2022年高考数学一轮复习 空间向量求空间角（精练）（解析版）

7.5空间向量求空间角（精练）【题组一线线角】1．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）如图，正方体的棱长为6，点F是棱的中点，AC与BD的交点为O，点M在棱BC上，且，动点T（不同于点M）在四边形ABCD内部及其边界上运动，且，则直线与TM所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：易知.因为平面ABCD，所以，所以平面AFO，又平面AFO，所以，在棱DC上取一点N，且，连接NM，则，所以，所以动点T的轨迹为线段MN（不包括M）.取棱的中点H，连接DH，易知，则即异面直线与TM所成的角.连接BH，因为，，，所以法二：以A为坐标原点，直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知，，，，设，则，，.由题意知，得，所以，则，又T不与点M重合，所以，所以，所以直线与TM所成角的余弦值为，故选：B.2．（2021·内蒙古乌兰察布市·高三一模（理））四棱锥P﹣ABCD中，PD＝DA＝AB＝CD，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD⊥平面ABCD，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则CQ与PA所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】以为轴建立空间直角坐标系，如图，设，则，，，，为中点，则，，设，，，，因为平面，即与共面，所以存在实数，使得，所以，解得，，，又，．所以CQ与PA所成角的余弦值为．故选：D．3．（2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟）三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，点Q为平面ABC内的动点，且满足，记直线PQ与直线AB的所成角为，则的取值范围为___________.【答案】【解析】因为两两垂直，且，所以由全等三角形可知，所以三棱锥为正三棱锥，记在底面内的投影为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以的轨迹是以为圆心半径为的圆，取中点，连接，可知经过点，建立如下图所示的空间直角坐标系：设，，所以，所以，所以，所以，且，所以，所以，故答案为：.4．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是___________；直线与直线所成角的取值范围为___________.【答案】【解析】设A在面内的投影为E，故E为三角形BCD的中心，设正四面体的棱长为，球的半径为.则，，依题可得，球心在上，，代入数据可得，则，，又，，故的轨迹为平面BCD内以E为圆心，为半径的圆，，三点共线时，且P在BE之间时，的最小值是.以E为圆心，BE所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，，，，，设，，故，，设直线与直线所成角为，∵，∴，又，故，故答案为：，.5．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）如图，在直角梯形中，，.已知.将沿直线翻折成，连接.当三棱锥的体积取得最大值时，异面直线与所成角的余弦值为___________；若此时三棱锥外接球的体积为，则a的值为___________.【答案】；.【解析】在直角梯形中，∵，，，∴，，可得，即，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，取中点E，中点F，连接，，则，∵平面平面，且平面平面，∴平面，∵，，∴，以E为坐标原点，分别以､､所在直线为x､y､z轴建立空间直角坐标系，则，，，∴，，设异面直线与所成角为，则，即异面直线与所成角的余弦值为；显然，又，所以点是三棱锥外接球的球心，且球半径.由，解得.故答案为：①；②.6．（2021·海原县第一中学高三二模（理））如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，并且，，底面，已知，四边形的面积为.（1）证明：直线平面；（2）点为棱的中点，当直线与平面所成的角为时，求直线与所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为四边形的面积为，所以，解得，如图，过点作于点，则，，因为，所以，因为底面，底面，所以，因为，所以直线平面.（2）因为底面，所以为在平面内的投影，故即为直线与平面所成的角，，因为，所以，因为，所以，如图，作空间直角坐标系，则，，，，，，则，故直线与所成角的余弦值为.【题组二线面角】1．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在圆柱中，是圆柱的一条母线，是圆O的内接四边形，是圆O的直径，．（1）若，求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）因为，所以，因为是圆O的内接四边形，所以，所以，，所以是等腰梯形，所以，又因为，所以，因为是圆O的直径，连接，所以，所以，，均为正三角形，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面．（2）以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，，，则点，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，即，令，可得，设直线与平面所成角为θ，，所以直线与平面所成角的正弦值为．2．（2021·浙江高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则,又为中点，所以.由（1）得平面，所以平面的一个法向量从而直线与平面所成角的正弦值为．3．（2021·湖南高三其他模拟）如图，在三棱锥中，与是全等的等边三角形，且平面平面.（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】解：（1）取的中点，连接、，因为与是全等的等边三角形，所以，，因为，面，所以面，因为面，所以（2）因为平面平面，平面平面，，所以平面，如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令，则，，，，所以，，，设面的法向量为，则，所以，令，则，，所以，设与平面所成的角为，则4．（2021·上海复旦附中高三其他模拟）如图，在三棱锥中，是正三角形，是等腰直角三角形，，.（1）求证：；（2）若点为的中点，求与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：取的中点，连接、.由题设可知，是等腰直角三角形，且，则，所以，因为是正三角形，所以，又，则平面，平面，因此，；（2）在中，，又，而，所以，故，由题设及（1）知，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则、、、.为的中点，得，故，，，设是平面的法向量，则，即，取，则，因为，所以与平面所成角的大小为.5．（2021·辽宁高三其他模拟）如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC和一个直角梯形ACDE，其中AECD，AE＝CD＝AC，∠EAC＝90°，现将直角梯形ACDE沿边AC折起，使得AE⊥AB，连接BE、BD，设线段BC的中点为F．（1）求证：AF平面BDE；（2）求直线EF与平面BDE所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】证明：（1）取BD的中点G，连接EG、FG，由F为BC的中点，则FGDC且FG＝CD，因为AECD且CD＝2AE，所以AEFG且AE＝FG，所以四边形AFGE为平行四边形，则AFEG，又因为平面BDE，平面BDE，所以AF平面BDE；（2）∵AE⊥AB，AE⊥AC，，平面ABC，∴AE⊥平面ABC．如图，以A为坐标原点，AF为x轴，在平面ABC内，过点A作BC的平行线为y轴，AE为z轴建立空间直角坐标系，则，，设平面BDE的法向量为，则，即，令y＝1，则，所以，设直线EF与平面BDE所成角为，所以.6．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（理））如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点，，的平面与棱交于点．（1）证明四边形为矩形；（2）若与平面所成角的正切值为，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：取中点为，连接，，在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．因为平面，且平面平面，所以．因为在三棱柱中，平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以四边形为平行四边形．在中，因为，是的中点，所以．由题可知平面，所以，，因为，所以平面，所以，故四边形为矩形；（2）由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，又题可知，在中，，所以，所以，，，，则，．因为，所以．设平面的法向量为，则即，所以令，所以．设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为．6．（2021·湖南高三其他模拟）在长方体中，已知，为的中点.（1）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由；（2）设，，点在上且满足，求与平面所成角的余弦值.【答案】（1）存在，证明见解析；（2）.【解析】（1）存在，当点为线段的中点时，平面平面.证明：在长方体中，，.又因为平面，平面，所以平面.又为的中点，为的中点，所以，且.故四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.又因为，平面，平面，所以平面平面.（2）在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为，，所以，，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，即.令，则，，所以，因为，设，则，所以，则.设与平面所成角为，则，即.故与平面所成角的余弦值为.【题组三二面角】1．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在直三棱柱中，为的中点.（1）证明：平面.（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；【解析】（1）∵为的中点，∴，∵直三棱柱中，面面，面，面面，∴面，又面，即，由题设易知：，故，又，∴，则，又，∴平面.（2）过D作，由（1）可构建以为原点，、、为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示：∴由题意：，，，，∴，，，显然，是面的一个法向量，若是面的一个法向量，则，令，则，∴，由图知：钝二面角的余弦值为.2．（2021·浙江高三其他模拟）如图所示的几何体，其中底面ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，AD=CD=1，BC=2，SA⊥底面ABCD，连接SC，SB，SD．（1）求二面角B-SA-D的角度（2）若SA=a，求面SAB与面SDC所成角的余弦值与a的关系，并求出余弦值的取值范围【答案】（1）135°；（2）；（0，）．【解析】（1）∵SA⊥底面ABCD，AB，AD面ABCD∴AB⊥SA，AD⊥SA连接BD，∴∠BAD为B-SA-D的平面角过A作AH⊥BC，∴AH=CD=1，BH=1，∴AB=又因为BD=，AD=1∴cos∠BAD=，∴∠BAD=135°∴二面角B-SA-D的角度为135°（2）以A点为原点，建立如图所示的坐标系故A：（0，0，0）；D：（1，0，0）；S：（0，0，a）；B：（-1，1，0）；C：（1，1，0）则可取二面角ABS的法向量为（1，1，0）向量=（0，1，0）；=（-1，0，a），设面SCD的法向量为（x，y，z）得y=0，-x+az=0，令x=1，，∴=（1，0，）∴∴面SAB与面SDC所成角的平面角的余弦值为记f（a）=＜，故余弦值的范围是（0，）3．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，是线段的中点，是线段靠近点的四等分点，点在线段上.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由题意，在直三棱柱中，，不妨设，则，由余弦定理可得，因为，可得，又由是线段的中点，所以，且，因为平面，平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以,在直角中，，因为是线段靠近点的四等分点，可得，所以,可得，又由且平面，所以平面，因为平面，所以.（2）以为原点，以分别为轴，过点作平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，则，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，由（1）可得平面的一个法向量为，所以，因为，可得.4．（2021·全国高三其他模拟）在四棱锥中，平面，底面为梯形，，，，，．（1）若为的中点，求证：平面；（2）若为棱上异于的点，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：∵在梯形中，，，为的中点，所以且，∴四边形为平行四边形，所以，∵平面，平面，所以平面．（2）解：以为原点，，所在的直线为，轴，建立如图所示空间直角坐标系．因为，，，所以，，，，，则，，，．设，，则，．因为，所以，即，化简得，解得（舍）或．所以，，即．设为平面的一个法向量，则，所以，解得令，得；设为平面的一个法向量，则，所以解得令，得．设平面与平面所成锐二面角为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．5．（2021·安徽六安市·六安一中高三其他模拟（理））如图，四棱锥中，平面平面，，，，（1）求证：平面；（2）若直线与底面所成的角的余弦值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】平面平面，平面平面，，，平面，又平面，，又，，，，，，，，又，平面；（2）由（1）知平面，直线与底面所成的角为，由，