的方法，还可以合理布置这些线圈的相互位置来减少互感作用。利弊6当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。当i1、u11、u21方向与符合右手螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律：

当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。自感电压：互感电压：5.

耦合电感的电压、电流关系7当将上面（a)图中任一个线圈上的电流反向，则有8

在以上式子中，两线圈的自感磁链和互感磁链“相助”，则互感电压取正，否则取负。这表明，自感磁链和互感磁链是”相助“还是”相消”或者说互感电压的正与负取决于（1）两个线圈电流的参考方向。

注意在正弦交流电路中，上面方程的相量形式可以合并写为9存在的问题（2）两个线圈的相对位置及绕向。

在实际电路的情况下，耦合线圈往往是密封的，看不见线圈的相对位置和导线绕向，更何况在电路图中真实地绘出线圈的绕向也很不方便。解决方法

人们引入一种同名端标志，根据同名端与电流的参考方向可以非常方便地判定磁通是“相助”还是“相消”。105.互感线圈的同名端对自感电压，当u11,i1

取关联参考方向，u11

,i1与11符合右螺旋定则，其表达式为

上式说明，对于自感电压由于电压、电流为同一线圈上的，只要电压、电流参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，无需考虑线圈绕向。i1u11对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端的概念。5.1

自感电压的确定无需了解线圈绕向5.2

互感电压的确定必须了解线圈绕向

11

当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若所产生的磁通方向相同而“相助”，即磁通相互加强时，则这两个对应端子称为该两互感线圈的同名端。**5.3同名端i1i2i3△△线圈的同名端是对于两个互感线圈中的一对端子而言的，因此必须每两个线圈分别成对确定。+–u11+–u21110N1N2+–u31N3s注意125.4确定同名端的两类方法(1)

当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两个电流产生的磁场相互增强。i11'22'**11'22'3'3**例(2)

当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈对应同名端的电位升高。

（1)在线圈的绕向和相对位置已知的情况下，可以根据同名端的定义来判断;（2)对于实际的耦合电感线圈产品，同名端一般已由厂家提供，也可以通过实验方法测定。(1)根据定义判断耦合线圈的同名端13i1**u21+–Mi1**u21–+M例14i111'22'**RSV+–在如图所示的实验电路中，当开关S迅速闭合时，就有一个随时间增大的电流i1从电源正极流入线圈端子1，即在线圈1上产生了自感电压。由于di1/dt>0故1端线圈1的实际高电位。（2）耦合线圈同名端的实验测定方法由于电压表内阻无穷大，2－2’开路，线圈2中的电流为零，其上的自感电压为零，所以电压表指示为i1在线圈2上产生的互感电压。如果电压表指针正向偏转，则表明端钮2为线圈2的实际高电位端（端钮2和电压表“＋”端相连）；由此可以判断端子1和2是同名端，当然1’和2’也是同名端。这种结果用式子可以表达如下：15电压表正偏。对于黑盒线圈的应用

当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。相反，如果电压表指针反向偏转，则说明端钮2’为实际高电位端，则端钮1与2’为同名端。i111'22'**RSV+–16

有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再需要考虑它们的实际绕向了，而只要画出同名端以及电流的参考方向即可确定互感电压的正负。5.5自感电压与互感电压正负号的确定

当所设定线圈上的电压、电流为关联参考方向时，自感电压取正号，其参考方向与该元件电压参考方向相同，当所设定线圈上的电压、电流为非关联参考方向时，自感电压取负号，其参考方向与该元件电压参考方向相反。（1）自感电压正负号的确定（2）自感电压正负号的确定

当所设定两线圈上电流的参考方向均从同名端流入或流出的时，该元件的互感电压与本线圈的自感电压同符号，即两者的参考方向相同；当所设定两电感电流的参考方向从异名端流入或流出的时，该元件的互感电压与本线圈的自感电压异号，即两者的参考方向相反。概念点17i1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2M例1对于下列电路，写出其电压、电流特性方程。i1**L1L2+_u1+_u2i2M18i1**L1L2+_u1+_u2i2M19例2i1**L1L2+_u2MR1R2+_u21010i1/At/s解根据电流波形得出其表示式为根据电流i1的参考方向和同名端位置可得208.2

耦合电感的串联与并联1.

耦合线圈的串联（1）顺接串联iReqLequ+–iM**u2+–R1R2L1L2u1+–u+–去耦等效电路等效两个耦合线圈的电流均从同名端流入的串联方式称为顺接串联,其中两个电感是异名端相连。时域讨论：21（2）

反接串联互感不大于两个自感的算术平均值。iM**u2+–R1R2L1L2u1+–u+–iReqLequ+–两个耦合线圈的电流从异名端流入的串联方式称为反接串联，其中两个电感是同名端相连。等效表明因为依据磁场能量公式:W=(1/2)Li2，电感中储存的能量只能是正值，所以等效电感不能为负，故有22结论（1）顺接时两电感通过同一电流，均从同名端流入，磁场方向相同而相互增强，等效电感增大，故取正号；（2）反接时两电感通过同一电流，但从异名端流入，磁场方向相反而相互削弱，等效电感减小，故取负号；（3）互感量值的一种测量方法

耦合电感顺接和反接串联时，等效电感相差4M,因此，如果能用仪器测量实际耦合线圈顺接串联和反接串联时两电感的等效电感值，则因为

和

所以顺接一次，反接一次，就可以测出互感值，有23当全耦合时

有当L1=L2

时

,有M=L1=L2，又有4M

顺接0

反接Leq=所以对于顺接和反接有（4）同名端的一种判别方法

如果能用仪器测量出实际耦合线圈顺接串联和反接串联时两电感的等效电感值，则可以根据等效电感值较大或较小时线圈的连接情况来判断其同名端。24**+–R1R2jL1+–+–jL2jM+–正弦激励情况频域讨论：(1)顺接串联与反接串联的VCR(2)顺接串联与反接串联的相量图25**+–R1R2jL1+–+–jL2jM相量图：(a)顺接(b)反接26（1）同名端并联在以上两式中均利用i2

=i－

i1将两个方程化为以di1/dt和di/dt为变量的方程：2.

耦合线圈的并联**Mi2i1L1L2ui+–27在全耦合：L1L2=M2的情况下：（1）当L1L2

，Leq=0

(物理意义不明确)（2）当L1=L2=L

，Leq=L

(相当于导线加粗，电感不变)

由所得电压电流关系可得等效电感：Lequi+–去耦等效电路在上面二元一次方程中求出di/dt便可得出28（2）异名端并联**Mi2i1L1L2ui+–i=i1+i2采用与同名端并联的同样的推导方法解得u,i的关系为等效电感：291.耦合电感的T形去耦等效电路（1）同名端相联的T形去耦等效电路**jL1123jL2jMj(L1-M)123jMj(L2-M)等效8.3

耦合电感的去耦等效电路30**jL1123jL2jMj(L1-M)123jMj(L2-M)等效31（2）异名端相联的T形去耦等效电路**jL1123jL2jMj(L1＋M)123－jMj(L2＋M)等效32结论（1）去耦等效电路与两耦合电感上电流、电压的函数形式也即与它们的波形无关；（2）作出去耦等效电路要求两个被去耦的耦合电感至少有一端相连接，另一端连接与否则没有要求；（3）去耦等效电路与两个耦合电感上电流、电压的参考方向无关，仅取决于两个耦合电感是同名端相连还是异名端相连，分别得出它们相应的去耦等效电路。33**Mi2i1L1L2ui+–**Mi2i1L1L2u+–u+–j(L1－M)jMj(L2－M)j(L1－M)jMj(L2－M)例等效等效34**Mi2i1L1L2u1+–u2+–jL1jL2+––++–+–2.耦合电感的受控源（CCVS)去耦等效电路等效举例

对于其它各种电流、电压参考方向以及同名端标示的情况，也一样先根据原始电路列出其对应的电压、电流关系方程，再按照所列出的方程画出它相应的CCVS去耦等效电路。35

在正弦稳态情况下，含有耦合电感的电路的计算仍应用前面介绍的相量分析方法，具体说，仍是一般电路的两种分析方法。8.4

具有耦合电感电路的计算

由于耦合电感上的电压除包含自感电压外，还包括互感电压，所以含耦合电感电路的分析具有一定的特殊性。一般采用支路法和回路法计算，有时也采用节点分析法，但是由于所列的节点方程实质上是节点电流方程，不便考虑节点电压，所以，含耦合电感的电路，如果不作去耦等效，多不采用节点电压法。1.计算方法方法1：方程分析法

方法2：等效电路分析法直接对去耦等效电路再用方程法，包括戴维南等效电路分析。36列写下图电路的回路电流方程。例1MuS+C－L1L2R1R2**+－ki1i1213MuS+C－L1L2R1R2**+－ki1i1解37例2求图示电路的开路电压。M12+_+_**M23M31L1L2L3R1解法1对于左边回路列写KVL方程。其中由于右端开路，只有左边回路中有电流，所以L1和L3等效于反接串联，于是有解出38对于具有公共端接的多个耦合电感构成的线性电路，可以按照两耦合线圈的去耦原则，采用两两分别去耦等效的方法画出其去耦等效电路。M12**M23M13L1L2L3**M23M13L1–M12L2–M12L3+M12L1–M12+M23–M13L2–M12–M23+M13L3+M12–M23–M13解法2L1–M12+M23L2–M12–M23L3+M12–M23M13等效先去耦M12等效再去耦M23最后去耦M13等效39L1–M12+M23–M13L2–M12–M23+M13L3+M12–M23–M13R1+–

+_将最终去耦等效电路连接上外部电路，可得出完整等效电路为在等效电路中求出电流I1为再求出开路电压Uoc为408.5

空芯变压器**jL1jL2jM+–R1R2Z=R+jX

变压器一般是由两个或两个以上有磁场耦合的线圈构成的。其中的线圈可以分为两类，端接电源的线圈称为原边线圈或初级线圈，接向负载的线圈则称为副边线圈或次级线圈。变压器就是利用磁场耦合实现从电源或一个电路向另一个负载电路传输能量或信号。就有无铁芯而言，变压器可以分为铁芯变压器和空芯变压器两种。所谓铁芯变压器是指以铁磁性物质作为芯子的变压器，一般说来，这种变压器的电磁特性是非线性的，而所谓空芯变压器则是指以空气或其他任何非铁磁性物质作为芯子的变压器，这种变压器的电磁特性是线性的，故也称为线性变压器。1.空芯变压器的电路模型原边回路副边回路空芯变压器的相量模型以耦合电感作为线性变压器的电路模型：412.

分析方法（1）方程分析法**jL1jL2jM+–R1R2Z=R+jX令Z11=R1+jL1，Z22=(R2+R)+j(L2+X)=R22+jX22以图中两个电流I1和I2作为回路电流列写方程：解以上两个方程得到42

其中输入阻抗Zin：

或者在上式中引入原边电流I1，将副边电流I2表示为43（2）等效电路分析法+–Z11原边等效电路+–Z22副边等效电路副边等效电源为根据上面推导出的电路方程可以作出空心变压器的原副边等效电路如下引入副边对于原边的反射阻抗Zref1：44反射电阻：其中负号反映了反射电抗与副边电抗的性质相反。反射电阻恒为正,表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的。反射电抗：原边对副边的反射阻抗Zref2

：从副边等效电路图可知，副边开路时，原边电流在副边产生的互感电压UOC为+–Z22副边等效电路45反射阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边的电流、电压。从能量角度来说

:电源发出有功功率P=I12(R1+Rref1)I12R1

消耗在原边；I12Rref1

消耗在副边，由互感传输。副边消耗的功率可以说明如下：由此证明，次级回路消耗的功率与反射电阻Rref1在初级等效电路中消耗的功率是相同的。46另外，利用戴维南定理可以求得空心变压器副边的等效电路。（3）

去耦等效法分析

对于空心变压器这种用互感元件来表示的电路，可以采用去耦等效电路，变为无互感的电路，再进行分析。47已知US=20V,原边反射阻抗Zref1=10–j10。求:ZX并求负载获得的有功功率.此时负载获得的功率：实际是最佳匹配：解：**j10j10j2+–10ZX例1解+–10+j10Zref1=10–j10原边等效电路48L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20W,R2=0.08W,RL=42W,w=314rad/s,应用原边等效电路+–Z11例2**jL1jL2jM+–R1R2RL解法149应用副边等效电路：解法2+–Z2250例3全耦合互感电路如图，求电路初级端ab间的等效阻抗。**L1aM+–bL2解法1解法2画出去耦等效电路L1－M

L2－M+–

Mab51例4L1=L2=0.1mH,M=0.02mH,R1=10W,C1=C2=0.01F,问：R2=？它能吸收最大功率,并求最大功率。解1w=106rad/s,**jL1jL2jM+–R1C2R2C1应用原边等效电路+–10当即R2=40时吸收最大功率52解2应用副边等效电路+–R2当时吸收最大功率53解例5**＋－uS(t)Z100CL1L2M问Z为何值时其上获得最大功率，求出最大功率。（1）判定互感线圈的同名端。jL1R

+–

MZ**jL21/jC

54（2）作去耦等效电路j100－j20j20100j(L1-20)－＋j100100j(L1-20)－＋jL1R

+–

MZ**jL21/jC

等效等效55j100100j(L1-20)－＋＋－uocj100100j(L1-20)Zeq对图示电路应用等效原理，将感抗j(wL1-20)用与其并联的电压源代替，再用分压公式可得568.6

理想变压器1.理想变压器的条件

理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想化科学抽象，可以视为是极限情况下的耦合电感。（2）全耦合（1）无损耗绕制线圈的金属导线无任何电阻，或者说，绕制线圈的金属导线的导电率。（3）参数无穷大

以上三个条件在工程实际中永远不可能满足，但在实际制造变压器时，可以通过合理选材和改进工艺，尽可能地接近或者近似满足上述条件，从而在误差允许的范围内，把实际变压器当作理想变压器处理，可使计算过程简化。制造芯子的铁磁材料具有超导磁性即其导磁率。57i11'22'N1N22.理想变压器的特性（1）变压关系**n:1+_u1+_u2理想变压器电路模型由于全耦合：

所以有

上式中

称为主磁通，即穿越初级线圈，同时也穿越次级线圈。显而易见，如果两个电流，从异名端流入，则，主磁通将变为58**n:1+_u1+_u2理想变压器电路模型主磁通通过初、次级线圈分别产生感应电压**n:1+_u1+_u2理想变压器电路模型若理想变压器模型中的电压u1、u2一个相对同名端为“＋，另一个相对同名端为“－”，则有：59（2）变流关系考虑到M＝M21和L1的定义以及理想化条件k=1(0i1**L1L2+_u1+_u2i2Mn:1理想变压器的电路模型于是得到）,可得60若在理想变压器模型中，设定电流i1、i2一个从同名端流入，一个从异名端流入，则有：结论（1）在进行变压关系计算时，选用以上两个变压关系式中的哪一个只取决于两电压的参考方向的正负极性与同名端的相对位置，而与初、次级线圈上电流的参考方向如何设定无关；(2)在进行变流关系计算时，选用以上两个变流关系式中的哪一个只取决于两电流的参考方向的流向与同名端的相对位置，而与初、次级线圈上电压的参考方向如何设定无关；i1**L1L2+_u1+_u2i2Mn:1理想变压器的电路模型61（3）变阻抗关系**+–+–n:1Z+–n2Z（1）理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。（2）理想变压器的阻抗等效变换性质与电流、电压的参考方向以及同名端的位置无关。注意62（2）理想变压器的电气特性方程为代数关系，因此它是无记忆的四端元件。**+–n:1u1i1i2+–u2（1）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起着传递信号和能量的作用。（4）功率性质结论理想变压器吸收的功率为其两个端口吸收的功率和：即有63例1在下图的电路中，已知电源内阻RS=1k，负载电阻RL=10。为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比n。n2RL+–uSRS当

n2RL=RS时匹配，即10n2=1000n2=100，n=10.**n:1RL+–uSRS应用变阻抗性质解首先利用理想变压器的阻抗变换性质，将副边阻抗变换到原边，从而成为一个戴维南等效电路问题：64例2**+–+–1:1050+–1对以上四个方程求解可得技巧：（1）若列写KVL方程，先将理想变压器视为独立电压源列出方程，其电压大小即为理想变压器的两个端电压变量，再补充理想变压器的两个特性方程；（2）若列写KCL方程，则先将理想变压器视为独立电流源列出方程，其电流大小即为理想变压器的两个端电流变量，再补充理想变压器的两个特性方程；对电路中左右两个回路列写KVL方程可得补充理想变压器的两个特性方程又得：解方法1：方程法65方法2：利用阻抗变换等效电路+–+–1方法3：采用戴维南等效电路**+–+–1:10+–166（2）求Req：Req=1021=100（3）在戴维南等效电路中应用分压公式可求出：+–+–10050Req**1:10167例2已知图示电路的等效阻抗Zab=0.25，求理想变压器的变比n。解+–1.5+–对应用阻抗变换后所得的电路外加电源，再应用KVL可得：n=0.5orn=0.25Zab**n:11.510－+68例3求电阻R吸收的功率。解应用回路法解得123**+–+–1:10+–111R=1698.7

实际变压器的等效电路实际变压器是有损耗的，也不可能全耦合，k1，且L1，M，L2。1.理想变压器(全耦合，无损，m=线性变压器)i1**+_u1+_u2i2n:1理想变压器的电路模型时域方程频域方程主要分析方法（1）用具有互感的电路来分析计算；（2）含有理想变压器的电路模型来分析计算。70

如果将两个线圈绕在高导磁率铁磁材料制成的心子上，则可使两线圈的耦合系数k接近于1。2.全耦合变压器(k=1，无损，M，线性)2.1全耦合变压器

与理想变压器的三个理想条件对比，全耦合变压器只满足其中两个条件，参数无限大的条件不满足。（1）全耦合

同时在其工作频率不很高时，两线圈的损耗可以忽略。因此，在理想情况下，这种全耦合、无损耗的耦合线圈称为全耦合变压器。（2）无损（3）与理想变压器对比71这表明，在全耦合的情况下，有或者按下面这样推导也可得同样结果在全耦合的情况下，耦合磁通即互感磁通分别为于是有2.2全耦合变压器的匝数比与自感系数比的关系显然，对于理想变压器也有上述关系成立。722.3全耦合变压器的电压、电流关系**+–+–k=1RL1L2全耦合变压器的电路模型

在全耦合变压器的电路模型中按所标示的同名端位置及假设的电流、电压参考方向，并应用全耦合条件k=1即，列出端口伏安特性方程为：由于全耦合，所以与理想变压器具有相同的变压关系：对式（1）两端作0-t的积分，并设，可得73将关系式代入式（4）可得式（5）中式（5）表明，全耦合变压器初级电流由两部分组成，其中一部分称为空载励磁电流，它是次级开路（i2=0)时，电感L1上即初级的电流，它建立了变压器工作所需的磁场，故称为励磁电流，当L1趋于无限大时，励磁电流趋于零，全耦合变压器即成为理想变压器，可见理想变压器的电流变换关系是忽略了励磁电流的结果；另一部分是次级电流在初级上的反映，这一部分电流满足理想变压器原副边电流的变流关系。由于有励磁电流，全耦合变压器为一有记忆元件。（空载励磁电流）742.4全耦合变压器的时域电路模型将上面所得全耦合变压器端口的电压、电流关系整理为和根据以上关系便可得出全耦合变压器的等效电路模型如下**L1