概率统计第二章

第二章随机变量的分布与数字特征2/6/20232.1随机变量及其分布随机变量概念的产生引入随机变量的意义随机变量的分类2/6/2023一、随机变量概念的产生在实际问题中，我们考察随机试验的结果发现：1、有些试验结果本身明显是数值型的例如，掷一颗骰子面上出现的点数；九月份常州的最高温度；每天在常州站下火车的人数；从宿舍走到教室所花费的时间；2/6/20232、有些试验结果表面上不是数值的下课走出教室遇到的第一人的性别;投掷硬币，令X=1表示正面，X=0表示反面。简记为r.v.(randomvariable)随量机变表示随机现象的各种结果或描述随机事件的变量。随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示，而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.2/6/2023例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高.我们可以把可能的身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于X的各种问题.如P(X>1.7)=？P(X≤1.5)=?P(1.5<X<1.7)=?随机变量具有以下两个特点：（1）在一次试验前，不能预言随机变量取什么值，它的取值决定于随机试验的结果。（2）随机变量的所有可能取值是事先知道的，而且对应于随机变量取某一数值或某一范围的概率也是确定的。特别注意：随机变量的取值或取值范围表示随机事件，随机变量X本身不是事件。

2/6/2023事件及事件概率随机变量及其取值规律引入随机变量重要意义

任何随机现象可被随机变量描述

借助微积分方法将讨论进行到底二、引入随机变量的意义2/6/2023三、随机变量的分类

通常分为两类：如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.取值不能一一列举，连续取某个区间中的一切值

这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.2/6/2023离散型随机变量2/6/2023设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是x1,x2,…。为了描述随机变量X，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率。这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律。从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2取每个值的概率为例1且2/6/2023其中(k=1,2,…)满足：

k=1,2,…（1）（2）

k=1,2,…1.定义：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称为离散型随机变量X的概率分布或分布列，有的书上也称概率函数.用这两条性质判断一个函数是否是概率分布一、离散型随机变量概率分布的定义2/6/20232.表示方法（1）列表法：（2）公式法：再看例1任取3个球X为取到的白球数X可能取的值是0,1,22/6/2023P(X=k)≥0,

2/6/2023例3：某篮球运动员投篮命中的概率是0.9，求他两次独立投篮，投中次数X的概率分布.解：

X可取0、1、2

P(X=0)=(0.1)×(0.1)=0.01P(X=1)=2×

(0.9)×(0.1)=0.18P(X=2)=(0.9)×(0.9)=0.81且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1即X的分布列为：2/6/2023一般来说,离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率.(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.2/6/2023连续型随机变量continuousrandomvariable,c.r.v.2/6/2023,使得,有1.定义对于随机变量X,如果存在非负可积函数f(x),则称X为连续型随机变量(c.r.v.),称f(x)为X的概率密度函数(pdf)，简称为概率密度或密度函数.一、连续型随机变量及其概率密度函数的定义2.概率密度函数的性质1o2of(x)xo面积为12/6/20231。密度函数f(x)在某点处a的高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.这就是“密度”的含义。2。面积与概率f(x)xo2/6/20233.连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值证：由此得，1)对连续型随机变量X,有2/6/2023因为，由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件,2)由P(A)=0,不能推出并非必然事件由P(B)=1,不能推出

B=2/6/2023例1.

设随机变量X～求(1)A;(2)P(-1/2<X≤1/2);(3)P(-3<X≤2)．解(1)

即所以A=1/πAπ=1,(2)P(-1/2<X≤1/2)==1/π(π/6+π/6)=1/3(3)P(-3<X≤2)==12/6/2023

2/6/2023分布函数(积累概率分布函数)

为了对离散型的和连续型的随机变量以及更广泛类型的随机变量给出一种统一的描述方法，我们引进了分布函数的概念.一、分布函数的定义1.定义：设X是一个随机变量，对任意的实数，随机变量X取值落入区间内的概率为称为随机变量的分布函数.2/6/2023

因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.显然，对任意2/6/2023即是右连续的。2.分布函数的性质：反之，具有上述四个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该四个性质是分布函数的充分必要性质。2/6/2023二、离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量X

的分布律是则

由于是X

取的诸值

的概率之和，故又称为累积概率函数.离散型随机变量的分布函数F(x)是一个右连续的函数,在x=xk(k=1,2…)处有跳跃值pk=P{X=xk},如右图所示2/6/2023解由定义当时,当时，当

时，故当时，例1求

。2/6/2023故下面我们从图形上来看一看。注意右连续不难看出，

的图形是阶梯状的图形，在处有跳跃，其跃度分别等于2/6/2023分布函数图概率函数图2/6/2023二.连续性随机变量c.

r.v.的分布函数即分布函数是密度函数的可变上限的定积分.若c.r.v.X的概率密度

为f(x),则(1)由上式可得，有2/6/20232/6/2023(3)P{-1<X≤2}2/6/2023

从这里我们可以看出，不管是概率分布和积累概率分布,还是概率密度函数和积累概率分布,都用不同的形式传达了相同的信息,反映了随机变量的具体分布情况.2/6/20232.3常见的离散型随机变量的概率分布(I)二点分布（0-1分布）

设E是一个只有两种可能结果的随机试验：事件A发生或者A没有发生。来源X=1,A发生0,A没有发生P（X＝1）＝p,P（X=0）=q=1－p凡试验只有两个结果,常用0–1分布描述,如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等。应用场合X表示进行一次试验事件A发生的次数。或2/6/2023

200件产品中，有196件是正品，4件是次品，今从中随机地抽取一件，若规定例4：X=1,取到正品0,取到次品则P{X=1}=196/200=0.98,P{X=0}=4/200=0.02故X服从参数为0.98的二点分布。2/6/2023例5：设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.贝努里概型和二项分布(II)我们来求X的概率分布.X的概率分布是：X可取值0,1,2,3,4.2/6/2023例6将一枚均匀骰子抛掷3次，令X表示3次中出现“4”点的次数X的概率分布是：1.定义：用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则称r.v.X服从参数为n和p的二项分布，记作X~B(n,p)2/6/2023注:贝努里概型对试验结果有下述要求：（1）每次试验条件相同；二项分布描述的是n重贝努里试验中A事件出现次数X的概率分布.（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或，且P(A)=p，；（3）各次试验相互独立.2/6/2023最有可能遇到几次红灯呢?2/6/20232.二项分布的最可能值2/6/20233.下面我们研究二项分布B(n,p)和两点分布B(1,p)之间的一个重要关系.

设试验E只有两个结果:A和。记p=P(A)，则P()=1-p，0<p<1,我们把试验E在相同条件下，相互独立地进行n次，记X为n次独立试验中结果A出现的次数。把描述第i次实验结果的随机变量记作Xi则Xi

∼B(1,p),且X1,X2,,Xn也是相互独立的(随机变量相互独立的严格定义第三章再讲)。则有X=X1+X2++Xn2/6/2023

1、泊松分布的定义及图形特点设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,且概率分布为：其中>0是常数，则称X服从参数为的泊松分布,记作X~P().(III)泊松分布(Poissondistribution)2/6/2023*泊松分布一般刻划稀有事件出现的概率Poisson分布更多地专用于研究单位时间、单位人群、单位空间内，某罕见事件发生次数的分布。理论上单位时间或单位空间内的发生数可为无穷大。1)在单位时间内来到电话交换局的电话呼唤次数2)在单位时间内来到某一路边话亭打电话的人数3)在单位时间内来到某一公共汽车站的乘客人数4)在单位时间内来到某一机场降落的飞机数5)在单位时间内某一母鸡下蛋的个数6)在单位时间内盖革-米勒计数器测到的粒子数7)在单位时间内来到某商店的顾客人数8)在单位时间内来到某商店某柜台的顾客人数9)纺织厂生产的一批布上疵点的个数Poisson分布发展成为描述小概率事件出现规律性的一种重要的离散型分布。2/6/2023易见•泊松分布的图形特点：X~P()2/6/2023

某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次数X服从参数=3的泊松分布.求：(1)一分钟内恰好收到3次寻呼的概率.(2)一分钟内收到2至5次寻呼的概率.

例8：解:

(1)P{X=3}=(33/3!)e-3≈0.2240(2)P{2≤X≤5}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3≈0.71692/6/2023

某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为0.8的泊松分布.求:该城市一天内发生3次以上火灾的概率.解:例9

P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}]=1-[(0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)]e-0.8≈0.04742/6/2023对于二项分布B(n,p),当n充分大，p又很小时,则对任意固定的非负整数k，有近似公式历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的.2、二项分布与泊松分布命题Poisson定理设r.v.，，设(当)，则对固定的非负整数，有2/6/2023例10某种药品的过敏反应率为0.0001，今有20000人使用此药品，求20000人中发生过敏反应的人数不超过3的概率。解以表示20000人中发生过敏反应的人数，则服从二项分布，所求的概率为：2/6/2023如果利用近似公式计算，可以得到：，且比较两个结果可以看到，近似程度是很高的。2/6/2023(Ⅳ)几何分布2/6/2023(Ⅴ)超几何分布引例：某班有学生20名，其中5名女同学，今从班上任选4名学生去参观世博，被选到的女同学数X是一个随机变量，求X的分布。解:X可以取0，1，2，3，4。定义：设N个元素分为两类，有个属于第一类，个属于第二类()。从中按不重复抽取n个，X表示这n个中第一类元素的个数。则X的分布称为超几何分布。其概率函数为2/6/2023常见的连续型随机变量1.均匀分布(Uniformdistribution)它用来描述一个随机变量再一个区间上取每一个值的等可能性均等的分布规律。[a,b]区间上的均匀分布是该区间上每一点的概率密度相同，即取值落在该区间中每个子区间上的概率与子区间的长度成正比。2/6/2023若连续型随机变量X的pdf为：则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，记作：X～U[a,b]（注：X～U（a,b））2/6/2023均匀分布常见于下列情形：

如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。2/6/2023则称X服从参数为λ的指数分布,记为X~E(λ)(λ>0).若随机变量X的概率密度函数为概率密度曲线如图:xf(x)注

指数分布常用作电子产品“寿命”分布，研究系统可靠性问题。2.指数分布（exponentialdistribution）2/6/20232/6/20232/6/2023正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯分布。德莫佛德莫佛（DeMoivre)最早发现了正态分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。3、正态分布(normaldistribution)2/6/2023德国马克10元上高斯头像和正态分布的密度曲线。2/6/2023I、正态分布的定义若连续型随机变量X的概率密度为记作f(x)所确定的曲线叫作正态曲线。其中和都是常数，任意，>0，则称X服从参数为和的正态分布。2/6/2023II、正态分布的图形特点正态分布的密度曲线是一关于对称的钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左右对称”。1).决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度。固定σ固定2/6/20232).f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大值:

这说明曲线f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线。3).当x→∞时，f(x)→0,4).用求导的方法可以证明:为f(x)的两个拐点的横坐标。x=μ

σ2/6/2023Ⅲ.可以证明证明：作变量代换左边2/6/2023化为极坐标其中2/6/2023实例年降雨量问题我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。2/6/2023在现实中，许多随机现象可以用正态分布或近似的正态分布来刻画。如在生产中，在生产条件不变的前提下，各种产品的某些量度(如建筑材料的抗压强度、细沙的强力、电灯泡的使用寿命、零件的尺寸等)一般都服从正态分布；在生物学中，同一种群的某种特征(像身高、体重等)一般也服从正态分布；在自然科学中，热力学中理想气体分子的速度分量，射击时命中位置目标沿某个坐标轴的偏差，测量同一物体的测量误差，考试成绩等都服从或近似服从正态分布。2/6/2023Ⅳ、标准正态分布其密度函数和分布函数常用

表示：2/6/2023它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.根据定理1，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,则~N(0,1)设定理12/6/2023设X~,则X的分布函数是三、正态分布的概率计算2/6/2023(一)、标准正态分布的概率计算其密度函数和分布函数常用

和

表示：若X～N(0,1),2/6/2023书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.表中给的是x>0时,Φ(x)的值.当-x<0时P(|X|<a)=2Φ(a)-1.2/6/2023例6设，计算：解2/6/2023标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.

根据定理1就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,则~N(0,1)设定理1(二)、一般正态分布的概率计算若~N(0,1)2/6/2023将上述结论推广到一般的正态分布,时，则可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间内.这在统计学上称作“3准则”（三倍标准差原则）.当X～N(0,1)时，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内2/6/2023例7设求与。所以解：2/6/2023例8设，计算：解2/6/2023

例9（1）假设某地区成年男性的身高（单位：cm）X～N(170,7.692)，求该地区成年男性的身高超过175cm的概率。解:(1)根据假设X～N(170,7.692)，则故事件{X>175}的概率为P{X>175}==0.2578（2）公交车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定?2/6/2023(2)设车门高度为hcm,按设计要求P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面我们来求满足上式的最小的

h.因为X～N(170,7.692),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即h=170+17.92188设计车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.2/6/2023背景

前面我们介绍了随机变量的分布函数，分布函数全面地刻画了随机变量的全部概率性质。但在实际问题中，我们往往只需要了解随机变量的主要特点，并不要求知道整个分布的所有细节。2/6/20232.2随机变量的数字特征4.1数学期望4.2方差2/6/2023数学期望引例1人寿保险经纪人说，在美国40岁的妇女可期望再活38年。引例2

某教练员培养了甲、乙两射手运动员，需要选拔其中一名参加运动会，现两选手各向目标靶射击十枪，二人命中的情况分别为：（单位：环）甲乙9810899898967910109108910试问该挑选谁去参加比赛？2/6/2023对于甲选手，命中环数的平均值为对于乙选手，命中环数的平均值为2/6/2023引例3设某离散型随机变量X的分布列为如果对随机变量进行N次随机取值，问这N个值的平均值应是多少？（假设N相当大）解：X123以概率为权的加权平均数2/6/2023若级数绝对收敛（即收敛），则称级数的和为随机变量的数学期望（也称期望或均值），记为。一、离散型随机变量的数学期望定义1设离散型随机变量的分布为注：①如果不绝对收敛，则随机变量X的数学期望不存在。即②是个实数而非变量，是一种加权平均。2/6/2023例如:你以10%的利率借给你的朋友100元一年,到时若你朋友将钱还给你，那么你能拿到110元（100元的本金+10元的利息），但是有1%的可能是你朋友不还钱，那么你一分钱也拿不到。因此还款额是一随机变量，求还款的期望值是多少？解：110×0.99+0×0.01=108.9多次这样的借还过程中，平均而言，你将拿到的还款额是108.9元。2/6/2023二、常见分布的数学期望例1（0-1分布）设随机变量服从0-1分布，求。解：2/6/2023例2（泊松分布）设随机变量，求。解：2/6/2023例3（二项分布）设随机变量,求。2/6/2023

例4假设你的阿姨是一所大学的人事处处长，她答应提供你一份暑期工作，但现在还不能肯定能提供的确切职位，她给出了下列估计：问你能期望的暑期工资为多少？2/6/2023其数学期望为二、连续型随机变量的数学期望由于与很接近，所以区间中的值可用来近似，因此X近似于一个离散型随机变量。

设连续型随机变量的概率密度函为，将取值范围用点x0

<x1<x2<…分为若干小区间，则落在小区间内的概率是2/6/2023由此启发我们引进如下定义：定义2设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),如果有限，则定义X的数学期望为也就是说，连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。2/6/2023解：由于均匀分布的概率密度函数为例5（均匀分布）设随机变量在区间上服从均匀分布，求。正好是区间的中点。2/6/2023解：由于正态分布的概率密度函数为例6（正态分布），求。2/6/2023因此，顾客平均等待5分钟就可得到服务。例7（指数分布）设顾客在某银行的窗口等待服务时间（以分钟计）服从指数分布，其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间？解:2/6/2023注：数学期望不一定存在。

如:随机变量取值为时,对应的概率为级数但是所以，EX不存在。是发散的。2/6/2023注：数学期望不一定存在。

如:随机变量服从柯西分布,概率密度为2/6/2023下面的定理给出了肯定的答案。设随机变量的分布已知，如何计算的某个函数的数学期望呢？一种方法：也是随机变量，它的分布可以由已知的的分布求出来，从而按照期望定义计算出

是否可以不先求出的分布而只根据的分布求出呢？三随机变量函数的数学期望2/6/2023（1）若为离散型随机变量，其概率分布为且绝对收敛，则定理1设为随机变量的函数，这里为连续的实值函数，（2）若为连续型随机变量，其密度函数为且绝对收敛，则2/6/2023例8设离散型随机变量X的分布列为

X-1023试计算：和。解：2/6/2023已知X

的概率密度为例9已知X

服从上的均匀分布，计算的数学期望。解则所求的数学期望为：2/6/2023四、数学期望的性质如果X、Y是两个随机变量，C为任意常数，且都存在，则数学期望有以下四条常见的性质。2/6/2023

中心中心如:甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙较好因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.方差2/6/2023方差2/6/2023

容易算得，二人击中环数的平均值都是8.8环，现问，甲、乙二人哪一个水平发挥的更稳定？甲981089889109乙67910109108910直观的理解，二选手中哪一个击中的环数偏离平均值越少，这个选手发挥的更稳定假设甲乙两射手各发十枪，击中目标靶的环数分别为2/6/2023一些。为此我们利用二人每枪击中的环数距平均值的偏差的均值来比较。为了防止偏差和的计算中出现正、负偏差相抵的情况，应由偏差的绝对值之和求平均更合适。对于甲选手，偏差绝对值之和为：2/6/2023对乙选手，容易算得偏差绝对值之和为10.8环，所以甲、乙二人平均每枪偏离平均值为0.64环和1.08环，因而可以说，甲选手水平发挥更稳定些。类似的，为了避免运算式中出现绝对值符号。我们也可以采用偏差平方的平均值进行比较。2/6/2023为此我们引入以下定义：定义对随机变量X，如果数学期望存在，且的数学期望也存在，则称的值为随机变量X

的方差，记为由前面的例子容易理解，方差反映了随机变量取值相对于均值的分散程度，即反映X取值的稳定性。2/6/2023应当注意，对随机变量X而言，其数学期望是一常数，而与是随机变量，利用数学期望的性质可得2/6/2023即。这是方差运算中一个常用的公式。考虑到方差的单位难以解释，我们称方差的平方根为随机变量X的标准差或均方差，记为即：2/6/2023X为d.r.v,P{X=xk}=pk方差是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望X为c.r.v，X~f(x)D(X)=E(X2)-[E(X)]2

常用此公式计算常见分布的方差.计算方差的一个简化公式总结方差的计算方法:2/6/2023求:D(X)解:例1:

设连续型随机变量X的密度函数f(x)为2/6/2023服从0—1分布的随机变量X，分布列为求X的方差。已知而且则X的方差为解2/6/2023泊松分布:

X∼P()其中>0∴D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2+-2=2/6/2023对服从[a，b]区间上均匀分布的随机变量X，计算已知，且解2/6/2023从而2/6/2023指数分布2/6/2023例:已知求由方差的定义可得解作代换则2/6/2023由此可知，正态分布的两个参数和分别表示随机变量X的均值和方差。2/6/2023关于方差的性质，常见的有以下几条：2/6/2023证明2/6/2023例2设随机变量X的期望E（X）和方差D（X）都存在，则称为X的标准化随机变量，试求和注意到均为常数，再由期望及方差的性质可得：解2/6/2023可见，标准化随机变量的期望是0，方差是1。因此，把随机变量标准化，可以使所讨2/6/2023论的问题变得较简单，这种处理问题的方法在概率与数理统计中时有应用。例如，随机变量X服从正态分布