激光原理与技术：第12讲 方形镜共焦腔自再现模式

激光原理与技术·原理部分第12讲方形镜共焦腔自再现模式12.1衍射积分方程及其解析解如右图所示的方形镜共焦腔，满足如下条件：则两点之间的距离为：从平平腔推导可知：由球面镜几何关系：12.1衍射积分方程及其解析解其自再现模υmn满足的积分方程为：作如下变换：12.1衍射积分方程及其解析解通过分离变量求得：寻找方形镜共焦腔自再现模的问题等价于求解这两个本征积分方程的本征值。该方程可以求出解析解：12.1衍射积分方程及其解析解将长椭球函数表达式代入本征值表达式可得：长椭球函数满足关系：该公式与衍射积分公式形式类似，其右边是角向长椭球函数的傅立叶变换，该公式说明长椭球函数的傅立叶变换等于其本身，即长椭球函数是实函数；(1)式同(2)式共同决定了矩形腔中模式的相移与损耗；以TEMmn表示共焦腔自再现模；12.2镜面上场的振幅和相位分布A、厄米-高斯近似在时，在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球函数可以表示为厄米多项式与高斯函数的乘积：其中Cm、Cn为常系数，Hm(x)为

m阶厄米多项式。

厄米多项式的最初几阶为：12.2镜面上场的振幅和相位分布当c→∞时，厄米-高斯函数是分离变量后的本征方程的本征函数；c为有限值时，只要满足条件c=2πN>>1，厄米-高斯函数仍能非常好的满足本征方程；若不满足该条件，在镜面的中心附近，仍然能够用厄米-高斯函数正确描述共焦腔模的振幅与相位分布；将长椭球函数的厄米-高斯近似带入本征方程的本征解，并且用x，y替代X，Y可以得到自再现模的表达式：其中Cmn为常系数。12.2镜面上场的振幅和相位分布B、厄米-高斯近似下的基模当m=n=0时，可以得到TEM00模的分布函数：基模振幅在镜面上的分布为高斯型，在距离中心距离为：

处，振幅降为中心处振幅的1/e。其中L为共焦腔长度，λ为激光波长，通常用半径为r的圆来规定基模光斑的半径，并定义 为共焦腔中基模在镜面上的光斑尺寸或光斑半径。光场并不局限于ω0S内，而是扩展到无穷远处，只是当r>ω0S时，光强已经很微弱。共焦腔基模在镜面上光斑的大小与反射镜的尺度无关，而只与腔长L，或共焦腔反射镜焦距f=L/2有关，但只在厄米-高斯函数近似下才成立。12.2镜面上场的振幅和相位分布例使用共焦腔的CO2激光器，若L=1m，输出波长为10.6um，则ω0S约为1.84mm； 使用共焦腔的He-Ne激光器，L=0.3m，输出波长为0.6328um，则ω0S约为0.25mm；说明共焦腔光斑半径通常很小，比反射镜尺寸小得多，因此其光场主要集中在镜面中心附近；除了1/e半径ω0S，还有另一种光斑半径的定义方式，即强度最大值的1/2处（半功率点）的光斑尺寸为ω0S’。12.2镜面上场的振幅和相位分布C、高阶横模当m、n取不同时为0的一系列整数时，为高阶横模：TEMmn在镜面上的振幅分布特点取决于厄米多项式与高斯分布函数的乘积，厄米多项式的零点决定场的节线，而厄米多项式的正负交替与高斯函数的特性决定场分布的轮廓。12.2镜面上场的振幅和相位分布12.2镜面上场的振幅和相位分布D、相位分布镜面上等相位面由υmn(x,y)的幅角决定。由于长椭球函数为实函数，则υmn(x,y)也是实函数，其幅角为0，说明镜面上各点的相位相同，即球面镜共焦腔的反射镜与自再现模的等相位面完全重合，这一结论对基模和高阶模都成立。共焦腔与平平腔的相位分布不同；12.3单程损耗共焦腔自再现模的单程损耗：通过计算可以得到不同腔的损耗，如右图所示。均匀平面波在镜面边缘的夫琅和费衍射损耗大于平平腔自再现模的衍射损耗，而平平腔的损耗大于共焦腔的衍射损耗；基模的损耗是所有模式的损耗中最少的；菲涅耳数越大，衍射损耗越小；12.3单程损耗共焦腔中各个模式的损耗与腔的具体尺寸无关，而单值地由菲涅尔数确定，TEM00模的损耗可近似按下述公式计算：He-Ne激光器采用共焦腔，L=30cm，放电管半径a=0.1cm，输出波长0.6328um，对应菲涅耳数为5.627，可以求出而如果采用平平腔，。以上例子说明当采用共焦腔时，对于通常尺寸的激光器，当N不太小时，衍射损耗可以忽略不计。当N相同时，不同的横模有不同的损耗，因此可以利用衍射损耗的差别来进行横模选择。12.4单程相移和谐振频率单程相移由本征值决定：其中除了几何相移以外，还存在一个附加相移：该相移与N无关，而是由横模的阶次决定的，这与平平腔情况不同；由谐振腔的谐振条件可得：则谐振频率为：12.4单程相移和谐振频率纵模间隔：当m、n不变时，由q变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：当q、n不变时，由m变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：当q、m不变时，由n变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：模式简并：不同的q、m、n所决定的横模处于同一个谐振频率νmnq，即使得q+(m+n+1)/2相同的各种m、n、q搭配。12.5方形镜共焦腔的行波场当镜面上的场分布能够用厄米-高斯函数来描述时，共焦腔中的行波场可以表示为：其中：Emn(x,y,z)表示TEMmn模在腔内任一点的场强，E0为常数，Amn为归一化常数；只要考虑输出镜的输出对光束没有变换作用，行波场的表达式还可推广到腔外整个空间。12.5方形镜共焦腔的行波场1、振幅分布共焦腔行波场振幅为：对基模：振幅1/e处的基模光斑半径为：该公式表示腔中不同位置处的光斑大小各不相同：基模光斑的大小随z的变化规律：即z=0处为束腰位置，ω0为束腰半径。12.5方形镜共焦腔的行波场2、模体积某一模式的模体积描述的是该模式在腔内所能扩展的空间；模体积越大，该模式在激活介质中的体积就越大，对该模式提供的增益就越大，可能输出的功率就越大；对基模，其模体积为：对高阶模，其模体积为：12.5方形镜共焦腔的行波场3、等相位面的分布腔内的相位分布由Φ(x,y,z)描述，与腔的轴线相交于z0点的等相位面的方程为Φ(0,0,z)，忽略由于z的微小变化引起的相位变化，在强的轴线附近有：上式描述的是柱坐标系中的抛物面方程式，抛物面的定点位于z=z0处，而抛物面的焦距为：在r<<2f’的范围内，即腔轴线附近，可以将其近似为球面波，与腔的轴线在z0点相交的等相位面的曲率半径