2018届九年级数学下册第27章图形的相似27.2相似三角形相似三角形的性质、应用同步测试（版）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE16学必求其心得，业必贵于专精相似三角形的性质、应用课后作业1、如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC,AE、CD相交于点O,若S△DOE：S△COA=1：25,则S△BDE与S△CDE的比是(）A．1:3B．1：4C．1:5D．1：252、如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A．4B．4C．6D．43、如图,在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（）A．CE=DEB．CE=DEC．CE=3DED．CE=2DE4、如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（)A．1：2B．1:3C．1:4D．1：15、如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径,∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于(）A．1：B．1：C．1:2D．2：36、如图，CB=CA，∠ACB=90°,点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB,交DE于点Q，给出以下结论:

①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1:2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC,其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．47、如图，在平行四边形ABCD中,点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF=．8、如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E,FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为．9、如图,DE⊥AB于E，AF⊥BC于F，若BD=6，AB=8，则DE:AF=10、如图，在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．

(1)求证：△ACD∽△BFD；

(2)当tan∠ABD=1，AC=3时,求BF的长．11、如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．

（1)求证:AD∥BC；

(2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4,求BC的长．12、如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．

（1）求证：△AEH∽△ABC；

（2)求这个正方形的边长与面积．

参考答案1、解析：根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA,根据相似三角形的性质定理得到DE:AC=1:5，BE:BC=DE:AC=1:5，结合图形得到BE:EC=1：4，得到答案．解:∵DE∥AC，

∴△DOE∽△COA,又S△DOE:S△COA=1：25,

∴DE：AC=1:5，

∵DE∥AC,

∴BE：BC=DE：AC=1:5，

∴BE：EC=1：4∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，

故选：B2、解析：根据AD是中线，得出CD=4，再根据AA证出△CBA∽△CAD，得出AC：BC=CD：AC,求出AC即可．解：∵BC=8，

∴CD=4，

在△CBA和△CAD中，

∵∠B=∠DAC，∠C=∠C，

∴△CBA∽△CAD，

∴AC:BC=CD:AC,

∴AC2=CD•BC=4×8=32,

∴AC=4；

故选B．3、解析：过点D作DH⊥BC，利用勾股定理可得AB的长，利用相似三角形的判定定理可得△ADE∽△BEC,设BE=x，由相似三角形的性质可解得x，易得CE，DE的关系．解：过点D作DH⊥BC，

∵AD=1,BC=2，

∴CH=1，

DH=AB==2，

∵AD∥BC，∠ABC=90°，

∴∠A=90°,

∵DE⊥CE，

∴∠AED+∠BEC=90°,

∵∠AED+∠ADE=90°,

∴∠ADE=∠BEC，

∴△ADE∽△BEC，

∴AD:BE=AE：BC=DE：CE，

设BE=x，则AE=2−x，

即1：x=（2—x):2，

解得x=,

∴AD:BE=DE:CE=1:,

∴CE=DE，

故选B4、解析：证明DE是△ABC的中位线,由三角形中位线定理得出DE∥BC,DE=BC，证出△ADE∽△ABC,由相似三角形的性质得出△ADE的面积：△ABC的面积=1：4，即可得出结果．解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，DE=BC,

∴△ADE∽△ABC,

∴△ADE的面积:△ABC的面积=(）2=1：4，

∴△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3；

故选：B5、解析:由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到AC：BC=:3，根据三角形的角平分线定理得到AC:BC=AD：BD=:3,求出AD=AB，BD=AB，过C作CF⊥AB于F，连接OE,由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB,求出OE=AB，CF=AB，根据三角形的面积公式即可得到结论．解:∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90°,

∵∠B=30°，

∴AC：BC=:3，

∵CE平分∠ACB交⊙O于E，

∴AC:BC=AD：BD=:3，

∴AD=AB，BD=AB，

过C作CF⊥AB于F，连接OE，

∵CE平分∠ACB交⊙O于E,

∴弧AE=弧BE，

∴OE⊥AB，

∴OE=AB，CF=AB，

∴S△ADE:S△CDB=（AD•OE）：（BD•CF)=（×AB•AB）：(×AB•AB）=2:3．故选D6、解析：由正方形的性质得出∠FAD=90°,AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG,①正确；

证明四边形CBFG是矩形,得出S△FAB=FB•FG=S四边形CBFG，②正确；

由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；

证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．解：∵四边形ADEF为正方形，

∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，

∴∠CAD+∠FAG=90°，

∵FG⊥CA，

∴∠C=90°=∠ACB，

∴∠CAD=∠AFG,

在△FGA和△ACD中,∠G＝∠C,∠AFG＝∠CAD,AF＝AD，

∴△FGA≌△ACD（AAS），

∴AC=FG，①正确;

∵BC=AC，

∴FG=BC，

∵∠ACB=90°，FG⊥CA，

∴FG∥BC，

∴四边形CBFG是矩形,

∴∠CBF=90°,S△FAB=FB•FG=S四边形CBFG，②正确；

∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，

∴∠ABC=∠ABF=45°,③正确；

∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，

∴△ACD∽△FEQ，

∴AC:AD=FE：FQ,

∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；

故选:D．7、解析：根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△DEF∽△BCF，由已知条件求出△DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC,AD=BC，

∴△DEF∽△BCF，

∴EF:CF=DE:BC,S△DEF：S△BCF=（DE：BC）2,

∵E是边AD的中点，

∴DE=AD=BC，

∴EF：CF=DE:BC=，

∴△DEF的面积=S△DEC=1，

∴S△DEF:S△BCF=1：4，

∴S△BCF=4；

故答案为：4．8、解析：利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长,由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E,易得CE=CA，由FA⊥AE,可得∠FAC=∠F,易得CF=AC，可得EF的长．解:∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，

∴AC=3，

∵AE平分∠CAD,

∴∠CAE=∠DAE，

∵AD∥CE，

∴∠DAE=∠E，

∴∠CAE=∠E,

∴CE=CA=3，

∵FA⊥AE,

∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°,

∴∠FAC=∠F,

∴CF=AC=3，

∴EF=CF+CE=3+3=6,

故答案为：69、解析：要求DE：AF的值，又已知BD=6，AB=8且DE、AF、BD、AB分别是两个直角三角形△BED和△BFA中的边，所以只要证明△BED∽△BFA即可，根据相似三角形的性质；DE:AF=BD:AB=6:8=3:4解:∵DE⊥AB，AF⊥BC

∴∠BED=∠BFA

又∵∠B=∠B

∴△BED∽△BFA

∴DE：AF=BD:AB=6：8=3:4．

即:DE：AF=3：410、解析：(1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．

（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得AC：BF=AD：BD=1,即可解决问题．(1)证明:∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°,

∴∠DBF=∠DAC，

∴△ACD∽△BFD．

（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°

∴AD:BD=1∴AD=BD，

∵△ACD∽△BFD,

∴AC：BF=AD:BD=1，

∴BF=AC=3．11、解析：（1）由AB=AC,AD平分∠CAE，易证得∠B=∠DAG=∠CAG，继而证得结论;

（2）由CG⊥AD，AD平分∠CAE，易得CF=GF,然后由AD∥BC，证得△AGF∽△BGC，再由相似三角形的对应边成比例,求得答案．(1）证明:∵AD平分∠CAE,

∴∠DAG=∠CAG,

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵∠CAG=∠B+∠ACB，

∴∠B=∠CAG，

∴∠B=∠DAG,

∴AD∥BC;

(2）解：∵CG⊥AD，

∴∠AFC=∠AFG=90°，

在△AFC和△AFG中，∠CAF＝∠GAF,AF＝AF，∠AFC＝∠AFG∴△AFC≌△AFG（ASA),

∴CF=GF,

∵AD∥BC，

∴△AGF∽△BGC，

∴GF：GC=AF：BC=1:2，

∴BC=2AF=2×4=812、解析:（1）根据EH∥BC即可证明．

（2）如图设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形,设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC,得EH:BC=AM：AD，列出方程即可解决问题．（1)证明:∵四边形EFGH是正方形，

∴EH∥BC，

∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，

∴△AEH∽△A