2022年高考数学一轮复习 抛物线（精讲）（解析版）

9.5抛物线（精讲）思维导图思维导图常见考法常见考法考法一抛物线的定义及运用【例1】（1）（2021·全国高三专题练习（理））设抛物线：的焦点为，为坐标原点，是上一点.若，则（）A． B．5 C． D．（2）．（2021·全国高三（理））已知抛物线的准线为，点是抛物线上的动点，直线的方程为，过点分别作，垂足为，，垂足为，则的最小值为（）A． B．C． D．【答案】（1）A（2）B【解析】（1）由可得，准线为，设，因为，由抛物线的定义得，解得：，所以，所以，故选：A.（2）令抛物线的焦点为F，则，连接PF，如图，因是抛物线的准线，点是抛物线上的动点，且于，于是得，点到直线：的距离，又于，显然点P在点F与N之间，于是有，当且仅当F，P，N三点共线时取“=”，所以的最小值为.故选：B【一隅三反】1．（2021·广西柳州·高三开学考试（理））已知F是抛物线的焦点，直线l是抛物线的准线，则F到直线l的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】由得，所以F到直线l的距离为故选：B2．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））已知是抛物线上的一动点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】过作垂直准线，为垂足，，所以（当且仅当纵坐标相等时取等号）故选：C3（2021·深州长江中学）已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】依题意，抛物线的准线方程为，而是其焦点，设，，由抛物线定义得：，于是得，则线段的中点的纵坐标为，所以的中点到准线的距离为.故选：C考法二抛物线的标准方程【例2】（1）．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））已知抛物线：的焦点为，点在上且满足，则（）A． B． C． D．（2）（2021·广西柳州市·柳铁一中高三月考（文））抛物线y2＝2px（p0）的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，PAl，垂足为A，若直线AF的斜率为，＝4，则抛物线方程为（）A．y2＝4x B．y2＝x C．y2＝8x D．y2＝x【答案】（1）D（2）A【解析】（1）由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可知，故选：D（2）∵直线AF的斜率为，∵抛物线的定义知，∴△PAF为等边三角形，∴，∴在Rt△AKF中，，∴抛物线方程为．故选：A【一隅三反】1．（2021·全国高三月考（文））抛物线上点到其准线的距离为1，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】抛物线即，可得准线方程，因为到其准线的距离为1，所以，解得，故选：.2．（2021·湖南湘潭市·高三）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【解析】设为，则，又由，所以，因为，所以，可得，由，联立方程组，消去，可得，所以，故，又由，所以，即，解得或，所以的方程为或．故选：A．3．（2021·汕头市澄海中学）若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题得抛物线的准线方程为到准线的距离等于它到焦点的距离，则，所以，故抛物线方程为，故选：B．4．（2021·四川内江·高三（理））已知直线：与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则抛物线的方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，联立方程组，整理得，则，可得，由点为的中点，所以设，因为，可得，又由点在抛物线上，可得，即，解得或（舍去），所以抛物线的标准方程为.故选：B.考法三直线与抛物线的位置关系【例3】（1）（2021·云南师大附中高三月考（理））已知抛物线，过点且斜率为的直线与交于，两点，若，则（）A． B． C． D．（2）（2021·江西高三月考（文））给定抛物线，F是其焦点，直线，它与E相交于A，B两点，如果且，那么的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）C【解析】（1）设直线，由得，设，，则有，又，所以，则，于是，且k>0，进一步得.故选：B．（2）直线与抛物线方程联立得：，因为直线与抛物线相交于A，B两点，所以，设，因此有，且，由，代入中得：且，解得：，函数在时单调递减，所以，因此，所以或故选：C【一隅三反】1．（2021·广东高三月考）已知直线过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点，且，，成等差数列，则直线的斜率（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意可得直线的斜率存在.因为抛物线：的焦点，所以直线的方程可设为，与抛物线方程联立得：，设，因此，因为，，成等差数列，所以，于是有，化简得：，而，所以解得：或（舍去），因为，所以，解得，故选：D2．（2021·肥城市教学研究中心高三）设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线交于点，若，则直线的方程为___________.【答案】【解析】因为抛物线方程为，所以焦点，准线.设，直线方程为，代入抛物线方程消去，得，所以.又过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，设，可得，因为，所以，得到，所以.因为，所以，解之得，所以，直线方程为，即.故答案为：.3．（2021·四川高三（理））已知AB，CD是过抛物线焦点F且互相垂直的两弦，则的值为__________.【答案】【解析】由题设，直线、的斜率一定存在，设为，，，联立抛物线方程，可得且，∴，，而，，∴，由，设为，，，联立抛物线，可得，同理有，，∴，综上，.故答案为：.考法四弦长【例4】（1）（2021·黑龙江实验中学高三（文））已知抛物线的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于A､B两点，若AB的中点为，则线段AB的长为（）A． B．4 C．5 D．4或5（2）（2021·全国高三开学考试（理））已知点F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则（）A．9 B． C． D．【答案】（1）D（2）D【解析】（1）设，因为中点坐标为，可得，，因为直线AB过焦点，可设直线AB方程为，联立直线AB与抛物线方程，整理得，则，因为均为抛物线上的点，可得，两式相加得，即，解得或，因为，可得或.故选：D.（2）因为焦点，设直线l的方程为，代入抛物线方程，得．设，，由韦达定理得．因为，所以，所以．解得，或，，所以，，所以．故选D．【一隅三反】1．（2021·云南玉溪·高三月考（理））已知直线过抛物线：的焦点，并交抛物线于，两点，，则弦中点的横坐标是（）A． B． C． D．1【答案】C【解析】如图，由题意可得抛物线的准线的方程为，过点作抛物线准线的垂线于，过分别作于点，于点，则，因为弦的中点为，所以，所以点的横坐标是，故选：C2．（2021·河南高三（文））抛物线：的焦点为，过点且平行于轴的直线与线段的中垂线交于点，若点在抛物线上，则（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【解析】若点在抛物线外部，如下图，设线段的中点为，因为线段的中垂线是，所以，由抛物线定义，又等于点到准线的距离，而图中，所以点不在抛物线外部；若点在抛物线内部，如下图，设线段的中点为，，，因为线段的中垂线是，所以，再由抛物线定义得，解得或，所以时，，时，，故选：A.3．（2021·河北高三月考）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】焦点，设直线为，代入抛物线方程得.设，由韦达定理得：①.由，即，有②∴由①②得：或，即，，化简得，或（舍）.故选：B.4．（2021·全国高三（理））已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A､B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，由抛物线定义知，，又F为PB.中点，则，，则，，，则故选：D5．（2021·全国高三）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，若，则四边形的面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，设，则．过作于，交轴于，则，，,所以，，所以，得，从而四边形的面积为．故选：C.考法五综合运用【例5】（2021·广东）设为坐标原点，过拋物线的焦点的直线交拋物线于两点，为线段的中点，则（）A．以线段为直径的圆与直线相切B．C．当时，D．三角形的面积最小值为4【答案】C【解析】由题意，设直线方程为，代入抛物线方程得，所以，所以，所以，，A．以线段为直径的圆的圆心到直线距离为，圆与直线相离，A错；B．，B错；C．时，，又，，两式联立解得，所以，C正确；D．，D错．故选：C．【一隅三反】1．（2021·辽宁朝阳·高三）抛物线（）的焦点为，过与轴垂直的直线交于点，，有下列四个命题：甲：点坐标为；乙：抛物线的准线方程为；丙：线段长为4；丁：直线与抛物线相切．如果只有一个命题是假命题，则该命题是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【解析】抛物线（）的焦点坐标为，若，则，，甲正确；抛物线的准线方程为，乙错误；抛物线的通径为，丙正确；抛物线方程为，与联立，可得，即，可得直线与抛物线相切于，丁正确．若，则，可得，甲错误；准线方程为，乙正确；抛物线的通径为，丙错误，不合题意．故，甲、丙、丁正确，乙错误．故选：B．2．（2021·陕西宝鸡·高三（理））抛物线的焦点为F，设是抛物线上的两点，，则∠AFB的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知抛物线，所以，，结合抛物线定义得|AF|+|BF|＝x1+x2+p，|AF|+|BF|＝|AB|．在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB＝＝.又|AB|=|AF|+|BF|（当且仅当取等号）⇒2|AF|•|BF||AB|2．所以cos∠AFB，，∠AFB的最大值为.故选：B.3．（2021·河北沧州市·高三月考）（多选）已知直线与抛物线交于两点，若线段的中点是，则（）A． B．C． D．点在以为直径的圆内【答案】AB【解析】对于A，设，，由得：，，又线段的中点为，，解得：，A正确；对于B，在直线上，，B正确；对于C，过点，为抛物线的焦点，，C错误；对于D，设，则，又，，，在以为直径的圆上，D错误.故选：AB.4．（2021·湖南高三）（多选）已知直线和抛物线交于、两点，直线、（为坐标原点）的斜率分别为、，若，则（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】设点、，联立，消去可得，，解得，由韦达定理可得，.对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，解得，B选项正确；对于C选项，，，