建筑力学第六章超静定结构内力计算

建筑力学第六章超静定结构内力计算第一页，共一百页，2022年，8月28日6.1概述6.2力法

6.3位移法

6.4力矩分配法

本章内容第二页，共一百页，2022年，8月28日6.1概述6.1.1超静定结构的概念超静定结构是工程中广泛采用的一类结构，为了全面认识超静定结构，我们把它与静定结构作一比较。第三页，共一百页，2022年，8月28日

图（a）所示的刚架是一个静定结构，它的支座反力和各截面的内力都可以由静力平衡条件唯一确定。图（b）所示的刚架是一个超静定结构，有四个反力，却只能列出三个独立的平衡方程，它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定。（a）（b）FFByFAxFAyFFByMAFAxFAy第四页，共一百页，2022年，8月28日再从几何组成方面来分析，图（a）所示刚架和图（b）所示刚架都是几何不变的。若从图（a）所示的刚架中去掉支杆B，其就变成了几何可变体系。而从图（b）所示刚架中去掉支杆B，则其仍是几何不变的，从几何组成上看支杆B是多余约束，所以，该体系有一个多余约束，是一次超静定结构。（a）（b）FFByFAxFAyFFByMAFAxFAy第五页，共一百页，2022年，8月28日综上所述，存在多余约束，单靠静力平衡方程不能确定所有支座反力和内力，这就是超静定结构与静定结构的根本区别。第六页，共一百页，2022年，8月28日6.1.2超静定次数的确定超静定次数就是结构的多余约束的个数，也就是多余未知力的个数。所以，确定结构的超静定次数的方法，就是把原结构中的多余约束去掉，使之变成静定结构，所去掉的多余约束的个数即为结构的超静定次数。第七页，共一百页，2022年，8月28日通常情况下，从超静定结构中去掉多余约束的方式有如下几种：

1.切断体系内部的一根链杆或去掉支座处的一根支杆，相当于去掉一个约束，如图所示。X1(a)(b)X1X2第八页，共一百页，2022年，8月28日2.去掉一个铰支座或一个单铰，相当于去掉两个约束，如图所示。

(a)(b)X1X2X1X2X1X2第九页，共一百页，2022年，8月28日3.去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束，如图所示。

(a)(b)cX1X2MAX1X2X1X2X3X3第十页，共一百页，2022年，8月28日4.将一刚结点改为单铰联结或将一个固定支座改为铰支座，相当于去掉一个约束，如图所示。

X1(a)(b)(c)X1第十一页，共一百页，2022年，8月28日6.2力法力法计算超静定结构，是以静定结构为计算对象，把多余未知力作为基本未知量，根据变形协调条件建立力法方程，从而把计算超静定结构多余未知力的问题转化为计算静定结构的问题。6.2.1力法的基本原理第十二页，共一百页，2022年，8月28日下面通过对一次超静定结构的分析，阐述力法的基本原理。如图所示一端固定、另一端铰支的梁，该梁有一个多余约束，是一次超静定结构。第十三页，共一百页，2022年，8月28日

如果把支杆B作为多余约束去掉，并代之以多余未知力X1，则原结构就转化为图（b）所示的静定梁。它承受着与图（a）所示原结构相同的荷载和多余未知力。我们把这种去掉多余约束用多余未知力来代替后的静定结构称为按力法计算的基本结构。(b)基本结构X1第十四页，共一百页，2022年，8月28日只要能够求出多余未知力X1，原结构的计算问题就转变为静定的基本结构在荷载q及多余未知力X1共同作用下的静定结构计算问题了。我们把多余未知力称为力法计算的基本未知量。(b)基本结构X1第十五页，共一百页，2022年，8月28日在图(b)所示的基本结构上，多余未知力X1是代替原结构支座B的作用。因此，基本结构的受力和变形应与原结构完全相同。设基本结构在B点沿X1方向上的位移为Δ1。由于在原结构图(a)中，支座B处的竖向位移等于零。所以，在基本结构图(b)中，B点由荷载q与多余未知力X1共同作用下在X1方向上的位移Δ1也应该为零，即

Δ1=0第十六页，共一百页，2022年，8月28日

上式称为基本结构应满足的原结构的位移条件，设Δ1F[图(c)]和Δ11[图(d)]分别表示荷载q与多余末知力X1单独作用于基本结构上时，引起的B点沿X1方向上的位移。由叠加原理，有

Δ1=Δ11+Δ1F=0=+(c)(d)(b)基本结构X1X1第十七页，共一百页，2022年，8月28日由于X1是末知力，若以δ11表示X1＝1单独作用于基本结构时引起的B点沿X1方向上的位移，即Δ11=δ11·

X1

，则

δ11·

X1+Δ1F=0上式称为力法方程，而δ11称为方程的系数，Δ1F称为方程的自由项。第十八页，共一百页，2022年，8月28日因为δ11和Δ1F均为已知力作于静定结构时，引起的B点沿X1方向上的位移，所以由静定结构的位移计算方法可以求得。因此解力法方程可求出多余未知力X1。第十九页，共一百页，2022年，8月28日

为了具体计算位移δ11和Δ1F，可分别绘出基本结构在荷载q和X1＝1单独作用下的MF图和图[图(a，b)]，然后用图乘法计算。

(a)MF

图X1第二十页，共一百页，2022年，8月28日(a)MF

图

由于MF图和图分别是基本结构在X1＝1和荷载q作用下的弯矩图，同时图又可理解成为求B点的竖向位移而绘制的单位荷载作用下的弯矩图。所以，可用图乘图，即图自乘，则有X1第二十一页，共一百页，2022年，8月28日同理可用图乘MF图计算Δ1F

将δ11和Δ1F代入力法方程，可解得多余未知力X1。所得末知力X1为正号，表示反力X1的方向与所设的方向相同。

(a)MF

图X1第二十二页，共一百页，2022年，8月28日多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与荷载q共同作用在基本结构上,就可以按求解静定结构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘出原结构的弯矩图，如图（c）所示。ABM图超静定结构的最后弯矩图M，也可利用已经绘出的图和MF图按叠加原理绘出，即。（c）第二十三页，共一百页，2022年，8月28日

综上所述，力法是以多余未知力作为基本未知量，以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构，根据基本结构在多余约束处与原结构完全相同的位移条件建立力法方程，求解多余未知力，从而把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。第二十四页，共一百页，2022年，8月28日6.2.2力法典型方程

前面用一次超静定结构说明了力法计算的基本原理，下面以一个三次超静定结构为例进一步说明力法计算超静定结构的基本原理和力法的典型方程。图(a)所示为一个三次超静定刚架，荷载作用下结构的变形如图中虚线所示。（a）第二十五页，共一百页，2022年，8月28日这里我们去掉固定支座C处的多余约束，用多余未知力

X1、X2

、X3代替，得到如图(b)所示的基本结构。X2X1X3（a）（b）第二十六页，共一百页，2022年，8月28日

由于原结构C处为固定支座，其线位移和角位移都为零。所以，基本结构在荷载q及X1、X2

、X3共同作用下，C点沿X1、X2

、X3方向的位移都等于零，即基本结构应满足的位移条件为

Δ1=0Δ2=0Δ3=0X2X1X3（a）（b）第二十七页，共一百页，2022年，8月28日

上式就是三次超静定结构的力法方程。根据叠加原理，上面的位移条件可以表示为第二十八页，共一百页，2022年，8月28日=+++X2X1X3（b）X2（d）（e）X3（f）1F3F2F（c）X1第二十九页，共一百页，2022年，8月28日

式中：δ11、δ21、δ31——当X1＝1时引起的基本结构上沿

X1

、X2

、X3方向上的位移[图(c)]；

δ12、δ22、δ32——当X2＝1时引起的基本结构上沿X1

、X2

、X3方向上的位移[图(d)]；

δ13、δ23、δ33——当X3＝1时引起的基本结构上沿X1

、X2

、X3方向上的位移[图(e)]；

Δ1F、Δ2F、Δ3F——荷载引起的基本结构上沿X1

、X2

、X3方向上的位移[图(f)]。第三十页，共一百页，2022年，8月28日对于n次超静定结构，用力法分析时，去掉n个多余约束，代之以n个多余未知力，当原结构在去掉多余约束处的已知位移为零时，采用上面同样的方法可以得到n个方程，称为力法典型方程。具体形式如下：第三十一页，共一百页，2022年，8月28日

在力法典型方程的前面n项中，位于从左上方至右下方的一条主对角线上的系数δii称为主系数，它表示Xi=1时，引起的基本结构上沿Xi方向上的位移，它可利用图自乘求得,其值恒为正值；主对角线两侧的系数δij(i≠j)称为副系数，它表示Xj=1时，引起的基本结构上沿Xi方向上的位移，它可利用图与图互乘求得。第三十二页，共一百页，2022年，8月28日根据位移互等定理可知副系数δij与δji相等；方程组中最后一项△iF不含未知力，称为自由项。它是由荷载单独作用在基本结构上时，引起的沿多余力Xi方向上的位移，它可通过MF图与图互乘求得。副系数和自由项可能为正值，可能为负值，也可能为零。第三十三页，共一百页，2022年，8月28日

由于基本结构是静定的，所以力法典型方程中各系数和自由项都可按上一章位移计算的方法求出。解力法方程求出多余未知力Xi

(i=1，2，…，n)后，就可以按静定结构的分析方法求其余反力和内力。原结构的弯矩可由下面的叠加公式求出：原结构的剪力和轴力可以根据平衡条件确定。第三十四页，共一百页，2022年，8月28日6.2.3力法的计算步骤和举例

根据以上所述，用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：

（1）选取基本结构。去掉原结构的多余约束，以相应的未知力代替多余约束的作用。

（2）建立力法典型方程。根据基本结构在去掉多余约束处的位移与原结构相应位置的位移相同的条件，建立力法方程。第三十五页，共一百页，2022年，8月28日

（3）计算力法方程的系数和自由项。利用静定结构的位移计算公式，或分别绘出基本结构在单位多余力Xi和荷载作用下的弯矩图，然后用图乘法计算系数和自由项。（4）解方程求多余未知力。将所得各系数和自由项代入力法方程，解出多余未知力Xi。

第三十六页，共一百页，2022年，8月28日（5）绘制原结构的内力图。用叠加法绘制原结构的弯矩图，进而根据平衡条件确定剪力图和轴力图。1．超静定梁和超静定刚架用力法计算超静定梁和刚架时，通常忽略剪力和轴力对位移的影响，因此，在计算力法方程的系数和自由项时只考虑弯矩的影响。第三十七页，共一百页，2022年，8月28日6.3位移法力法计算超静定结构是以多余未知力为基本未知量，当结构的超静定次数较高时，用力法计算比较麻烦。而位移法则是以独立的结点位移为基本未知量，未知量个数与超静定次数无关，故一些高次超静定结构用位移法计算比较简便。第三十八页，共一百页，2022年，8月28日6.3.1位移法的基本概念位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程求解结点位移，利用杆端位移和杆端内力之间的关系计算杆件和结构的内力，从而把超静定结构的计算问题转化为单跨超静定梁的计算问题。第三十九页，共一百页，2022年，8月28日。

为了说明位移法的基本概念，我们来研究图（a）所示的等截面连续梁。此梁在均布荷载作用下的变形情况如图虚线所示。由于B点为刚性结点，所以，汇交于此点的各杆在该端将发生相同的转角

。第四十页，共一百页，2022年，8月28日在分析上述连续梁时，我们可以这样考虑：把杆AB看作是两端固定的梁在B端发生了转角；把杆BC看作是B端固定C端铰支的梁，在梁上受均布荷载作用，并在B端发生转角

，如图（b）所示。第四十一页，共一百页，2022年，8月28日因此，如把结点B的转角作为支座移动看待，则上述连续梁可转化为两个单跨超静定梁。只要能够计算出转角的大小，就可以用力法计算出这两个单跨超静定梁的全部反力和内力。第四十二页，共一百页，2022年，8月28日下面分为四步讨论如何计算转角的问题。第一步，增加约束，将结点B锁住。假设在结点B处加入一附加刚臂[图(a)]，附加刚臂的作用是约束B点的转动，而不能约束移动，即相当于固定端。A(a)基本结构BC第四十三页，共一百页，2022年，8月28日于是图（a）所示的等截面连续梁变成了由AB和BC两个单跨超静定梁组成的组合体。我们把加入附加刚臂后的结构称为位移法计算的基本结构。在基本结构上受外荷载作用，并使B点附加刚臂转过与实际变形相同的转角Z1=

，使基本结构的受力和变形与原结构取得一致[图(a)]，进而用基本结构代替原结构的计算。第四十四页，共一百页，2022年，8月28日第二步，在基本结构中，只有荷载q的作用，无转角Z1影响，如图(b)所示。其弯矩图可由力法计算如图(b)所示，在附加刚臂上产生的约束力矩为R1F。(b)第四十五页，共一百页，2022年，8月28日第三步，施加力偶，使基本结构的结点B产生角位移Z1如图(c)所示。在B端发生转角Z1的支座移动，其弯矩图可由力法计算得到，如图(c)所示，在附加刚臂上产生的约束力矩为R11

。（c）第四十六页，共一百页，2022年，8月28日第四步，把基本结构的两种情况叠加，计算转角Z1。由叠加原理可得基本结构在两种情况下引起的约束力矩为R11+R1F。由于基本结构的受力和变形与原结构相同，在原结构上没有附加刚臂，故基本结构中附加刚臂上的约束力矩应为零。即R11+R1F=0。第四十七页，共一百页，2022年，8月28日如在图(c)中令r11表示当Z1=1时附加刚臂上的约束力矩，即R11=r11·Z1

，则上式改写为

r11·Z1+R1F=0上式称为位移法方程。式中的r11称为系数；R1F称为自由项。它们的方向规定与Z1方向相同为正，反之为负。第四十八页，共一百页，2022年，8月28日

为了由位移法方程求解Z1，可由图(b)中取结点B为隔离体，由力矩平衡条件得出；由图(c)中取结点B为隔离体，并令Z1=1，由力矩平衡条件得出

。代入位移法方程，得（c）（b）第四十九页，共一百页，2022年，8月28日求出Z1后，将图(b，c)两种情况叠加，即得原结构的弯矩图如图(d)所示。ABC(d)第五十页，共一百页，2022年，8月28日总结以上分析过程，可以把位移法计算的解题思路归纳如下：（1）以独立的结点位移作为位移法的基本未知量。（2）以增加附加约束后的一系列单跨超静定梁的组合体作为位移法的基本结构。（3）以基本结构在附加约束处的受力与原结构一致的平衡条件建立位移法方程。第五十一页，共一百页，2022年，8月28日（4）原结构的内力是荷载和结点位移共同下，在基本结构中产生的内力。在位移法计算中，要用力法对每个单跨超静定梁的杆端弯矩和杆端剪力进行计算。为了使用方便，对各种约束的单跨超静定梁由荷载及支座移动引起的杆端弯矩和杆端剪力数值均列于表9.1中，以备查用。第五十二页，共一百页，2022年，8月28日在表9.1中，i=EI/l，称为杆件的线刚度。表9.1中杆端弯矩的正、负号规定为：对杆端而言弯矩以顺时针转向为正（对支座或结点而言，则以逆时针转向为正），反之为负[如图所示]。至于剪力的正、负号仍与以前规定相同。转角以顺时针转动为正，反之为负。第五十三页，共一百页，2022年，8月28日表6.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

第五十四页，共一百页，2022年，8月28日续表6.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

第五十五页，共一百页，2022年，8月28日续表6.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

第五十六页，共一百页，2022年，8月28日续表6.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

第五十七页，共一百页，2022年，8月28日续表6.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

第五十八页，共一百页，2022年，8月28日续表6.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

第五十九页，共一百页，2022年，8月28日6.3.2位移法基本未知量与基本体系1．位移法的基本未知量在力法计算中，是以超静定结构的多余未知力为基本未知量，而在位移法计算中，则是以结构中刚结点的角位移（铰结点的角位移可由杆件另一端的位移求出，故不作为基本位知量）和独立的结点线位移作为基本未知量。第六十页，共一百页，2022年，8月28日在结构中，一般情况下刚结点的角位移数目和刚结点的数目相同，但结构独立的结点线位移的数目则需要分析判断后才能确定。下面举例说明如何确定位移法的基本未知量。第六十一页，共一百页，2022年，8月28日图（a）所示刚架有两个刚结点，现在两个刚结点都发生了角位移和线位移，但在忽略杆件的轴向变形时，这两个线位移相等，即独立的结点线位移只有一个，因此用位移法求解时，该结构的基本未知量是两个角位移和以及一个线位移Δ。

第六十二页，共一百页，2022年，8月28日(b)同理，图（b）所示排架有三个铰结点，其水平线位移相同，故该结构的基本未知量是一个线位移Δ。

第六十三页，共一百页，2022年，8月28日当结构的独立结点线位移的数目由直观的方法难以判断时，则可以采用“铰化结点、增加链杆”的方法判断。即在确定结构独立的结点线位移时，先把所有的结点和支座都换成铰结点和铰支座，得到一个铰结体系。第六十四页，共一百页，2022年，8月28日若此体系是几何不变体系，则由此知道结构的所有结点均无独立结点线位移。如果此体系是几何可变体系或瞬变体系，则可以通过增加链杆使其变为几何不变体系，所增加的最少链杆的数目，就是原结构的独立结点线位移的数目。第六十五页，共一百页，2022年，8月28日例如图(a)所示结构，铰化结点后增加一根链杆可变为几何不变体系[图(b)]，所以结点独立线位移的数目为一，整个结构的基本未知量为两个角位移和一个独立结点线位移。第六十六页，共一百页，2022年，8月28日2.位移法基本结构由前述可知，用位移法计算超静定结构时，是以一系列单跨超静定梁的组合体作为基本结构的。因此，在确定了基本未知量后，就要增加附加约束以限制所有结点的位移，把原结构转化为一系列相互独立的单跨超静定梁的组合体。即在产生角位移的刚结点处附加刚臂约束转动；在产生线位移的结点处附加支座链杆约束其线位移。第六十七页，共一百页，2022年，8月28日图(a)所示刚架有两个刚结点D和E，在忽略各杆件自身轴向变形的情况下，两结点有相同的线位移，所以只要在结点D和E处附加两个刚臂，以阻止两个刚结点的转动，在结点E处附加支座链杆以限制其线位移。(b)基本结构(a)原结构第六十八页，共一百页，2022年，8月28日这样就使得原结构变成为无结点线位移及角位移的一系列单跨超静定梁的组合体，即位移法的基本结构[图(b)]。(b)基本结构(a)原结构第六十九页，共一百页，2022年，8月28日需要强调说明：力法中的基本结构是从原结构中拆除多余约束而代之以多余未知力的静定结构。而位移法的基本结构是在原结构上增加约束构成若干个单跨超静定梁的组合体。虽然它们的形式不同，但都是原结构的代表，其受力和变形与原结构是一致的。第七十页，共一百页，2022年，8月28日6.3.3位移法典型方程及计算举例

1.位移法典型方程在前面我们以只有一个基本未知量的结构介绍了位移法的基本概念，对于具有多个基本未知量的结构，仍然应用上述思路，建立位移法方程的典型形式。第七十一页，共一百页，2022年，8月28日图(a)所示刚架有两个基本未知量，即结点B的转角Z1和结点C的水平位移Z2。在结点B处施加限制转动的约束——附加刚臂，在结点C加一控制水平线位移的约束——附加支座链杆，得到的基本结构如图(b)所示。(b)基本结构(a)原结构第七十二页，共一百页，2022年，8月28日下面利用叠加原理建立位移法方程。(1)计算基本结构在荷载单独作用时各附加约束上的约束力。先求出各杆的杆端力，然后求约束中存在的约束力R1F、R2F[图(a)]。

图(a)FR1FR2FF第七十三页，共一百页，2022年，8月28日（2）计算基本结构在结点B发生转角Z1时各附加约束上的约束力。使基本结构在结点B发生单位转角Z1=1，但结点C仍被锁住。这时，可求出基本结构在杆件AB、BC和CD的杆端力，以及在两个约束中分别存在的约束力r11和r21[图(b)]。于是我们把图(b)扩大Z1倍，即乘以Z1

。(b)第七十四页，共一百页，2022年，8月28日(c)（3）计算基本结构在结点C发生水平位移Z2时各附加约束上的约束力。使基本结构在结点C发生单位水平位移Z2=1，但结点B仍被锁住。这时，可求出基本结构在杆件AB、BC和CD的杆端力，以及在两个约束中分别存在的约束力r12和r22[图(c)]。于是我们把图(c)扩大Z2倍，即乘以Z2。第七十五页，共一百页，2022年，8月28日叠加以上三种情况，得基本结构在荷载和结点位移Z1、Z2共同作用下的结果。根据以上各种因素引起的附加约束上的约束力叠加后应与原结构一致，即各附加约束上的总约束力应等于零的条件。可列出两个位移法方程

r11Z1+r12Z2+r13Z3+R1F=0

r21Z1+r22Z2+r23Z3+R2F=0第七十六页，共一百页，2022年，8月28日式中的系数和自由项，是由荷载和结点位移Z1、Z2共同作用下，在附加约束上引起的约束力。可由结点隔离体和杆件隔离体的平衡条件确定，得到各系数及自由项后，代入位移法方程中，即可解出各结点位移Z1、Z2的值。最后可按下式叠加绘出最后弯矩图：第七十七页，共一百页，2022年，8月28日式中：、和MF——结点位移Z1=1、Z2=1和荷载单独作用于下，基本结构的弯矩。对于具有n个基本未知量的结构，则附加约束（附加刚臂或附加链杆）也有n个，由n个附加约束上的受力与原结构一致的平衡条件，可建立n个位移法方程:第七十八页，共一百页，2022年，8月28日r11Z1+r12Z2+…+r1nZn+R1F=0r21Z1+r22Z2+…+r2nZn+R2F=0…rn1Z1+rn2Z2+…+rnnZn+RnF=0上式称为位移法的典型方程。第七十九页，共一百页，2022年，8月28日式中的rii>0称为主系数，其物理意义为Zi=1时，基本结构中附加约束i上的反力，它恒为正值；rij称为副系数，其物理意义为Zj=1时，基本结构中附加约束i上的反力，副系数可为正、可为负或为零；由反力互等定理且有rij=rji；RiF为自由项，其物理意义为荷载作用于基本结构上时，附加约束i上的反力，自由项可为正、为负或为零。

第八十页，共一百页，2022年，8月28日2．位移法计算举例上面讨论了用位移法典型方程解算超静定结构的解题思路和方法，根据前面所述，用位移法解超静定结构的步骤可归纳如下：（1）首先确定基本未知量，增加阻止刚结点转动和结点移动的附加约束，从而形成基本结构；第八十一页，共一百页，2022年，8月28日（2）使基本结构承受原荷载，并令附加约束发生与原结构相同的位移，根据附加约束上的反力矩或反力等于零的条件，建立位移法的典型方程；（3）绘出基本结构的单位弯矩图图与荷载弯矩图MF图，利用平衡条件求系数和自由项；（4）解算典型方程，求出各基本未知量；第八十二页，共一百页，2022年，8月28日（5）按叠加公式绘出最后弯矩图，然后根据最后弯矩图作出剪力图并根据剪力图绘出轴力图。（6）校核。在位移法计算中，由于位移条件自然满足，所以只需校核平衡条件。第八十三页，共一百页，2022年，8月28日

1.无结点线位移结构的计算当刚架的结点上只有角位移、无线位移时，称为无侧移刚架。对于超静定梁和无侧移刚架这类无结点线位移结构用位移法求解最为方便。第八十四页，共一百页，2022年，8月28日力矩分配法的基本概念一、力矩分配法的基本参数

1、转动刚度SAB:使AB杆的A端（也称近端）产生单位转角时所需施加的力矩。ABABABAB=θ=1θ=1θ=1θ=1SAB=4iSAB=iSAB=3i转动刚度的大小不仅与该梁的线刚度i有关（i=EI/L），而且与远端的支承情况有关。转动刚度反映了杆端抵抗转动的能力。转动刚度越大，表示杆端产生单位转角所需施加的力矩越大。当θ≠1时:MAB=SABθ第八十五页，共一百页，2022年，8月28日2、分配系数令：μAk=SAk∑SAAμAk称为分配系数3、传递系数C表示当杆件近端有转角时，杆件远端弯矩与近端弯矩的比值。它的大小与远端的支承情况有关。远端固定：C=0.5远端铰支：C=0远端定向支座：C=－1汇交于同一结点各杆的分配系数之和等于1，即：=μAB＋μAC＋μAD=1∑μA第八十六页，共一百页，2022年，8月28日ABCDmθAθAθA把上述问题归纳如下：当结点A作用有力偶荷载m时，结点A上各杆近端得到按各杆的分配系数乘以m的近端弯矩，也称分配弯矩。以上是用力矩的分配和传递的概念解决结点力偶荷载作用下的计算问题，故称为力矩分配法。远端支承情况转动刚度传递系数固定4i0.5铰支3i0滑动i－1各杆的远端则有传递系数乘以近端弯矩（或分配弯矩）的远端弯矩，也称传递弯矩。第八十七页，共一百页，2022年，8月28日单结点连续梁或刚架跨间有荷载作用时例：32kN20kN/mABCMBMFBAMFBCMBBABCMB＋解：1、先在B点加上阻止转动的约束力矩MB，这时B点相当于固端，查表6-1求得各固端弯矩。MFBA=qL2/12=60kNmMFAB=－qL2/12=－60kNmMFBC=－3PL/16=－36kNmMFCB=0所以：MB=60－36=24kNm2、放松结点B，这相当于在结点B上加一个外力偶（－

MB），按分配系数分配于两杆的B端，并使两杆的远端产生传递弯矩。具体计算如下：32kN20kN/m3m3m6mABCEIEI设i=EI/6第八十八页，共一百页，2022年，8月28日AC32kN20kN/m3m3m6mABCEIEISBA=4iSBC=3i分配系数：μBA=4/7=0.571μBC=3/7=0.429分配弯矩：MBA=0.571×(－24)=－13.7kNmμMBC=0.429×(－24)=－10.3kNmμ传递弯矩：MAB=0.5×(－13.7)=－6.85kNmcMCB=0c最后杆端弯矩：MAB=MFAB＋MCAB=－66.85kNmMBA=MFBA＋MμBA=46.3kNmMBC=MFBC＋MμBC=－46.3kNmMCB=0－6060－3600.5710.429－13.7－10.3－6.85046.3－66.85－46.3066.8546.39033.434824.85AM图（kNm）第八十九页，共一百页，2022年，8月28日多结点的力矩分配32kN20kN/mABCD步骤：1、先锁：加约束锁紧全部刚结点，计算各杆的固端弯矩和结点的约束力矩。约束力矩MB=∑MfBj2、逐次放松：每次放松一个结点（邻近结点仍锁住）进行单结点的力矩分配和传递。轮流放松各结点，经多次循环后各结点渐趋平衡。实际计算一般进行2~3个循环就可获得足够的精度。3、叠加：将各次计算所得杆端弯矩相加（代数和）就得到杆端弯矩，即：M=Mf＋∑M分配＋∑M传递第九十页，共一百页，2022年，8月28日1、力矩分配法的适用条件：无侧移刚架和连续梁。力矩分配法要点2、力矩分配法的基本参数（1）、转动刚度SAB*固4i*铰支3i滑i其中i=EI/L（2）、分配系数μAB

μAB=SAB∑SAA（3）、传递系数CAB*固定CAB=0.5*铰支CAB=0第九十一页，共一百页，2022年，8月28日重点：掌握三跨连续梁两节点的分配如：6m30kNABCD4kN/m8m3m3mA40kN10kN/mBCD4m4m8m8mi=1i=1i=1EI3EI2EI注意：各段的线刚度第九十二页，共一百页，2022年，8月28日题型5、用力矩分配法绘制图示连续梁的弯矩图。EI为常数。

6m30kNABCD4kN/m8m3m3m注意：查表时对应符号第九十三页，共一百页，2022年，8月28日APBABPAB注意：BA第九十四页，共一百页，2022年，8月28日1、计算各杆的固端弯矩MfMfAB=0=1/8×4×62=18MfBC=-1/8PL=-1/8×30×6=-22.5