概率与过程第8、10、11章

第八章假设检验8.1假设检验的基本概念和思想8.2单正态总体的假设检验8.3双正态总体均值差与方差比的假设检验8.1假设检验的基本概念和思想

一、基本概念(一)两类问题1、参数假设检验总体分布已知,参数未知,由观察值x1,…,xn检验假设H0：=0；H1：≠02、非参数假设检验总体分布未知,由观察值x1,…,xn检验假设H0：F(x)=F0(x;);H1：F(x)≠F0(x;)

以样本(X1,…,Xn)出发制定一个法则,一旦观测值(x1,…,xn)确定后,我们由这个法则就可作出判断是拒绝H0还是接受H0,这种法则称为H0对H1的一个检验法则,简称检验法。样本观察值的全体组成样本空间S,把S分成两个互不相交的子集W和W*,即S=W∪W*,W∩W*=假设当(x1,…,xn)∈W时,我们就拒绝H0；当(x1,…,xn)∈W*时,我们就接受H0。子集WS就称为检验的拒绝域(或临界域)。(二)检验法则与拒绝域

称

H0真而被拒绝的错误为第一类错误或弃真错误；称

H0假而被接受的错误为第二类错误或取伪错误。记p(I)=P{拒绝H0|

H0真};P(II)=P{接受H0|

H0假}对于给定的一对H0和H1,总可找出许多拒绝域,人们自然希望找到这种拒绝域W,使得犯两类错误的概率都很小。但在样本容量一定时，不能同时保证犯两类错误的概率都最小。于是奈曼—皮尔逊提出了这样的一个原则：“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值的条件下，使犯第二类错误的概率

尽量小”按这种法则做出的检验称为“显著性检验”,称为显著性水平或检验水平。(三)检验的两类错误？怎样构造的拒绝域方可满足上述法则？如:对总体X~N(,1),要检验H0：=0；H1：=1拒绝域可取根据奈曼—皮尔逊原则：应选取k使“犯第一类错误的概率不超过指定值的条件下,使犯第二类错误概率尽量小”这里而P(II)关于k单增.所以为使P(II)小,k要尽可能小.对比说明k最小只能取到,得水平为的拒绝域为可见,使P(I)≤又使P(II)尽可能小的k值恰好P(I)=.一般地,符合奈曼—皮尔逊原则的拒绝域满足P(I)=.二、显著性检验的思想和步骤(1)根据实际问题作出假设H0与H1；(2)构造统计量,在H0真时其分布已知；(3)给定显著性水平的值,参考H1,令

P{拒绝H0|H0真}=,求出拒绝域W；(4)计算统计量的值,若统计量W,则拒绝

H0,否则接受H08.2单个正态总体的假设检验一、单个正态总体均值的假设检验1、2已知的情形---Z检验构造查表,计算,比较大小,得出结论说明：(1)H0：=0；H1：m0称为双边HT问题；而H0：=0；H1：>0(或<0),则称为单边问题；(2)

H0：0；H1：>0

或H0：0；H1：u<u0

也称为单边HT问题,不过这是一个完备的HT问题。(3)可证:完备的HT问题与不完备的HT问题有相同的拒绝域,从而检验法一致。·先考虑不完备的右边HT问题的解H0：=0；H1：>0,现考虑完备的右边HT问题H0：0；H1：>0,取拒绝域为则犯第一类错误的概率为于是故是H0：0；H1：>0,的水平为的拒绝域于是奈曼—皮尔逊提出了这样的一个原则：“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值的条件下，使犯第二类错误的概率

尽量小”

例1：设某厂生产一种灯管,其寿命X~N(,2002),由以往经验知平均寿命=1500小时,现采用新工艺后,在所生产的灯管中抽取25只,测得平均寿命1675小时,问采用新工艺后,灯管寿命是否有显著提高。(=0.05)解:检验统计量为拒绝域

因为拒绝H0，即灯管寿命有显著提高这是单个正态总体在方差已知的情况下检验均值·左边HT问题H0：=0；H1：<0,或H0：0；H1：<0,可得显著性水平为的拒绝域为例2已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112).某日测得5炉铁水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果标准差不变,该日铁水的平均含碳量是否显著偏低?(取=0.05)解:检验统计量为拒绝域计算得因为拒绝H0，即该日铁水的平均含碳量显著偏低这是单个正态总体在方差已知的情况下检验均值注:上题中,用双边检验或右边检验都是错误的.若用双边检验,H0：=4.55；H1：4.55,则拒绝域为由|Z|=3.78>1.96,故拒绝H0,说明可以认为该日铁水的平均含碳量显著异于4.55.但无法说明是显著高于还是低于4.55.不合题意若用右边检验,H0：4.55；H1：>4.55,则拒绝域为由Z=-3.78<1.645,故接受H0,说明不能认为该日铁水的平均含碳量显著高于4.55.但无法区分是等于还是低于4.55.不合题意.2、2未知的情形双边检验:对于假设H0：=0；H1：0由P{|t|t/2(n1)}=,得水平为的拒绝域为{|t|t/2(n1)}解:检验统计量为拒绝域

计算得因为接受H0，热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差例3用热敏电阻测温仪间接温量地热勘探井底温度X,重复测量7次，测得温度(℃):112.0113.4111.2112.0114.5112.9113.6而用某种精确办法测得温度为112.6(可看作真值),试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差(设X服从正态分布,取=0.05)?这是单个正态总体在方差未知的情况下检验均值·右边HT问题H0：=0；H1：>0,或H0：0；H1：>0,由P{tt(n1)}=,得水平为的拒绝域为tt(n1),解:检验统计量为拒绝域计算得因为接受H0，新生产比过去生产的抗拉强度一样高.例4

某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620(kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为:10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670.认为抗拉强度服从正态分布,取=0.05,问新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的镍合金线抗拉强度要高?·左边HT问题H0：=0；H1：<0,或H0：0；H1：<0,由P{t-t(n1)}=,得水平为的拒绝域为t-t(n1)解:检验统计量为拒绝域计算得因为接受H0，新生产不低于过去生产的抗拉强度EX设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于10620(kg/mm2)的正态分布,今从某厂生产的镍合金线中抽取10根,测得平均抗拉强度10600(kg/mm2),样本标准差为80.,问该厂的镍合金线的抗拉强度是否不合格?(=0.1)

二、单个正态总体方差的假设检验假定未知，双边检验:对于假设得水平为的拒绝域为解:检验统计量为拒绝域

计算得因为接受H0，认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等于80例5电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42,65,75,78,59,57,68,54,55,71.问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等于80?(=0.05,熔化时间为正态变量.)设保险丝的融化时间服从正态分布，取9根测得其熔化时间（min）的样本均值为62,标准差为10.(1)是否可以认为整批保险丝的熔化时间服从N(60,92)?(=0.05)(2)是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差显著大于70?(=0.05)EX答:(1)|t|=0.6<2.306,接受60;2.18<X2=9.877<17.535,接受10(2)X2=11.42<15.507,认为方差不显著大于708.3双正态总体均值差与方差比的假设检验一、均值差的假设检验而对应的单边问题拒绝域为拒绝域为例6.比较甲,乙两种安眠药的疗效。将20名患者分成两组,每组10人.其中10人服用甲药后延长睡眠的时数分别为1.9,0.8,1.1,0.1,-0.1,4.4,5.5,1.6,4.6,3.4;另10人服用乙药后延长睡眠的时数分别为0.7,-1.6,-0.2,-1.2,-0.1,3.4,3.7,0.8,0.0,2.0.若服用两种安眠药后增加的睡眠时数服从方差相同的正态分布.试问两种安眠药的疗效有无显著性差异?(=0.10)解：检验统计量为拒绝域为这里:对于=0.10，因为拒绝H0，认为两种安眠药的疗效有显著性差异上题中,试检验是否甲安眠药比乙安眠药疗效显著?EX1这里:t=1.86>1.3304,故拒绝H0,认为甲安眠药比乙安眠药疗效显著EX2上题中,试检验是否乙安眠药比甲安眠药疗效显著?二、方差比的假设检验

两样本独立,给定检验水平,由观察值由p{FF1/2(n11,n21)或FF/2(n11,n21)}=F1/2F/2得拒绝域FF1/2(n11,n21)或FF/2(n11,n21)而对应的单边问题拒绝域为FF(n11,n21)FF1(n11,n21)拒绝域为例7.有甲乙两种机床,加工同样产品,从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品,测得产品直径为(单位:mm):甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.9,19.6,19.9.乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2.

假定甲,乙两台机床的产品直径都服从正态分布,试比较甲,乙两台机床加工的精度有无显著差异?(=0.05)解:0.1957<F<5.7,接受H0，甲,乙两台机床加工的精度无显著差异检验统计量为拒绝域为：{FF1/2(n11,n21)或FF/2(n11,n21)}计算得：F10.025(7,6)=1/5.12=0.1953F0.025(7,6)=5.7知识点示意图假设检验Z检验t检验2检验T检验F检验单正态总体双正态总体方差均值差方差比均值方差已知方差未知本节小结1、正态总体的假设检验；2、犯两类错误的概率要求：1、掌握正态总体的单双边假设检验；2、计算犯两类错误的概率内容：

1.随机过程的概念

2.随机过程的统计描述

3.几种常见的随机过程

第十章

随机过程的基本知识随机过程被认为是概率论的“动力学”部分(J.Neyman,1960).意思是说它的研究对象是随时间演变的随机现象.§1

随机过程的概念

考察下面几个随时间变化演变的随机现象.1.某地某日一昼夜气温的变化情况{X(t),0<t<24},X(t)表示t时刻的气温.2.通讯技术中，接收机热噪声电压随时间的变化过程{V(t),t>0}.3.股票行情，{P(t),t>0}.P(t)表示从某时刻起某种股票的价格.4.某路公交车的客流情况{(X(t),Y(t));t0<t<t1},(X(t),Y(t))表示t时刻起点与终点站的候车人数5.纺纱机纺出一条长为l的细纱,由于纺纱过程中随机因素的干扰，它各处的横截面直径是不同的，可记X(u)是坐标为u处横截面的直径，0<u<l.

一个随机过程实际上就是样本点与参数的二元函数．设是一实数集,是一个样本空间.若对每个,都是定义在样本空间上的一个随机变量,则称这一随机变量族为随机过程，记为，简记为或，其中T称为参数集、指标集或时间集.(P201)定义1可以从下面两个角度来理解一个随机过程.一、随机过程的定义(1)固定,是一随机变量，称为在时的状态，当时，也称为在时刻过程处于状态.故一个随机过程就是一族随机变量，所以随机过程可以看作是多维随机变量的延伸.(2)固定,是关于的普通函数，记为或，称为样本函数或随机过程的一个实现，也称为一条轨道.故一个随机过程就是一族样本函数.称所有可能取值的全体为该过程的状态空间,记作.说对随机过程进行了一次试验，是指在T上对过程进行了一次全程观察，其结果就是一个样本函数.通常我们画出的随机过程曲线示意图,就是该过程的一个样本函数或一条轨道.设是一样本空间，若对每一样本点，都有一个时间的函数与之对应，则称这族时间的函数为随机过程.定义2随机过程是一族随机变量，T中有多少个元素，随机过程就对应着多少个随机变量；随机过程又是一族样本函数，中有多少个样本点，随机过程就相应地有多少个样本函数.参数集可以是离散的也可以是连续的考察随机过程式中a和b是常数,是服从分布的随机变量,称为随机相位正弦波.求(1)分别取0,/2,时的三条轨道；(2)t分别为0.5,2时的两个随机变量.例1二、随机过程的分类

随机过程可按时间(参数)是连续的还是离散的分为两类.(1)当T是有限集或可列集时,称为离散参数随机过程或随机序列.随机序列又按实际情况被记为或，其中称为离散时间.(2)当T是有限或无限区间时,称为连续参数随机过程随机过程也可按任一时刻的状态是连续型随机变量还是离散型随机变量分为两类.(1)若对于任意,都是离散型随机变量,则称为离散型随机过程.(2)若对于任意,都是连续型随机变量,则称为连续型随机过程.例2（随机游动)设一个质点在0时刻处于直线上的位置(整数),以后每隔单位时间分别以概率及向正的或负的方向随机移动一个单位.记为质点在时刻的位置.对于固定的,是一个随机变量.随着时刻的变化形成了一族随机变量,就是一个随机序列,并且是一个离散型随机序列.设是一个随机过程,对于每个随机变量的分布函数一般与t有关,记为随机变量的统计特性可以用它的分布来刻画.随机过程是一族随机变量,它的统计特性也可以用类似的方法来刻画.§2

随机过程的统计描述

一、随机过程的分布函数定义1称它为随机过程的一维分布函数.称为一维分布函数族.(P204)若存在非负函数，使成立，则称为随机过程的一维概率密度.定义2例1求随机过程的一维密度函数.这里b是常数,X是标准正态随机变量.解:(1)当sinbt≠0时,由X~N(0,1)，X(t)=Xsinbt知，X(t)~N(0,sin2bt),则X(t)的一维密度函数为(2)当sinbt=0时,X(t)不存在一维密度函数.例2设随机过程,其中服从参数为的指数分布,求的一维分布函数.解：的分布函数为当时,的一维分布函数即设是一个随机过程,对于任意的时刻，二维随机变量的分布函数一般与有关,记为称为随机过程的二维分布函数.(P205)定义3为随机过程的二维分布函数族.若存在非负函数，使则称为随机过程的二维概率密度.(P205)定义4称设是一个随机过程,对于任意的n维随机变量的分布函数记为

称为随机过程的n维分布函数.(P206).定义5称为随机过程的n维分布函数族若存在非负函数，使成立,则称非负函数为随机过程的维概率密度.(P206)定义6

称为随机过程的n维分布函数族.(P206)定义7设是一个随机过程,对于每个随机变量的均值或数学期望一般与t有关,记为称为随机过程的均值函数.(P206)二、随机过程的数字特征

定义8均值函数表征了过程在时刻取值的平均特征.设是一个随机过程,对于每个随机变量的二阶中心距即方差一般与有关,记为称为随机过程的方差函数.(P207)设是一个随机过程,对于每个记为随机过程的均方值函数.(P207)定义9定义10对任意的,称和的二阶混合中心矩

为随机过程的自协方差函数,简称协方差函数.记号，又记为.(P207)对任意的,称和的二阶混合原点矩

为随机过程的自相关函数,简称相关函数.记号在不致引起混淆的情况下常记为.定义11定义12随机过程的数字特征之间有如下关系例如例3设,其中A和B是相互独立且均服从正态分布的随机变量.求随机过程的均值函数、方差函数和协方差函数.解例4不断地独立抛一个硬币，定义随机过程解其中L是一正常数,.求的均值函数与相关函数.当落在同一区间时，表示同一次试验的结果，这时.当落在不同区间时，利用独立性，得例5求随机相位正弦波,U(0,2)的均值函数、相关函数和协方差函数.解：的概率密度为设是二维随机过程,称n+m维随机变量的分布函数为该二维随机过程的n+m维分布函数,或与的n+m维联合分布函数.(P209)设,是定义在同一样本空间和同一参数集T上的二个随机过程，称为二维随机过程.定义13定义14分别称

(P209)为随机过程与的互相关函数与互协方差函数.若对与的任意n+m维联合分布函数，都有其中分别是的n维分布函数和的m维分布函数，则称随机过程与相互独立.定义15定义16若对任意,都有，则称随机过程与不相关.(P209)性质1定义17推论1若与不相关,则设与是定义在同一样本空间和同一参数集上的两个随机过程,称为随机过程与的和.(P209)定义18推论2

设是随机过程,对于每一个二阶矩都存在,则称为二阶矩过程.(P210)

§3几种常见的随机过程

一、

二阶矩过程定义1由许瓦兹不等式知，二阶矩过程的相关函数和协方差函数必存在.若随机过程满足：对任意时刻,过程的增量相互独立，则称为独立增量过程.(P211)二、独立增量过程对随机过程，其中为时间集，称,为过程在区间内的增量.定义2直观地说，在互不重叠的时间区间上，独立增量过程的增量是相互独立的.若对任意的非负实数,且,的分布只依赖于时差,即与具有相同的分布,则称随机过程的增量具有平稳性.一个独立增量过程的增量具有平稳性时,称该过程为齐次的或时齐的.例1设是一个相互独立的随机序列,其中n是离散时间，,则是一个独立增量过程(序列).证：对于任意的正整数,增量即是相互独立的,从而是一个独立增量过程.例2求独立增量过程的协方差函数与相关函数，设.解：记

，则(1)(2)当时，同理，当时，所以若随机过程

的每一个有限维分布都是正态分布,即对任意正整数n,,服从n维正态分布,则称为正态过程或高斯过程.(P212)三、正态过程定义3随机过程是正态过程的充要条件是其任意n个状态构成的n维随机变量的线性组合为一维正态随机变量,其中为不全为0的实数.定理1例3设,其中随机变量相互独立,且都服从正态分布,是实常数.试证是一个正态过程.证设

是随机过程的任意n个状态,对于任意不全为零的实数,令由

相互独立且都服从正态分布知,Z服从正态分布,所以服从维正态分布，故随机过程是一个正态过程.四、维纳过程若随机过程满足(1)具有独立增量(2)对任意的,服从正态分布(3)则称为维纳过程或布朗运动.当时称为标准布朗运动.(P212)定义4维纳过程是布朗运动的数学模型.维纳过程的增量具有平稳性，即维纳过程是齐次的独立增量过程.容易证明，维纳过程也是正态过程.例4求标准布朗运动的五种数字特征.解由于

，并且

，得当

时，由独立增量性知同理，当时，所以EX求证维纳过程是正态过程证：及令式中ai满足由于是独立的正态随机变量的线性组合，仍然服从正态分布。证毕显然，计数过程满足(1)(2)是一非负整数(3)若，则(4)对，表示时间间隔内质点出现的次数.记,为在时间内事件(或质点)出现的次数,称为计数过程.(P214)五、泊松过程定义5计数过程称为泊松过程，若它满足(1)(2)是独立增量过程(3)对任意的，

其中常数称为过程的强度.相应的质点出现的时刻称作强度为的泊松流.(P214)定义6由定义6可知设是一计数过程,若它还满足

(2)是独立增量过程(3)对充分小的,(4)对充分小的,则称是泊松过程.(P215)定义7在定义7条件下，泊松过程增量的分布律为其中且.定理2设是一泊松过程，记为质点第n次出现的等待时间或到达时间.定理3

的密度函数为记,为质点第n次出现与第n-1次出现的时间间隔，称为到达时间间隔序列.定理4强度为的泊松过程的到达时间间隔序列是相互独立的随机变量序列，并且都服从参数为的指数分布定理5计数过程是强度为的泊松过程的充要条件是其到达时间间隔序列相互独立，并且同分布于参数为的指数分布.称为马氏链在时刻n处于状态i条件下，在时刻m+n转移到状态j的一步转移概率.六、马尔可夫链设是一随机序列,其状态空间.若对任意的状态及任意的(离散)时刻,都有则称过程具有马尔可夫性或无后效性,并称它为马尔可夫链,简称马氏链.(P218)定义8当马氏链n步转移概率与起始时刻m无关，只与时间差n有关时，可把n步转移概率记为，即

称此转移概率具有平稳性，称对应的马氏链为齐次的或时齐的.(P218)定义9以下的讨论只限于齐次马氏链.把齐次马氏链的n步转移概率按状态顺序排成矩阵，称为马氏链的n步转移概率矩阵.(P218)定义10齐次马氏链的一步转移概率记为齐次马氏链的一步转移概率矩阵马氏链的转移概率有如下性质其中，(3)式称为切普曼－柯尔莫戈洛夫方程，简称C-K方程.C-K方程的含义是：过程从状态i出发，经时间间隔转移m+n到状态j的概率应等于过程从状态i出发先经m时段转移到任意的中间状态k，接着再从k出发经n时段转移到状态j的概率的和.将C-K方程写成矩阵形式，得从而即,马氏链的步转移概率被它的一步转移概率所决定.

若对所有的状态,的转移概率存在极限

其中与状态j无关，且满足

则称为的极限分布.(P220)定义11极限分布是一概率分布，不论初始状态i如何，马氏链经过充分长时间转移后，停留在状态j的概率为定理６若齐次马氏链的状态空间Ｓ有限,且存在正整数ｍ,使,,则是方程组满足条件，的唯一解.例5地层剖面由3种岩性组成，设岩性序列导出的马氏链的转移概率矩阵为它的状态空间,其中状态1表示砂岩，2表示粉砂岩，3表示粘土.该马氏链的极限分布存在，由方程组解得极限分布这说明，随着时间的推移，最终砂岩、粉砂岩和粘土的百分比近似于33.8%、41.4%和24.8%.

1.平稳随机过程的概念

2.

各态历经性

3.平稳过程的功率谱密度

第十一章平稳随机过程

§1平稳随机过程的概念

设是一随机过程,若对任意的正整数n，任意时刻和任意的h,有定义1与具有相同的分布函数,即则称随机过程

为严平稳过程.(P223)严平稳过程的含义是它的n维分布或有穷维分布不随自变量的公共时间平移而改变.性质1设是一严平稳过程并且是一个二阶矩过程.(1)的均值函数是一常数,记为(2)的相关函数是单变量的函数，记为证明:(1)因为X(t)与X(t+h)同分别,令h=-t,得设是一个二阶矩过程,若对任意,定义2（常数）则称

是一个宽平稳过程,简称平稳过程.(P224)若严平稳过程还是二阶矩过程,则严平稳过程必为宽平稳过程,即二阶矩存在的严平稳过程是宽平稳过程；由定义可知严平稳过程与宽平稳过程有如下的关：(3)对于正态过程而言,宽平稳过程和严平稳过程是等价的.(2)宽平稳过程不一定是严平稳过程,严平稳过程也不一定是宽平稳过程；性质2设是一(宽)平稳过程，则(1)均方值函数是一常数，且(2)方差函数是一常数，且(3)协方差函数是时间差的函数，且性质3设是

平稳过程的相关函数，则(1)非负性(2)对称性(3)上界性(4)非负定性对任意和任意实值函数都有证(2)(3)(4)

设

和

是两个平稳过程,若对任意，都有,定义3成立，则称

与

是平稳相关的,或称这两个过程是联合平稳的.(P225)例1设是一互不相关的随机变量序列,且考察的平稳性解：所以是平稳过程，又称平稳序列.称此例中均值为零且互不相关的平稳序列为白噪声序列.例2设,其中随机变量和相互独立,都服从正态分布,判断是否为平稳过程.解：且因而二阶矩过程是平稳过程.设是一周期为T的函数,是在区间上服从均匀分布的随机变量,称为随机相位周期过程,判断它的平稳性.例3解由的周期性,得：故随机相位周期过程是平稳过程.常数的函数例4设是一个平稳过程，且其中b与c均为常数,，判断和是否联合平稳.解：易证也是平稳过程.且所以和是联合平稳的.设是二阶矩存在的随机变量序列,X是一个随机变量，若§2各态历经性

一、均方极限与均方积分定义1则称

均方收敛于X,记为,或称的均方极限为X.(P229)性质1如果,那么证明:由许瓦兹不等式由即均方极限有如下性质:若二阶矩序列

和

的均方极限存在，则性质2的均方极限存在,则称X(t)在[a,b]上均方可积,此极限称为X(t)的均方积分,且记为若时,和式即设是一个二阶矩过程,对区间作分割定义2若均方极限存在,则称在上均方可积,记为,即(P230)设是一个二阶矩过程,且在上均方可积,则性质3二、时间平均设是一个平稳过程,称定义3为

的时间均值和时间相关函数.(P230)定理1设

是平稳过程,则以概率1成立,则称的自相关函数具有各态历经性.

设

是一个平稳过程,若

以概率1成立,则称的均值具有各态历经性.(P232)三、各态历经性定义4若对任意的若

的均值和自相关函数都具有各态历经性,则称是各态历经过程.各态历经性也被称为遍历性.(均值各态历经定理)平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的充要条件是定理2其中(自相关函数各态历经定理)平稳过程X(t)的相关函数具有各态历经性的充要条件是定理3其中例1设A，B是均值为0,方差为的独立正态随机变量，的相关函数为(§1例2),验证的均值具有各态历经性.解故的均值具有各态历经性.例2：考察随机相位正弦波均值的各态历经性。解：故X(t)的均值具有各态历经性

设,是时间的函数,满足

§3平稳过程的功率谱密度

一、