2023年经济数学基础作业二讲评

《经济数学基础》作业（二）讲评（一）填空题1.若,则.答案：分析:本题重要是考察原函数的概念，由不定积分知，f(x）是F（x)的导数，而Ｆ（Ｘ)是f(x)的一个原函数,所以,已知ｆ(x)求其原函数是对f(x)求积分,已知F(x)求f(ｘ),是对等式右端求导数。对的解答：2..答案：解：分析:本题重要考察导数(微分)与不定积分互为逆运算的性质。也许出现的错误：①，没有用性质进行求解。②，注意,我们的性质是先积分后求导结果为一个函数,即被积函数，先求导再积分结果为无穷多函数,即被积函数加任意常数C。分析:本题重要考察不定积分是函数，其相应关系可当作另一方面考察凑微分这里的，本题也是2023年1月的考题。思考一下,下面的例题结果是怎么求出的？4.设函数．答案：0分析:定积分是拟定的数值,所以对定积分求导数，结果为０。也许出现的错误：①计算定积分。当然能做，但计算量要大的多，其结果还是0,所以要明白定积分的结果是“数值”,而常数的导数为0.②，将不定积分的性质用到这里。③5.若，则.答案:分析：本题重要考察变上限定积分的概念,即变上限定积分结果是被积函数的原函数,所以，对变上限定积分求导数结果应是被积函数再乘以上限的导数。同时,应注意:互换积分上下限,其结果应变号。(二）单项选择题１.下列函数中,（）是xｓinx２的原函数．A．coｓx2Ｂ.２cosx2C．-2cosx2D.-cosx2答案：Ｄ分析:这道题目是求四个被选函数哪个是的原函数，即哪个函数的导数为。对的解答：由于，所以是的原函数,即答案D对的。选择A，错误；由于；选择B,错误；由于;选择C，错误；由于；2.下列等式成立的是（）.Ａ. Ｂ． C.ﻩD．答案:C分析：本题重要考察的是一些常见凑微分的类型:故意识记住以上类型，对下面的作业题（不定积分的计算)就容易掌握了。3.下列不定积分中，常用分部积分法计算的是(）．Ａ.,B.C.D.答案:C分析：A,B，Ｄ都是凑微分(第一换元法），对这种常见且基本的积分计算题要纯熟掌握,是考试的重点而C是分部积分，同样,对这种常见且基本的积分计算题要纯熟掌握，被积函数是幂函数与三角函数乘积的积分、幂函数与指数函数乘积的积分、幂函数与对数函数乘积的积分是考试的重点４．下列定积分计算对的的是(）．A.B．Ｃ．D．答案：D分析：由定积分的几何意义我们有重要推论：奇函数在对称区间的定积分结果为0，故D对。5.下列无穷积分中收敛的是()．Ａ．B．C.D.答案:B分析:运用无穷积分的定义计算。对的解答：，收敛。所以Ｂ对的。请记住结论：(1),当收敛,当时发散;(2)和，，发散;(3）当发散,收敛;当发散,收敛。假如可以记住上述结论,就可以直接判断而免去计算。(三)解答题1.计算下列不定积分分析：纯熟掌握基本积分公式是学好这部分内容的基础,且要注意把公式中的x当成u来背，纯熟掌握基本积分方法：直接积分法（用公式和性质);第一换元法(凑微分）;分部积分法。(１）答案:分析:将被积函数变形为,运用积分公式求解，这里.,对的解法:（运用对数的性质,也许出现的错误:①不能将被积函数当作为，因此不知用什么公式求积分;②；③用错公式，.(２)答案：分析:注意运用不定积分性质去做,即分项积分最简朴，这里还要注意把，计算速度就会加快。(3)答案：(4)答案：分析：这是一个复合函数的积分计算,采用的方法是凑微分法．这里，则,于是，代入积分式中进行换元,再对直接用公式求积分.对的解法:==也许出现的错误:①不能对的地找出微分因子;②用错积分公式，如==（5）答案：（6）答案:（7）答案:(8）答案:分析：这是用分部积分法计算积分的题目,且注意这里用到了“在分子加1减1”的技巧。２．计算下列定积分(1)答案:解:=＝=.分析：注意到被积函数是一个带有绝对值的函数,积分时必须把绝对值符号去掉,根据绝对值函数的定义，就要看看在积分区间是否有变号(即由正变负或由负变正）的情况.由于，即是使函数改变符号的点，因此运用积分区间的可加性此定积分分为两个积分的和,即=也许发生的错误：①=，这是将等同于,需要指出的是，定积分中的积分变量是与积分区间有关的，积分区间的不同，也许被积函数的表达式就不同,此题就是一个典型的例子;②计算错误.（２)答案：(3）答案:２分析：这是一个换元积分法求积分的题目，其中，，设法将积分函数变为，然后对求积分即可.(此法没有换元，所以就不用换限）方法二：换元换限,令,当时,当时，于是＝注意，①定积分的换元积分法进行计算时,换元一定要换限,积分变量要和自己的积分限相相应，此题中,变量的区间是,而变量的积分区间是.②在换元换限时,新积分变量的上限相应于旧积分变量的上限,新积分变量的下限相应于旧积分变量的下限,当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到本来变量求值．也许出现的错误:①换元不换限;②计算错误，如，对的的是：；③公式用错,没有把视为.(４)答案:解：=分析：这是用分部积分法计算积分的题目,且,得出.也许出现的错误:①由得出,注意是的一个原函数,当你写出时，规定导，验证一下是否对的.②三角函数值计记错;对的的是,；（5）答案:分析：这是幂函数与对数函数乘积