同济大学高等数学教案多元函数微分学

高等数学教学教案第六章多元函数微分学授课序号0教学基本指标教学课题第六章第一节 多元函数的概念、极限与连续课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点极限与连续的概念和性质教学难点极限不存在的情况参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求理解多元函数的概念，了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质教学基本内容一、基本概念:1、多元函数的概念{(%,y)|%,ywR}表示xOy坐标平面，设M1(x1,y1)与M2(x2,y2)为xOy平面上的两点则d=J(x2—xj+(y2—yj表示M1(x1,y1)与M2(x2,y2)的距离.坐标平面上具有某种性质的点的集合，称为平面点集，记作E={(x,y)(x,y)具有某种性质}，设D是平面上的点集，如果D中的点满足下面两个条件，则称D为开区域.(1)对于D中的任意一点P，如果都能找到它的一个邻域(见图6-2)，使得邻域能够包含在点集D中(这样的点P称为点集的内点).(2)对于D中的任意两点，都能用包含在D中的折线连接起来，即折线上的点都在D中，见图6-3.开区域简称区域.2、二元函数的概念设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的任一点(x,y)，按照某种法则了，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在(%,y)处的函数值记为f(%,y)，即z=f(x,y)，其中x,y称为自变量，z称为因变量.点集D称为该函数的定义域，数集｛zIz=f(x,y),(%,y)eD｝称为该函数的值域.3、二元函数的极限定义2设函数z=f(x,y)的定义域为D，P(x,y)是xOy平面内的定点(见图6-7),若存在常数A，0 0 0Vs>0，35>0，当点P(x,y)eDcU(P0,5)时，恒有f(P)-A=f(x,y)-A<s，则称常数A为函数f(x,y)当(x，yLt，y0)时的极限，记作A，(x,y).(x0,y0).lim f(xA，(x,y).(x0,y0).(x,y)—(x0,y0)也可记作limf(P)=A或f(P)fA，P.P0.4、二元函数的连续性定义3设二元函数z二八x,y)在点(x0，y0)的某一邻域内有定义，(x，y)是邻域内任意一点，如果limf(x，y)=f(x0，y0)，则称z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续.如果函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处不连续,则称函数z=八x,y)在(x0，y0)处间断.由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤而得到的可用一个式子表示的函数称为多元初等函数.二、定理与性质：性质1(有界性与最大值最小值定理)若函数f(P)在有界闭区域D上连续，则f(P)在D上必有界，且能取得最大值和最小值.性质2(介值定理)若函数f(P)在有界闭区域D上连续，则f(P)必取得介于最大值和最小值之间的任何值.三、主要例题:例1求二元函数f(x，y)=J3—x2-y2的定义域.例2求函数z=lnQ2+y2-2x)+In(4-x2-y2)的定义域… 、了2—V2例3已知函数f(x+V,x—V)二——乙，求f(x,V)的表达式，并求f(2,1)的值.X2+V2X2V 八例4证明lim——二二0(x,V)-(。,0)X2+V2XV例5证明lim--一不存在.x-0x2+V2V-0例6求极限lim(x2+V2)sinx—0例7求极限lim(x,V)—(0,0)1―：osQ+例7求极限lim(x,V)—(0,0)ex+v例8求lim .x—0x+VV—1例9求limln(V—x)+ry:Ix―0_ 71—x2_|V—1一3一、:x2+V2+9例10 求极限lim——X .x—0 x2+v2V—0

授课序号02教学基本指标教学课题第六章第二节 多兀函数的偏导数与全微分课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点偏导数和全微分的概念教学难点全微分存在的必要和充分条件参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性，会解全微分方程教学 基本内容一、基本概念：1、偏导数设函数z=f(%,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0,而％在5处有增量故时，相应的函数有增量f(%jAx,yo)-f(%o,yo).如果lim“0——'g%f(o，y0)存在，则称此极限为函数z=f(%,y)在点(%0,y0)处对%的偏导数，记为8f瓦'瓦'入%0或f%(%0,y0).%=%0 %=%0 y=y0y=y0 y=y0例如，f(%,y)=limf(%0+A%'y0)-f(%0,y0),%00以-0 A%类似地，函数z=f(%,y)在点(%0,y0)处对y的偏导数为limf(%0,y0+Ay)-f(%0,y0),Ay—0 Ay记为df正'五'zy%二%0或吓%0,y0).%=%0 %=%0 y=y0y=y0 y=y0二元函数偏导数的定义可以类推到三元及三元以上的函数.

如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数是x,y的二元函数，那么称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，简称为偏导数，记作azafa’不’zx或f.(x,y)・同样，函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数记作2、偏导数的几何意义设曲面的方程为z二f(x,y)，M0(x0，y0，f(x0，y0))是该曲面上一点,过点M0作平面y二y0,截此曲面得一条曲线，其方程为z=f(x,y)0y=y0则偏导数fx(x0,y°)表示上述曲线在点M0处的切线M05对x轴正向的斜率.同理,偏导数fy(x0，y0)就是曲面被平面x二xo所截得的曲线在点叱处的切线Mo「对y轴正向的斜率.3、高阶偏导数设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数S二a,y)，三=f(x,y)，则在D内f(x,y)和f(x,y)都是x,y的函数.如果这两个函数的偏导数存在，则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数:=f(x,y),xxdy=f(x,y),xxdy(ax)=f(x,y),xya(a.zax(ay)aya.x=f(x,y)，丁〜cyx ay(ay)ay=f(x,y),yy其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数4、微分的定义如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Az=f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)可以表示为Az-AAx+BAy+o(p),其中A,B不依赖于Ax,Ay而仅与x,y有关,p-1(Ax)2+(Ay)2,则称函数z-f(x,y)在点(x,y)可微分，AAx+BAy称为函数z-f(x,y)在点(x,y)的全微分，记为dz，即dz-AAx+BAy.若函数在区域D内各点处可微分，则称这函数在D内可微分.*5、全微分在近似计算中的应用设二元函数z-f(x,y)在点P(x,y)的两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)连续，且IAx1,1AyI都较小时，则根据全微分定义，有Az氏dz,Azxf(x,y)Ax+f(x,y)Ay.x yf(x+Ax,y+Ay卜f(x,y)+f(x,y)Ax+f(x,y)Ay.

x y二、定理与性质：d2z a2z定理1如果函数z-f(x,y)的两个二阶混合偏导数一及kk在区域D内连续，则在该区域内有cyaxaxaya2z_a2zayaxaxay"定理2(必要条件)如果函数z-f(x,y)在点(x,y)处可微分，则(1)该函数在点(x,y)连续;azaz 八/ 、 ,、(2)该函数的两个的偏导数k,—都存在，且z-f(x,y)在点(x,y)处的全微分axaydz-生Ax+史Ay.

ax ay、一,一. 八/ 、 azaz ,、定理3(充分条件)如果函数z-f(x,y)的偏导数k,—在点(x,y)存在且连续，则函数在该点处可微分.axay三、主要例题：… - dz Sz例1设函数z=X3+2X2户+Jex，求丁及丁.Sx Sj例2求z=f(x,j)=x2+3xj+j2在点(1,2)处的偏导数.例3求z=xj的偏导数.例4设f(x,J)=(x-1)g(j)+(j-1)h(x)，求((1,1).例5求三元函数u=sin(x+J2―ez)的偏导数.例6已知一定量的理想气体的状态方程为PV=RT(R为常数)，证明SPSVST1 -1SVSTSP例7设z=4x3+3x2例7设z=4x3+3x2J-3xj2-x+J,求S.x2'SySx'SxSy，Sj2'sx3例8求z=xln(x+J)的二阶偏导数.例9求函数z=xj的二阶偏导数.S2u S2u c例10验证函数u(x,J)=ln、,：x2+J2满足方程+--=0.Sx2 Sy2例11求函数z=4xy3+5x2j6的全微分.例12计算函数z=xj在点(2,1)处的全微分.例13求函数u=x+sinj+eJz的全微分.例14求函数u=xyz的偏导数和全微分.例15计算(1.04)2.02的近似值.例16当x、y的绝对值很小时，推出函数(1+x)-(1+y＞的近似公式试用全微分估计例17测得矩形盒的边长为75cm、60cm以及40cm，且可能的最大测量误差为0.2cm.利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.

试用全微分估计授课序号03教学基本指标教学课题第六章第三节复合求导、隐函数求导及方向导数课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点复合函数求导，隐函数求导教学难点复合函数二阶导数，隐函数二阶导数参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数，会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数，了解方向导数与梯度的概念及其计算方法教 学 基本内容一、基本概念：设函数工=于Q,P在点M0(x0,七)的某个邻域U(M0)内有定义，/是指向点M0(x0,y0)的一射线，它与x轴正向的夹角为a,p—q(Ax}+(Ay},Mq+Pcosa,y°+psina)eU(MJ为l上的任点(见图6-11)，若limAz_[imf(%0+Pcosa,y。+psina)-f(x。,y。)pf0+p P-0+ p存在，则称此极限为函数z—f(X,y)在点M(x,y)沿方向l的方向导数，记作工 .000 alM0即az _limf(x0+Pcosa,y0+psina)-f ,y°)_a1M0 P—0+ P二、定理与性质：1.复合函数的中间变量为一元函数的情形设u—u(t),V—V(t)土均在t处可导，函数z—f(u,v)在对应点(u,V)处有连续的偏导数，则它们构成的复合函数z—f[u(t),V(t)]在t处可导，且有导数公式dzazduazdv— + .dtaudtavdt公式中的导数df称为全导数..复合函数的中间变量为多元函数的情形duCu CvCv设u=u(%,y),v=v(%,y)在点(%,y)处都具有偏导数丁,丁及，丁，C%cy C%cy一。，、,一，/、一，一，、,,dz dz函数z=f(u,V)在对应点(u,V)具有连续的偏导数丁和二，Cu OV则复合函数z=f[u(%,y),V(%,y)]在(%,y)处的两个偏导数存在，并有求导公式CzCzCuCzCv

= + Cy CuCyCvCy.复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形这种情形比较复杂，我们仅以一种情况为例，其他的类似可得.定理3如果函数u=u(%,y)在点(%,y)具有对%及对y的偏导数，函数v=v(y)在点y可导，函数z=f(u,V)在对应点(u,V)具有连续偏导数，则复合函数z=f[u(%,y),V(y)]在对应点(%,y)的两个偏导数存在，且有(4)Cz_CzCu(4)C%CuC%CzCzCuCzdv = + .CyCuCyCvdy4、全微分形式的不变性无论z是自变量u、V的函数，还是中间变量u、V的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质就叫做全微分形式的不变性.5、隐函数的求导公式(隐函数存在定理1)设函数F(%,y)在点P(%0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且Fy(%0,y0)中0,F(%0,y0)=0,则方程F(%,y)=0在点P(%0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(%),它满足y0=f(%0),并有dy_F =——%-.d% Fy6、(隐函数存在定理2)设函数F(x,y,z)在点P(X0,y0,z。)的某一邻域内有连续的偏导数，且F(F(X0,y0,z0)=0,”X0,y0,z0)*0,