《工程光学》物理光学参考问题详解3

实用文档物理光学作业参考答案[13-1] 波长 500nm的单色光垂直入射到边长 3cm的方孔，在光轴（它通过孔中心并垂直孔平面）附近离孔 z处观察衍射，试求出夫琅和费衍射区的大致范围。解：夫琅和费衍射条件为：(x12y12)maxk2z即：z(x12y12)max(15106)2(15106)20.91012nm900m500[13-3] 平行光斜入射到单缝上，证明： （1）单缝夫琅和费衍射强度公式为2II0sin[a(sinsini)]asini)(sin式中，I0是中央亮纹中心强度； a是缝宽； 是衍射角， i是入射角（见图）。证明：（1）建立如图所示坐标系，则入射光的波矢：XX1k k(sini,0,cosi)缝上任意点 Q的位矢：r (x1,y1,0) i

Q

P单逢上光场的复振幅为：~ikrAeiksinix1E(x1)Ae因此，观察面上的夫琅和费衍射场为：E(x)1ik(zx2)aE(x1)eikxxdx1xsin）e12z1az1z~2~1iz12Aik(z1x2)a2z12iksinix1eiksinx1dx1iz1eae2Aik(zx2)aie12z1a2eik(sinsini)x1dx1z12ik(zx2)sin[asini)]A2z1(sinaez1asini)(sin实用文档所以，观察面上的光强分布为：~~*sin[a(sinsini)]}2IE(x)E(x)I0{a(sinsini)式中：I0(Aa)2z1（2）第一暗点位置：a(sin sini)sin siniai i2cos sin2 2 aiacosi[13-4] 在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为 1.5mm，所用透镜的焦距为30mm，光波波长为632.8nm。问细丝直径是多少？解：根据互补屏衍射原理，不透明细丝的夫琅和费衍射图样与相同宽度单缝的夫琅和费衍射图样除中心点之外是相同的，而衍射图样中暗条纹的间距等于中央亮纹宽度的一半，因此，有：xffaaf632.8106301.2656102mm0.013mmx1.5即细丝直径是0.013mm.[13-6]导出外径和内径分别为a和b的圆环（见图）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当b=a/2时，（1）圆环衍射与半径为a的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。（注：Z13.144）解：半径为a的圆孔在衍射场P点产生的振幅为：EaE02J1(ka)ca22J1(ka)kaka其中c为比例系数，因为场中心振幅E0正比于圆孔的面积a2。圆孔中的圆屏使P点的振幅减小：实用文档Eb cb22J1(kb)kb因此，圆环在 P点产生的振幅为：EhEaEb2c[a2J1(ka)b2J1(kb)]kakb圆环在P点产生的强度为：22IhEh24c2a4J1(Z1)b4J1(Z2)2a2b2J1(Z1)J1(Z2)Z1Z2Z1Z2式中，Z1ka,Z2kb。对于衍射场中心，Z1Z20，相应的强度为：(Ih)04c2a4b4a2b2c2(a22)2442b当b=a/2时，229c2a4（1）(Ih)0c2a2a216所以，圆环衍射与半径为a的圆孔衍射图样的中心强度之比：Ih9c2a40169Ia0c2a416（2）圆环衍射强度的第一个零值满足:a2J1(ka)b2J1(kb)0kakb即aJ1(ka)bJ1(kb)aJ1(1ka)22利用贝塞耳函数表解上方程，得到：Z1 ka 3.144因此，圆环衍射强度的第一个零点的角半径为：3.1440.512aa[13-7]不透明屏幕上有一孔径，用一个向P点会聚的球面波照明，P点位于孔径后面与孔径相距z的平行平面上，如图所示。(1)求出孔径平面上入射球面波的傍轴近似，设P点分别位于Z轴上和轴外(0，y1)点两种情形。假设孔径面到观察面之间为菲涅耳衍射区，证明在上述两种情形下，观察到的强度分布是孔径的夫琅和费衍射，且分布中心在P点。实用文档解：（1）孔径 平面上任意考察点~ AE(y0) er

(0,y0) 处光场的复振幅分布为：ikr Aeikrzk为波数。对相位因子中的 r取傍轴近似：r(y1y0)2z2z[1(y1y0)2]则复振幅分布：2z2~Aeikzexp{ik(y12}E(y0)zy0)2z当P点位于z轴上时，y10，则有：~Aikzk2E(y0)zeexp(i2zy0)（2）入射球面波被孔径衍射后，在观察面上复振幅分布为：~1ikz~iky0)2}dy0E(y)izeE(y0)exp{(y2z1Aiky)2k)2(y0i(yyeikzikze1e2z0dy0ize2zzAik(y2y2)ik(yy)y0e2z1ez1dy0iz2此结果表明，观察面上复振幅分布~(y)就是平行光垂直照射孔径的夫琅和费衍射场分E布，只不过分布的中心在(0,y1)点处，即P点处。当P点位于z轴上时，y10，此时只是上述情况的特例：~1ikz~ik(yy0)2}dy0E(y)zeE(y0)exp{i2z1eikzAeikziky2k(yy)2iie2z0e2z0dy0zziky2ikyy0dy0iA2e2zezz实用文档[13-12]一台显微镜的数值孔径为0.85，问(1)它用于波长为400nm时的最小分辨距离是多少?(2)若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45，分辨率提高了多少倍?(3)显微镜的放大率应设计成多大?(设人眼的最小分辨角为1')。解：（1）0.610.61400nm显微镜的分辨率为：NA0.85287（2）数值孔径增大后显微镜的分辨率为：'0.610.61400nmNA2871.45所以，分辨率提高了：1.7倍'168（3）人眼的明视距离为250mm，所以人眼的最小分辨距离为：0250106172700nm60180所以显微镜的放大率应设计成：0'

72700168

430倍[13-15]光栅的宽度为l0cm，每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为500mm。问(1)它产生的波长632.8nm的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少?(2)若入射光是波长为632.8nm和波长之相差0.5nm的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少?解：（1）光栅常数d10.2102mm500光栅总缝数Nw1005104d0.2102光栅的角半宽度：Ndcosmwcosm光栅产生的m级谱线的峰值强度位置由光栅方程确定：dsinmm所以，波长632.8nm的单色光的1级和2级谱线的方向：1sin1sin1632.810618.433d0.21022sin12sin12632.810639.2d0.2102因此，波长632.8nm的单色光的1级和2级谱线的半宽度是：x1f632.81065006.671065003.34103mm100cos1实用文档x2f632.81065008.171065004.09103mm100cos2（2）光栅的线色散为：dlmfddcosm波长632.8nm的单色光的1级和2级谱线相应的线色散为：dlmf1500mm0.26mm/nmddcos10.21012106nmcos18.433dlmf2500mm0.64mm/nmddcos20.2102106nmcos39.22而波长差0.5nm的两种单色光的1级和2级谱线之间的距离为：l1

dl

0.26 0.5 0.13mmd

1l2

dld

0.64 0.5 0.32mm2[13-16]设计一块光栅，要求(1)使波长=600nm的第2级谱线的衍射角30，(2)色散尽可能大，(3)第3级谱线缺级，(4)在波长=600nm的2级谱线处能分辨0.02nm的波长差。在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm的几条谱线?解：为达到条件（1），光栅必须满足：dm2600106mm2.4103mmsinsin30根据条件（2），应选择d尽可能小，故d2.4103mm根据条件（3），光栅缝宽a应为：ad0.8103mm3再根据条件（4），光栅的缝数N至少应有：N60015000m20.02所以，光栅的总宽度W至少为：WNd150002.4103mm36mm光栅产生的谱线应在90的范围内，当90时：dsin2.4103mm4m600106mm实用文档第4级谱线对应于90方向，实际上不可能看到，此外第3级缺级，所以，只能看见0,1,2共5条谱线。[13-19]解：方法一：把每两条缝宽为a，间隔d'2a的双缝看作一个衍射单元，整个衍射屏由间距d6a的N个这样的衍射单元组成。则单元衍射因子为:~~sinsinE1()E0sin2其中：asin2d'sin22asin4所以，~()~sinsin4~sinE1E0sin22E0cos2N个衍射单元的干涉因子为：N'~sin()2E2'sin2其中：'2dsin26asin12所以，sin6NE2()sin6最终，得到整个衍射屏产生的夫琅和费衍射场的复振幅为：~)~~()~sinsin6NE(E1()E22E0cos2sin6故，整个衍射屏产生的夫琅和费衍射场的强度分布为：~~*sin22I()4I0cos2sin6NE()Esin6其中，I0~~E0E0为单缝衍射零级主强度。方法二：分别把N条奇数缝与 N条偶数缝看作二个相同的衍射单元。是由间距d 2a的两个