交通系统模拟

交通运输系统模拟

2009年4月任课教师蒋熙第三章随机变量的计算机模拟伪随机数及其生成离散型随机变量的模拟连续型随机变量的模拟3.1伪随机数及其生成随机变量模拟的基本思想

伪随机数的产生与测试3.1.1随机变量模拟的基本思想目标：已知系统中某个事件A或某状态变量(随机变量)X的概率特性，通过便于模拟的概率模型在计算机上获取该事件A或随机变量X的一列样本；做法：根据问题的需要引入一个与X有关的随机变量，这个随机变量的分布是已确定的，并且与X的关系可以通过数值计算与逻辑判断来表述。3.1.1随机变量模拟的基本思想在计算机上以某种方法产生具有该给定分布的随机变量的一系列样本值(抽样值)；依据模拟模型的特性对这些样本值进行数学处理(实施数值计算与逻辑判断)后，最终获得X的一列样本值x1，x２，……。构造模型X=F(η,u…)数学处理ηU...η1,η2,…μμ...N样本值x1，x2，…真实实验抽样随机变量模拟的基本过程3.1.2、伪随机数的产生与测试

根据随机变量模拟的基本原理，需选择一个基本的随机变量，其分布易于确定－－一、伪随机数的产生

IIDU(0，1)，均匀分布随机变量IIDU(0，1)随机数是最基本的随机数，通过对它进行适当变换，就可以得到任意分布的其它随机变量。3.1.2、伪随机数的产生与测试

在计算机上获取IIDU(0，1)抽样值的方式分三类：利用专门的随机数表以供计算时使用。用物理方法产生随机数，在计算机上附加某些设备，如电子噪声发生器、放射源激励计算器等获得。用数学方法产生随机数，应用计算机程序来产生(0，1)均匀分布随机数，即采用某种确定的规则，通过递推计算产生随机数序列－－伪随机数。1.获取IIDU(0，1)随机数的方式3.1.2、伪随机数的产生与测试具有较好的随机性与均匀性产生伪随机数的速度快占用计算机内存尽可能少一批随机数的循环周期尽可能长2.用计算机程序产生伪随机数的要求3.1.2、伪随机数的产生与测试1)平方取中法基本思想：任取一个N位整数作为初值，将其作平方，得到一个2N位整数（不够2N位在高位补0），再取中间N位作为第一个随机数，又将该随机数平方，补齐2N位，取中间N位得到下一个随机数，依此类推。3.伪随机数的产生算法例：X0=2152x02=04631104x1=6311x12=39829721x2=8287x22=68674396x3=6743…3.1.2、伪随机数的产生与测试平方取中法简单，但周期较短，产生的伪随机数的统计性质欠佳，若初值选取不当，还会产生退化现象，如：例：X0=4500x02=20250000x1=2500x12=06250000x2=…3.1.2、伪随机数的产生与测试2)乘法线性同余法

xi+1=aximodmui+1=xi＋1/ma:乘子,8k±3接近2p/2（p=机器位数-1）x0:种子,不应为2的整倍数m:模，2p－13.1.2、伪随机数的产生与测试为保证模拟的精度，通常需要对产生伪随机数的发生器(标准函数)进行测试，以确定所产生的伪随机数和IIDU(0，1)随机变量的类似程度。测试随机数发生器最直接的途径是用它产生一系列的伪随机数Ui，然后对该随机数序列进行统计测试，检验其和IIDU(0，1)随机变量的类似程度。二、伪随机数的测试

3.1.2、伪随机数的产生与测试х2检验产生n个伪随机数，并把〔0，1〕划分为k个等长的子区间，计算每个子区间所包含的伪随机数的个数。设fj为第j个子区间伪随机数的个数，并且令那么对于充分大的n，在零假设下近似地具有k－1个自由度的х2分布。于是，如果х2>х2α(k－１)，在α水平将舍弃这种假设，即否认Ui均匀分布于0和1之间。

1．均衡性测试

3.1.2、伪随机数的产生与测试1)上行测试法（1）对伪随机数序列按顺序自小到大上行划界，逐一分组，并计算各组的上行长度lj，j为组序；（2）分别计算上行长度lj＝1，2，3，4，5及lj≥6的分组数rj(j＝1，2，…，6)（3）计算统计值：（4）

检查R≤х2α(6)成立否，若成立则该伪随机数发生器在α水平满足独立性要求，否则拒绝接受独立性假设。

2.独立性测试

3.1.2、伪随机数的产生与测试2)相关系数测试法产生n个伪随机数ui(i＝1，2，…，n)，可计算前后相隔为j个数的相关系数之均值，即：式中：若n－j充分大(＞50)，则统计量

R=渐近服从标准正态分布。此时，给定显著度α，记Z1-α为标准正态分布N（0，1）的上1－α临界点，若｜R｜≤Z1-α成立，则接受独立性假设，反之拒绝独立性假设。

3.2离散型随机变量的模拟3.2.1随机事件的模拟简单事件的模拟完备事件列的模拟3.2.2离散型随机变量的模拟离散型随机变量的一般模拟方法几何分布随机变量的模拟二项分布随机变量的模拟泊松分布随机变量的模拟1)简单事件的模拟随机事件A与均匀分布随机变量U之间的联系：

P(U≤p)=p=P(A)即：事件U≤p发生的概率与事件A发生概率相等。模拟事件A在一次实验中是否发生就转化为判断U≤p是否成立：

IfU≤p

则A发生

Else则A不发生关键在于：寻找与U相关的等概率事件3.2.1随机事件的模拟构造模型B=“U≤p”数学处理判断u≤p？U

μ

AA发生A不发生抽样随机事件模拟示意图简单事件模拟举例硬币实验：小王用扔硬币决定是否去看电影，若正面朝上则去，否则不去。则正面朝上事件A是否发生的模拟模型可表示为：产生伪随机数u，判断u的取值：

Ifu<=0.5则事件A发生（正面朝上）

Else则事件A不发生2)完备事件列的模拟1)完备事件列概念设有互斥的随机事件序列A0,A1,…An,（1）Ai∩Aj＝φ（i≠j）（2）P(Ai)=pi并有3.2.1随机事件的模拟则称此事件序列构成一互不相容事件的完备群(简称完备事件列)。3.2.1随机事件的模拟可设计为一个新的事件列B0、B1、……，其中有：这种构造形式的合理性可由如下等式看出：随机事件序列A0,A1,…An,与均匀分布随机变量U之间的联系：

3.2.1随机事件的模拟3.2.1随机事件的模拟完备事件列模拟过程：3.2.1随机事件的模拟2)完备事件列模拟的具体做法要判断是哪个事件Bi发生，可通过如下数学处理来进行：（1）将(0，1)区间划分成若干个小区间，各小区间的分界点坐标依次为L0、L1、…Ln，使Lj＝于是小区间Ai＝(Li-1，Li)之长度即为pi。（2）抽取伪随机数u，并观察u在(0，1)区间中所落之位置。若u落在子区间Ai＝(Li-1，Li)内，即满足条件Li-1＜u≤Li或则根据事件Bi的定义有Bi＝可认为在一次模拟试验中某事件Bi发生了，从而也就认为在该次试验中对应事件Ai发生。

3.2.1随机事件的模拟完备事件列抽样流程：3.2.2离散型随机变量的模拟离散型随机变量的模拟可以转化为完备事件列的模拟（Ai=“X=xi”），其一般模拟模型可以抽象为：P(X=xi)=pi，i=0,1,2,…,n1)离散型随机变量的一般模拟方法此模型的适用条件：每个可能的取值及取值概率已知或可以求出。3.2.2离散型随机变量的模拟离散型随机变量模拟举例掷骰子实验：取伪随机数u,则一次实验中骰子点数x取值的模拟模型为：几何分布：P(X=k)=qk-1p,k=1,2……n，

p+q=1几何分布随机变量模拟模型：贝努利实验模型几何分布随机变量X与与均匀分布随机变量U之间的联系：

X的取值可以看成是贝努利实验中事件A首次发生的实验次数。3.2.2离散型随机变量的模拟2)几何分布随机变量的模拟3.2.2离散型随机变量的模拟几何分布抽样流程图：Y3.2.2离散型随机变量的模拟二项分布：P(X=k)=Cnkpkqn-k

，

k=1,2……n，p+q=1二项分布随机变量模拟模型：N重贝努利实验模型二项分布随机变量X与与均匀分布随机变量U之间的联系：

X的取值可以看成是N重贝努利实验中事件A发生的总实验次数。贝努利实验的基础是简单事件，是简单事件的重复实验。3)二项分布随机变量的模拟3.2.2离散型随机变量的模拟N重贝努