自动控制理论第二章控制系统的数学模型

2.1系统微分方程的建立2.2非线性微分方程的线性化2.3传递函数2.4动态结构图2.5信号流图第二章自动控制系统的数学模型目的

建立控制系统的数学模型，为课程的后续内容提供必备的工具内容掌握建立物理系统数学模型的方法掌握数学模型的相互转换掌握数学模型的图解形式数学模型：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。确切地说：数学模型是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，并运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。

控制系统数学模型：

描述系统输入、输出变量以及内部各个变量之间关系的数学表达式。

引言数学模型数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定律来描述的。通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运动规律。建模方法:解析法：即依据系统及元部件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并经实验验证，从而建立系统的数学模型。

实验法：给系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而拟合辨识出系统的数学模型。数学模型微分方程传递函数频率特性结构图信号流图状态空间表达式反映元件及系统的特性要正确实验法解析法写出的数学式子要简明§2.1控制系统的微分方程引例：由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路，写出以ui为输入，uo为输出的系统关系方程。

控制系统的微分方程线性定常系统的微分方程可表示为线性定常系统满足叠加原理参数为常数叠加原理如果有 输入x1(t)输出y1(t)

输入x2(t)输出y2(t)则系统的输入为输出保持线性可加为2.控制系统微分方程的建立用解析法建立运动方程的步骤是：

分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究元件或系统的输入量和输出量；从输入端入手，依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列写各自方程式；将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的标准方程。电学系统：

元件约束电学系统：

网络约束遵从基尔霍夫电压电流定律例：考虑由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路，写出以ui

为输入，u0为输出的微分方程。由基尔霍夫电压定律元件约束整理得力学系统：

牛顿定律约束例：设弹簧－质量－阻尼器系统如图所示，试列出以力Fi

为输入，以质量单元的位移x为输出的运动方程。由牛二：外力弹性阻力

粘滞阻力代入整理16例电枢控制的直流电动机

电枢电压控制的直流电动机线路原理图和结构图（1）列写原始方程式。（2）消去中间变量。整理后得

17若输出为电动机轴的转角q，则有

（三阶线性定常微分方程）——机电时间常数(秒)

——电动机电枢回路时间常数(秒)，一般比Tm小或例

水箱水位系统如图，建立系统的微分方程；1、确定输入、输出输入：流入水箱的流量干扰是流出水箱的流量输出：2、原始方程组假设①水箱截面积S为常数②设流量系数(调节阀开度系数)α为常数③水是不可以被压缩的c—密度

由物质守恒定律存在：又因为为非常数，有：非线性的

3、消去中间变量有：§2.2非线性微分方程的线性化为什么要线性化非线性系统的性质比线性系统要复杂得多哪种非线性系统可以线性化连续可导的非线性系统如何进行线性化使用小偏差法连续可导的非线性特性本质非线性特性小偏差理论具有连续变化的非线性函数A[x0，y0]为预定工作点，则该非线性函数可以线性化的条件是变量x偏离预定工作点很小线性化方法步骤：(1)建立系统（环节）运动方程；(2)利用Taylor级数或一次微分方法，将输出－输入函数在工作点展开或求一次微分；(3)忽略Taylor展开式或一次微分式中关于微小偏差的高次项(仅保留一次项)；(4)得到一个关于输出增量偏差与输入增量的一次项的增量方程；(5)整理方程并去掉增量符号，即得到线性化方程。近似线性化方程为令作变量替换例：三相全桥整流装置输入量为控制角输出量为整流电压UD,二者之间的关系为试建立其线性化方程。解：预定工作点为例：单摆系统的运动方程为试列写其线性化方程。解：运动方程中的非线性项为预定工作点为线性化方程为当预定工作点为[0,0]当预定工作点为总